北师大版高中数学必修四学案第三章 章末复习课.docx
- 文档编号:475087
- 上传时间:2022-10-10
- 格式:DOCX
- 页数:18
- 大小:159.80KB
北师大版高中数学必修四学案第三章 章末复习课.docx
《北师大版高中数学必修四学案第三章 章末复习课.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《北师大版高中数学必修四学案第三章 章末复习课.docx(18页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
北师大版高中数学必修四学案第三章章末复习课
学习目标
1.进一步掌握三角恒等变换的方法.2.会运用正弦、余弦、正切的两角和与差公式与二倍角公式.对三角函数式进行化简、求值和证明.
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(α-β)=________________________.
cos(α+β)=________________________.
sin(α+β)=________________________.
sin(α-β)=________________________.
tan(α+β)=________________________.
tan(α-β)=________________________.
2.二倍角公式
sin2α=________________________.
cos2α=__________________=____________________=________________________.
tan2α=____________________.
3.升幂公式
1+cos2α=____________________.
1-cos2α=____________________.
4.降幂公式
sinxcosx=______________,cos2x=____________,
sin2x=____________________.
5.和差角正切公式变形
tanα+tanβ=________________________,
tanα-tanβ=________________________.
6.辅助角公式
y=asinωx+bcosωx=________________________.
类型一 灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用
例1 已知α,β为锐角,cosα=
,tan(α-β)=-
,求cosβ的值.
反思与感悟 给值求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系,常常在进行角的变换时,要注意各角之间的和、差、倍、半的关系,如α=2·
,α=(α+β)-β,α=β-(β-α),α=
[(α+β)+(α-β)],β=
[(α+β)-(α-β)]等.
跟踪训练1如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为
,
.
(1)求tan(α-β)的值;
(2)求α+β的值.
类型二 整体换元思想在三角恒等变换中的应用
例2 求函数f(x)=sinx+cosx+sinx·cosx,x∈R的最值及取到最值时x的值.
反思与感悟 在三角恒等变换中,有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理,这个“元”可以明确地设出来.
跟踪训练2 求函数y=sinx+sin2x-cosx(x∈R)的值域.
类型三 转化与化归思想在三角恒等变换中的应用
例3 已知函数f(x)=2
sin(x-3π)sin
+2sin2
-1,x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间
上的最大值和最小值;
(2)若f(x0)=
,x0∈
,求cos2x0的值.
反思与感悟
(1)为了研究函数的性质,往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数,这是解决问题的前提.
(2)解答此类题目要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角公式消除差异,减少角的种类和函数式的项数,将三角函数表达式变形化简,然后根据化简后的三角函数,讨论其图像和性质.
跟踪训练3 已知cos
=
,
