高中数学易错题举例分析doc.docx
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高中数学易错题举例解析
高中数学中有许多题目,求解的思路不难,但解题时,对某些特殊情形的讨论,却很容易被忽略。
也就是在转化过程中,没有注意转化的等价性,会经常出现错误。
本文通过几个例子,剖析致错原因,希望能对同学们的学习有所帮助。
加强思维的严密性训练。
●忽视等价性变形,导致错误。
x>0
x+y>0
x>1
x+y>3
y>0
xy>0
,但
y>2与
xy>2
不等价。
已知f(x)=ax+
x
3
f
(1)0,3
f
(2)
6,求f(3)的范围。
b,若
3
a
b
0
①
错误解法
由条件得
3
2a
b
6
②
2
②×2-①
6a
15
③
①×2-②得
8
b
2
④
3
3
3
③+④得
10
3a
b
43
即
10
f(3)
43.
3
3
3
3
3
x,其值是
错误分析
采用这种解法,忽视了这样一个事实:
作为满足条件的函数
f(x)ax
b
同时受a和b制约的。
当a取最大(小)值时,b不一定取最大(小)值,因而整个解题思路是错误
的。
f
(1)
ab
1
2
b
[2f
(2)f
(1)],
b
f
(2)],
正确解法
由题意有
f
(2)
解得:
a
[2f
(1)
2a
3
3
2
f(3)
3a
b
16f
(2)
5f
(1).
把f
(1)和f
(2)的范围代入得
16
f(3)
37.
3
9
9
3
3
在本题中能够检查出解题思路错误,并给出正确解法,就体现了思维具有反思性。
只有牢固地掌握基础知识,才能反思性地看问题。
●忽视隐含条件,导致结果错误。
(1)设、
是方程x2
2kx
k
6
0的两个实根,则(
1)2
(1)2的最小值是
(A)
49
(B)
8
(C)
18
(D)不存在
4
思路分析
本例只有一个答案正确,设了
3个陷阱,很容易上当。
利用一元二次方程根与系数的关系易得:
2k,
k
6,
(1)2
(
1)2
2
2
1
2
2
1
(
)2
2
2(
)
2
4(k
3)2
49.
4
4
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有的学生一看到
49
A)的诱惑,盲从附和。
这正是思维缺乏反思性的体现。
,常受选择答案(
4
如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别,就能从中选出正确答案。
原方程有两个实根
、
,∴
4k2
4(k6)0
k
2
或k
3.
当k
3时,(
1)2
(
1)2的最小值是
8;
当k
2时,(
1)2
(
1)2
的最小值是18。
这时就可以作出正确选择,只有(
B)正确。
(2)已知(x+2)2+
y2=1,求x2+y2的取值范围。
4
错解由已知得
y2=-4x2-16x-12,因此x2+y2=-3x2-16x-12=-3(x+
8
)2+
28
,
3
3
∴当x=-8
时,x2+y2有最大值28,即x2+y2的取值范围是(-∞,28
]。
3
3
3
分析没有注意x的取值范围要受已知条件的限制,丢掉了最小值。
事实上,由于(x+2)2+y2=1
(x+2)2=1-y2
≤1
-3≤x≤-1,
4
4
从而当x=-1时x2+y2有最小值1。
∴
x2+y2的取值范围是[1,
28]。
3
注意有界性:
偶次方
x2≥0,三角函数-1≤sinx≤1,指数函数ax>0,圆锥曲线有界性等。
●忽视不等式中等号成立的条件,导致结果错误。
已知:
a>0,b>0,a+b=1,求(a+
1)2+(b+1
)2的最小值。
a
b
错解(a+12
1
222
1
1
2
+4≥4ab
1
a)
+(b+b
)=a+b
+a2
+b2
+4≥2ab+ab
ab+4=8,
∴(a+1)2+(b+1)2的最小值是8.
