届天津市南开大学附中高三上学期第二次月考数学试题解析版.docx
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届天津市南开大学附中高三上学期第二次月考数学试题解析版
2021届天津市南开大学附中高三上学期第二次月考数学试题
一、单选题
1.设集合A={x\x>3}tB= A.(1,3)B.[1,3]C.(3,4)D.[3,4) 【答案】B 【解析】求出B中不等式的解集确泄出B,找出QA与B的交集即可. 【详解】 由—<0W(a: -1)Gv-4)<0Kx-4^0, x-4 解得l 所以3=[1,4), 因为A={xh>3}, 所以Ca.A=(-°o,3], 所以(加)n民[1,3], 故选: B 【点睛】 本题主要考查了集合的补集,交集运算,分式不等式求解,属于中档题. 2."sinx=丄”是"x=2k;r+兰(keZ)M的() 26 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】sinx=]oa=2k兀+乡伙wZ)或x=2k兀+学仗wZ),从而明确充分性 266 与必要性. 【详解】 9 由sinx=丄可得: x=2k7t+—(kvZ)或x=2£龙+迺伙eZ), 266 龙.1 即x=2k兀+—(kwZ)能推出sinx=-9 62 但sinx=—推不岀x=2kn+—(keZ) 26 17T •「sinx=-'堤—=2炽+—伙wZ)"的必要不充分条件 26 故选B 【点睹】 本题考査充分性与必要性,简单三角方程的解法,属于基础题. 3.下列函数既是奇函数,又在区间(0,1)上单调递减的是() A.f(x)=xB./(x)=-|x+l| C./(x)=lnl—D・/(x)=2r+2-v 1+x 【答案】C 【解析】试题分析: 由奇函数排除B、D,在区间(0,1)±单调递减排除A.故选C. 【考点】U函数的奇偶性: 2、函数的单调性. 2ti1冗 4.已知tan(a-#)=-,tan(a+—)=-,则仙“+―)等于() 5444 【答案】C 求解即可. 【详解】 解: 由题可得, 一(a—0) tan 3 22 -tan(a-0)1-3 【答案】B 【解析】本题主要考查利用平而向量数量积讣算向量长度、夹角与垂直问题,渗透了转化与化归、数学计算等数学素养.先由(方-初丄5得出向^a,b的数量积与其模的关系,再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角. 【详解】 因为(方-初丄石,所以Ct-b}b=ab-b=0*所以方•乙=产,所以 a-bl/? l21打 C0S6,=TT=*所以忌与弘的夹角为亍’故选氏 【点睹】 对向量夹角的计算,先计算出向量的数量积及各个向量的摸,在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值,再求岀夹角,注意向量夹角范围为[0,71], 6.设ABC的边BC的延长线上一点,BC=3CD,则() A.AD=-AB--ACB.AD=-AB+-AC 3333 ■■■■■■•I]■■■■• C.AD=—AB+-AC33 【答案】C 【解析】利用平而向量基本左理,把而,花作为基底,再利用向量的加减法法则把向 量而用基底表示出来即可. 【详解】 因为BC=3CD‘所以CD=—BC=—(AC—AB)故选: c. 【点睛】 此题考査了平而向量基本立理和向量的加减法法则,属于基础题. 7.已知定义在R上的函数几丫)满足/(・x)=f(x)t且函数沧)在(・oo,0)上是减函数,若 (2\\ u=f2cos£/r,b=flog,4.1,c=/(208)则心b,c的大小关系为() I、)\2J A.a 【答案】A 【解析】根据题意,由偶函数的左义可得函数f(x)为偶函数,结合偶函数的性质可得 «=/(2cos^)=/(2cos^)=/ (1),^=/(/^,4.1)=/(log24.1)t进而分析可得才(劝在332 (0,+co)上为增函数,又|iil<208<2 【详解】 根据题意,函数f(x)满足/(-X)=/(A-),则函数/(X)为偶函数, «=/(2cos^)=/(2cos^)=/ (1),^/(^14.1)=/(log24.1),“丹), 33*2 又由函数/'(X)在(YO,0)上是减函数,则/(X)在(0,+8)上为增函数, 且l<2°<2 贝lj" 故选: A 【点睛】 本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用,考查指数对数大小的比较,意在考査学生对这些知识的理解掌握水平. X(ex—x>0 &设函数\r•一,若函数g(x)=/a)-处恰有两个零点,-x2-2x-4,x<0 则实数d的取值范围为() A.