,求 的值. 类型四 构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用 例4 已知sinx+2cosy=2,求2sinx+cosy的取值范围. 反思与感悟 在三角恒等变换中,有时可以把某个三角函数式看作未知数,联系已知条件或三角公式,设法建立关于未知数的方程组,从而使问题得以解决. 跟踪训练4 已知关于θ的方程 cosθ+sinθ+a=0在区间(0,2π)上有两个不相等的实数解α,β,求cos(α+β)的值. 1.若α是第三象限角,且sin(α+β)cosβ-sinβcos(α+β)=- ,则tan 等于( ) A.-5B.- C. D.5 2.已知θ是第三象限角,且sin4θ+cos4θ= ,则sin2θ等于( ) A. B.- C. D.- 3.已知sinα+cosβ= ,sinβ-cosα= ,则sin(α-β)=________. 4.设α为锐角,若cos = ,则sin 的值为________. 5.已知函数f(x)=cosx·sin(x+ )- cos2x+ ,x∈R. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在闭区间[- , ]上的最大值和最小值. 本章所学的内容是三角恒等变换重要的工具,在三角函数式求值、化简、证明,进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础,是解答整个三角函数类试题的必要基本功,要求准确,快速化到最简,再进一步研究函数的性质. 答案精析 知识梳理 1.cosαcosβ+sinαsinβ cosαcosβ-sinαsinβ sinαcosβ+cosαsinβ sinαcosβ-cosαsinβ 2.2sinαcosα cos2α-sin2α 2cos2α-11-2sin2α 3.2cos2α 2sin2α 4. 5.tan(α+β)(1-tanαtanβ)tan(α-β)(1+tanαtanβ) 6. sin(ωx+θ) 题型探究 例1 解 ∵α是锐角,cosα= , ∴sinα= ,tanα= . ∴tanβ=tan[α-(α-β)] = = . ∵β是锐角,∴cosβ= . 跟踪训练1 解 (1)由题可知,cosα= ,cosβ= . 由于α,β为锐角,则sinα= ,sinβ= ,故tanα= ,tanβ= , 则tan(α-β)= = =- . (2)因为tan(α+β)= =1, sinα= < ,sinβ= < , 即0<α+β< ,故α+β= . 例2 解 设sinx+cosx=t, 则t=sinx+cosx = = sin , ∴t∈[- , ], ∴sinx·cosx= = . ∵f(x)=sinx+cosx+sinx·cosx, ∴g(t)=t+ = (t+1)2-1,t∈[- , ]. 当t=-1,即sinx+cosx=-1时,f(x)min=-1, 此时,由sin =- , 解得x=2kπ-π或x=2kπ- ,k∈Z. 当t= ,即sinx+cosx= 时,f(x)max= + , 此时,由 sin = , 即sin =1, 解得x=2kπ+ ,k∈Z. 综上,当x=2kπ-π或x=2kπ- ,k∈Z时,f(x)取得最小值-1;当x=2kπ+ ,k∈Z时,f(x)取得最大值 + . 跟踪训练2 解 令sinx-cosx=t, 则由t= sin 知,t∈[- , ]. 又sin2x=1-(sinx-cosx)2=1-t2, ∴y=(sinx-cosx)+sin2x=t+1-t2 =- 2+ . 当t= 时,ymax= ; 当t=- 时,ymin=- -1. ∴函数的值域为 . 例3 解 (1)因为f(x)= (2sinxcosx)+(2cos2x-1) = sin2x+cos2x=2sin , 所以f(x)的最小正周期为π. 又因为x∈[0, ], 所以2x+ ∈[ , ], 所以f(x)的最大值为2,最小值为-1. (2)由 (1)可知, f(x0)=2sin . 又因为f(x0)= , 所以sin = . 由x0∈ ,得2x0+ ∈ , 所以cos =- =- , cos2x0=cos =cos cos +sin ·sin = . 跟踪训练3 解 = = = =sin2x·tan . ∵ ,∴ <2π, 又∵cos = , ∴sin =- . ∴tan =- . ∴cosx=cos =cos cos +sin sin = × =- . ∴sinx=sin =sin cos -sin · cos =- , sin2x= ,tanx=7. ∴ =- . 例4 解 设2sinx+cosy=a. 由 解得 从而 解得1≤a≤ . 故2sinx+cosy的取值范围是 . 跟踪训练4 解 设x=cosθ,y=sinθ,则有 消去y,并整理得4x2+2 ax+a2-1=0.① 由已知得cosα,cosβ是①的两个实数解, 由根与系数的关系,得 ∴sinαsinβ=( cosα+a)( cosβ+a) =3cosαcosβ+ (cosα+cosβ)a+a2 = . ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ = - = . 当堂训练 1.A 2.A 3.- 4. 5.解 (1)由已知,有f(x)=cosx·( sinx+ cosx)- cos2x+ = sinx·cosx- cos2x+ = sin2x- (1+cos2x)+ = sin2x- cos2x = sin(2x- ). 所以f(x)的最小正周期为T= =π. (2)因为f(x)在区间[- ,- ]上是减少的,在区间[- , ]上是增加的, f(- )=- ,f(- )=- , f( )= , 所以函数f(x)在闭区间[- , ]上的最大值为 ,最小值为- .
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 北师大版高中数学必修四学案第三章 章末复习课 北师大 高中数学 必修 四学案 第三 复习
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)