a
b
a=b=1
分析上面的解答中,两次用到了基本不等式
a2+b2≥2ab,第一次等号成立的条件是
第二次等
1
2
号成立的条件是
ab=
,显然,这两个条件是不能同时成立的。
因此,
8不是最小值。
1
ab
1
1
1
)+4=[(a+b)2-2ab]+[(1
1
)2-2
事实上,原式=a2+b2+
+
+4=(a2+b2)+(
+
+
]+4
a2
b2
a2
b2
ab
ab
1
=(1-2ab)(1+a2b2)+4,
由ab≤(ab)2=
1
得:
1-2ab≥1-
1
=
1
且
1
≥16,1+
1
≥17,
2
4
22
a2b2
a2b2
∴原式≥1×17+4=25
(当且仅当a=b=
1时,等号成立),
∴(a+1
2
1
2
2
)2+(b+
)2的最小值是25
。
a
b
2
●不进行分类讨论,导致错误
(1)已知数列an的前n项和Sn
2n
1
,求an.
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错误解法
anSn
Sn1(2n
1)
(2n1
1)
2n
2n1
2n1.
错误分析
显然,当n
1时,a1
S1
3
211
1。
错误原因:
没有注意公式anSnSn1成立的条件是。
因此在运用an
Sn
Sn1时,必须检验n
1时的情形。
即:
an
S1(n
1)
Sn(n
。
2,nN)
(2)实数a为何值时,圆x2
y2
2ax
a2
1
0与抛物线y2
1x有两个公共点。
2
错误解法
将圆x2
y2
2axa2
1
0与抛物线
y2
1x联立,消去y,
1)xa2
2
得x2
(2a
10(x
0).
①
2
0
因为有两个公共点,所以方程①有两个相等正根,得
2a
1
0
17
2
,解之得a.
8
a2
1
0.
错误分析
(如图2-2-1;2-2-2)显然,当a
0时,圆与抛物线有两个公共点。
yy
OxOx
图2-2-1图2-2-2
要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根;或有两个相等正根。
0
当方程①有一正根、一负根时,得
a2
1
解之,得
1a1.
0.
因此,当a
17
或1a1时,圆x2
y2
2ax
a2
10与抛物线y2
1x有两个公共点。
8
0与抛物线y21
2
思考题:
实数a为何值时,圆x2
y2
2axa2
1
x,
2
(1)有一个公共点;
(2)有三个公共点;(3)有四个公共点;(4)没有公共点。
●以偏概全,导致错误
以偏概全是指思考不全面,遗漏特殊情况,致使解答不完全,不能给出问题的全部答案,从而表现出思维的不严密性。
(1)设等比数列an的全n项和为Sn.若S3S62S9,求数列的公比q.
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错误解法
S3
S6
2S9,
a1(1
q3)a1(1
q6)
2
a1(1
q9),
1
q
1
q
1
q
整理得
q3
(2
q6
q3
)=
0.
1
由q
0得方程
2q6
q3
1
0.
(2q3
1)(q3
1)
0,
q
3
4
或q
1。
2
错误分析
在错解中,由a1(1
q3)
a1(1
q6)
2
a1(1
q9),
1
q
1
q
1
q
整理得
3
6
3
)=
时,应有
a
0
q
1。
q(2q
q
1
0
1
和
在等比数列中,a1
0是显然的,但公比q完全可能为
1,因此,在解题时应先讨论公比
q1的
情况,再在q
1的情况下,对式子进行整理变形。
正确解法
若q1
,则有S3
3a1,S6
6a1,S9
9a1.但a1
0
,即得S3
S6
2S9,与题设
矛盾,故q1.
又依题意
S3
S6
2S9
a1(1
q3)
a1(1
q6)
2a1(1
q9)
q3(2q6
q3
1)=0,
1
q
1
q
1
q
即(2q3
1)(q3
1)
0,因为q
1,所以q3
1
0,所以2q3
1
0.解得q
34.