(0,2)B.(0,2]C.(2,+x)D.[2,+oo) 【答案】A 【解析】根据题总,x=0是函数g(x)=f^)-ax的一个零点,故问题转化为当xhO 时,y=«与y=图象必有一个交点,再根据导数研究y性质,数形结 XX 合求解即可得答案. 【详解】解: 根拯题意•函数g(X)=/(X)-O¥恰有两个零点 由于当x=0时,g(0)=/(0)_0=0,故x=o是函数g(x)=f(x)-ax的一个零点, 所以当xho时,与),=丄⑴图象必有一个交点, 当x>0时,y=Q—厂,y,=e*+厂〉o,故函数),=丄巴在[0,”D)上单调递增,X 444—xzX 当xvO时,y=—X-—-2,卩=一1+「=一,所以当xv(y,_2)时,函数XJTA" y=D单调递减,当xe[-2,0)是单调递增; X 所八•凹J;5函数图象如图, x-x-—-2,x<0 由图可知,若y=d与y=图象必有一个交点,贝Mw(0,2). 故选: A. 【点睛】 本题考查利用导数研究函数的零点问题,考查数形结合思想与化归转化思想,是中档题. 71° 9.已知函数/(x)=2sin(^v+-)(ro>0)的图象在区间[0,1]上恰有3个最高点,则少的取4 值范围为() 「19龙27兀) B. 513龙、 C. L44丿 .2'2丿 17龙25/r)r4、 —D.[4龙,6刃 【答案】C TT 【解析】根据区间[0,1],求岀3•卄一的范围,由于在区间[0,1]上恰有3个最髙点, 4 建立不等关系,求解即可. 【详解】 函数/(X)=2sin(o)a+—)(3>0), 717171 V.v€[0>1]上,/•cox+—G[—*°—]t 444 图象在区间[0,1]上恰有3个最高点, •4兀/兀厶兀“生17龙<25兀 ••4龙+—Se+—v6龙+—,解得: 24244 故选: C. 【点睛】 本题考査正弦函数的图象和性质的应用,考查整体代换的思想,属于基础题. 二、填空题 10.二项式fx2-4j展开式中的常数项为 【答案】40 【解析】研究常数项只需研究二项式的展开式的通项,使得x的指数为0,得到相应的 £,从而可求岀常数项. 【详解】 解: 展开式的通项公式为: 7;+严C;(F厂(_三、=(-2)'C>,0-5\\XJ 令10—5R=0,得R=2 所以常数项为: 7;+1=(-2)2C^=40. 故答案为: 40. 【点睛】 本题主要考查了二项式左理的应用,解题的关键是写出展开式的通项公式,同时考査了计算能力,属于基础题. 11.函数/(x)"sin(g+0)(A>O,。 >0,岡<£)的部分图象如图所示,则*0啲值为 【答案】_氐 【解析】由图可得/(X)的周期、振幅,即可得人少,再将(兰,0)代入可解得0,进一6 步求得解析式及/(0). 【详解】 由图可得心2,W,所以7-心牛即妇2, 又/(—)=0,即2sin(2x—+^? )=0,—+cp=k兀、keZ,'663 又l0lv£,故歼-牛所以/(x)=2sin(2x--),/(0)=2sin(-^)=-^. 2333 【点睛】 本题考査由图象求解析式及函数值,考查学生识图、计算等能力,是一道中档题. 【答案】9 112 【解析】先利用平方差公式和a+b=l得出(-+1)(-+1),再去括号、通分得岀—+1,abab 2根据a+b=\和基本不等式可求出ab的最大值,即千+1的最小值. ab 【详解】 (4_1)(穆_1)=(丄+1)(-_1)(;+1)(;_1)crZraabb 1,l-i/l\-b1b\a =(—+1)——(-+1)-—=(-+l)-(-+l)-aabbaabb=(丄+i)(丄+i)=_L+±+i=Z+i,abababab •/«+Z? =L ci+b》2jub,H卩1$2jub‘ /.ab<—, 4 21 —+l>9t当且仅当a=b=-时,取得等号, ab2 即(丄-1)(丄-1)的最小值是9・a-b~ 故答案为: 9. 【点睛】 本题考查了基本不等式的应用,利用a+b=\这个条件进行转化是关键,属于中档 题. 13.设函数/(x)=2sin 增区间为• 【答案】 ("Z) 33 【解析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式,将函数转化为/(x)=]cos2x+],然后利用余弦函数的性质,令-7T+2k7T<2x<2込求解. 【详解】 (3〃\(托、 函数/(x)=2sin—-xcos(^+x)+sin2—-x, i2丿\2) =3cos2x=—cos2x+—, 22 令-Tr+lkTt<2x<2k兀, 解得一巴+k兀5x5k汀, 2 所以/(x)的单调递增区间为一壬+S后("Z), 故答案为: -彳+R化炽(kwZ) 【点睹】 本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用和三角函数的性质,还考查了运算求解的能力,属于中档题. 