2
说明此题为1996
年全国高考文史类数学试题第(
21)题,不少考生的解法同错误解法,根据评分
标准而痛失2分。
(2)求过点(0,1)的直线,使它与抛物线
y2
2x仅有一个交点。
错误解法
设所求的过点
(0,1)的直线为y
kx1,则它与抛物线的交点为
y
kx
1
1)
2
2x
0.整理得
k2x2
(2k
2)x
1
0.
y2
2x
,消去y得(kx
直线与抛物线仅有一个交点,
0,解得k
1.
所求直线为y
1x1.
2
2
错误分析
此处解法共有三处错误:
第一,设所求直线为
y
kx
1时,没有考虑
k
0与斜率不存在的情形,实际上就是承认了该
直线的斜率是存在的,且不为零,这是不严密的。
第二,题中要求直线与抛物线只有一个交点,它包含相交和相切两种情况,而上述解法没有考虑相切的情况,只考虑相交的情况。
原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。
第三,将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程,要考虑它的判别式,所以它的二次
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项系数不能为零,即
k
0,而上述解法没作考虑,表现出思维不严密。
正确解法
①当所求直线斜率不存在时,即直线垂直
x轴,因为过点
(0,1),所以x0,即y轴,
它正好与抛物线
y2
2x相切。
②当所求直线斜率为零时,直线为
y=1平行x轴,它正好与抛物线
y2
2x只有一个交点。
(0,1)的直线为ykx
1(k
0),则
y
kx
1
③一般地,设所求的过点
y2
,
2x
2
2
1
1
k
x
(2k
2)x
1
0.令
0,解得k=
2
∴所求直线为
y
2x
1.
综上,满足条件的直线为:
y
1,x
0,y
1x1.
2
《章节易错训练题》
1、已知集合M={直线}
,N={圆},则M∩N中元素个数是
A(集合元素的确定性
)
(A)0
(B)0或1
(C)0或2
(D)0或1
或2
2、已知A={x|x2
+tx+1=0},若A∩R*=
,则实数t集合T=___。
tt
2
(空集)
3、如果kx2+2kx-(k+2)<0恒成立,则实数
k的取值范围是
C(等号)
(A)-1≤k≤0
(B)
-1≤k<0
(C)
-1 (D) -1 4、命题A: x 1<3,命题B: (x 2)(x a)<0,若A是B的充分不必要条件,则 a的取值范围是 C(等号) (A)(4, ) (B)4, (C)( 4) (D) 4 5、若不等式x2-logax<0在(0, 1)内恒成立,则实数 a的取值范围是 A(等号) 2 1 1 1 (A)[16 1) (B)(1,+ ) (C)(16 1) (D)(2 1)∪(1,2) 6、若不等式(-1)na<2+ (-1)n+1 对于任意正整数 n恒成立,则实数 a 的取值范围是 A(等号) n 3 3 3 3 (A)[-2,2 ) (B)(-2,2) (C)[-3,2 ) (D)(- 3,2) 7、已知定义在实数集 R上的函数f(x)满足: f (1) 1;当x 0时,f(x) 0;对于任意 的实数x、y都有f(xy)f(x) f(y)。 证明: f(x)为奇函数。 (特殊与一般关系) 8、已知函数f(x)= 1-2x ,则函数f(x)的单调区间是_____。 递减区间(-,-1)和(-1,+) x+1 (单调性、单调区间) 9、函数y= 2 2,-1)(定义域) log0.5(x-1)的单调递增区间是________。 [- log2(x+2) x>0 -1 2x-2 x>1 x x 10、已知函数f(x)= x≤0,f(x)的反函数f (x)= 。 0≤x<1 x-1 x-1 (漏反函数定义域即原函数值域) 学习必备 欢迎下载 11、函数f(x)=log1 (x2+ax+2) 值域为 R,则实数 a 的取值范围是 D(正确使用△≥ 0和△<0) 2 (A)(-22 2 2) (B)[-22 2 2 ] (C)(-,-22)∪(22 + ) (D)(-,-2 2 ]∪[2 2,+) 12、若x≥0,y≥0且x+2y=1,那么 2x+3y2的最小值为B(隐含条件) (A)2
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