14.在等腰梯形中,AB//CD,AB=2,AD=1,NDAB=60,若BC=3CE, AF=XAB>KaEDF=-1»则A.=_. 【答案】7 4 【解析】依题意得AB//CD.AB=2;AD=BC=1,^DAB=ZABC=60・ •BC=3CE 5E-DA=-BC-DA=-|bc|-|da|cos120°=-- AF=AAB DF=-\ Z5F=(AB+BE)(Z5a+AF)=ASZM+ABAF+BErn+BEAF==2xlxcosl20°+2x2/l-ix-^=-l ・・・r 故答案为丄. 4 三.解答题 (1)求/(x)的最小正周期; 7171 (2)若将/(X)的图象向左平移二个单位,得到函数gg的图象,求函数g(x)在区间0.-上的最大值和最小值. 【答案】 (1)兀 (2)1;-2 【解析】 (1)利用倍角公式及诱导公式化简,然后由周期公式求周期: (2)由三角函数的图象平移得到函数的解析式,结合x的范用求得函数g(x)在区间[0,兰]上的最大值和最小值. 【详解】 (1)f(x)=2>/3sin(x+—)tos(x+—)—sin(2x+3/r) —sin2x+—cos2x)=2sin(2x+—)・ 223 ・・・/(x)的最小正周期为——=托; ⑵由已知得g(x)=/(x+f)=2sin[2(x+t)+f] =2sin(2a,'+—H—)=2cos(2x4—), vxe[0,—], 故-'12x+—=^,即x=—时,g(x),”i”=g(亍)=一2: 当2x+7=p即乳=0时,(彳)=1. 【点睛】 本题考查了三角恒等变换及其应用,考查了三角函数的图象和性质,考查了三角函 数的最值,属于中档题. 16.在公ABC的内角A,8,C的对边分别是M,c,满足一i_=l_——Sm—a+csinA+sinB (1)求角A的值; (2)若a=3,b=2近,求sin(2B+A)的值. 【答案】 (1)A=-; (2)2炉近 36 【解析】 (1)根据已知条件,由正弦泄理角化边,得到三边的关系,进而利用余弦定理 求解; (2)由正弦左理求得应并根据边的大小关系判立B为锐角,然后利用倍角公式和 两角和的正弦公式计算. 【详解】 btsinC 解: (1)J=1 a+csin4+sin3 bc 由正弦定理得,——=1 a+ca+b 化简得,b2+c2-a2=bc・ 由余弦立理得,cosA=—=[ 2bc2 又0v4<龙, 兀 A=—. 3 (2)由 (1)知,A=—f 3 又d=3,b=2迈,・・.sinB=^U=^・ a3 2^2sin2B=2sinBcosB=——— 3 cos2B=l-2shrB=-l,sin2Bcos—+cos2Bsin—= 3 3 【点睛】 本题考査正余弦左理的综合运用,涉及二倍角公式和两角和差的三角函数公式,属中等 难度的题目•关键是熟练利用正弦左理,余弦圧理和三角恒等变形计算. 17.在四棱锥P-ABCD中,PQ丄平面ABCD,AB//DC9AB丄AD, DC=AD=\9AB=2,ZPAD=45°9E是P4的中点,F在线段AB且满 足CFBD=0・ (1)求证: DE\\平面PBC; (2)求二面角F-PC-B的余弦值; (3)在线段Q4上是否存在点0,使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是若存 3 在,求出AQ的长;若不存在,请说明理由. 【答案】 (1)见解析: (2)纟;(3)2 310 【解析】【详解】 分析: 该题是立体几何的有关问题,第一问在证明线面平行时,可以利用常规方法,用 线而平行的判左立理来证明,也可以应用空间向量来证明,用直线的方向向量与平而的法向量是垂直的即可,第二问求二面角的余弦值,用两个平而的法向量所成角的余弦值来求得,第三问假设苴存在,设出点的坐标,建立等量关系式从而求得结果,做好取舍即可. 详解: (1)iiE明: 取阳的中点M,AB的中点N.连接EM和CM, ACDHAB且 2 •••E,M分别为P4,阳的中点. EW〃初且EM=-AB 2 : .EM//CD負EM=CD,四边形CDEW为平行四边形, : ・DE〃CM、CMu平而PBC,£>E ・•.DE||平而BPC. (1)由题意可得DA,DC,DP两两互相垂直,如果,以D为原点,D4,DC,DP 分别是X,y,z轴建立空间直角坐标系D-xyz,则 设平而PBC的法向虽: 为/n=(x,y,z) BC=(-l,-l,0),CP=(O,-l,l) 历.EC==0.\x=-y m・CP=-y+Z=0[y=Z ‘: •m・DE=0>•: DE丄m : .DE〃平面PBC (2)设点F坐标为(1昇,0) 则CF=(l,r-l,O),血=(1,2,0), 由乔•丽=0得『=*,•••F(l,*'° m-n=-l+2+2=3 n|L-\亓•历3 则◎"〃沪丽=远=丁又由图可知,该二面角为锐角故二而角—的余弦值呼 _-一_( (3)设AQ=AAP=(-A,0,2),2g[0,1],: .F^Q=FA+AQ=一兄,一牙, •••亓.耳=兄一1 讥与平而PFC所成角的余弦值是◎其正弦值为晳 2022+82-1=0.解得: A=-^ 存在满足条件的点0‘入0=(一77? ,°,77? '且|^(2|= k1010丿1〜10 点睛: 在解决立体几何问题时,尤苴空间关系的时候,可以有两种方法,一是常规法,二是空间向量法,在应用而的法向量所成角来求二而角的时候,一沱需要分淸楚是其补角还是其本身,在涉及到是否存在类问题时,都是先假设存在,最后求出来就是有,推出矛盾就是没有. 18. 若函数/aX(sinx+dg)在冷彳|上单调递增,求实数a的取值范围. 恒成立即可 【详解】由/(x)=^r(sinx+6/cosx)=>ff^x)=ex[sinx+cosx+o(cosx-sinx)],要使 /(x)在区间py单增,即f\x)>0在区间彳冷恒成立, JT 当x=-时恒成立: 4 sinx+cosxtanx+1一2 a<==1+ sinx-cosxtanx-1tanx-1 —时,1+1,故1+——-——G(l,+co),故a<\\ 2tanx-1tanx-1 当*彳时,*1,综上所述,a<\故答案为: a<\ 【点睛】 本题考査利用导数和函数在左区间的单调性求解参数取值范用,属于中档题 19.已知函数f(x)=Inx.g(x)=A+-1,(a9bWR) x (1)当g・i,b=0时,求曲线y=f(x)-g(x)^x=i处的切线方程: (2)当归0时,若对任意的xe[l,2],沧)+g(x*0恒成立,求实数4的取值范围; (3)当fl=o,b〉o时,若方程/(x)=g(x)有两个不同的实数解EX2(X1 Xl+X2>2. 【答案】(I)x+y-3=o (2)[二+8)(3)证明见解析 2 【解析】 (1)求出y=/(x)-g(x)的导函数,求出函数在x=l时的导数得到切线的斜率,然后用一般式写岀切线的方程; (2)对Vxefl,2],f(x)+g(x)^O都成立,则对Vxe[l,2],a^-x2/nx+x2,恒 成立•构造函数/i(x)=-x2lnx+x2(1^2),求出〃⑴的最大值可得d的范围; (3)由f(x)=g(x),得lnx-bx+l=0,构造函数F(x)=lnx-bx+l(x>0),将问 2 题转化为证明F(--x1)>0=F(x1),然后构造函数证明b F(--xl)>F(xJ=0=F(x.)即可. b 【详解】 (1)当d=—l时,b=0时, t12 ・・y> XX ••当x=i时,y=-it ・・・曲线y=/(Q—g(x)在x=i处的切线方程为兀+y—3=o: (2)当b=0时,对Vxe[l,2],/(x)+g(x)20都成立,则对Va-€[1,2],a^-x2lfix+x2恒成立, 令h(x)=-x2lnx+兀2(1Q02),则卅(兀)=-2xlnx+x. 令hf(x)=0,则x=>[e. ・••当lvxvQ畑>0,此时/心)单调递增: 当^ ••吨, 的取值范围为[彳,T (3)当°=0,/? >0时,由fM=g(x),得lnx-bx+l=09 方程fM=g(x)有两个不同的实数解册,x2(x} x 令F\x)=0,则x=-, b ・••当0vxv丄时,F\x)>0,此时FW单调递增: 当x〉丄时,F\x)<0,此时F(x)bb 单调递减, ••-F(x)吨=F(》>0, : .0 又F(l)=--<0,F (1)=l-Z? >0, ee 21 ・・Xi>—, hb 222 ・•・只要证明左〉一一x「就能得到片+〔>—>2,即只要证明F(^-xI)>O=F(xI),bbb 221 令G(x)=F(—-x)-F(x)=In{—一x)-Inx+2bx-2(0<-), bbb <0, 则G'(x)= ・•・G(x)在(0丄)上单调递减,则G(x)>G(-)=F(---)-F(-)=0,bbbbb 2 ・•・G(xx)=F(--Xj)-F(x})>0, b 2 .・・F(--xl)>F(Xj)=0=F(X2), h 2 /.x,>—x, 2b1 即X,+X2>2,证毕. 【点睛】 本题主要考查求曲线的切线方程,不等式恒成立问题和利用导数研究函数的单调性,考 查函数思想和分类讨论思想,属难题.
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