动态法测量杨氏模量.docx
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动态法测量杨氏模量
实验四动态法测定材料杨氏模量
杨氏模量是工程材料的一个重要物理参数,它标志着材料抵抗弹性形变的能力。
杨氏模量测量方法有多种,最常用的有拉伸法测量金属材料的杨氏模量,这属于静态法测量,这种方法一般仅适用于测量形变较大、延展性较好的材料,对如玻璃及陶瓷之类的脆性材料就无法用此方法测量。
动态法由于其在测量上的优越性,在实际应用中已经被广泛采用,也是国家标准指定的一种杨氏模量的测量方法。
本实验用悬挂、支撑二种“动态法”测出试样振动时的固有基频,并根据试样的几何参数测得材料的杨氏模量。
一、实验目的
1.理解动态法测量杨氏模量的基本原理。
2.掌握动态法测量杨氏模量的基本方法,学会用动态法测量杨氏模量。
3.培养综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。
4.进一步了解信号发生器和示波器的使用方法。
二、实验原理
长度L远远大于直径d(L>>d)的一细长棒,作微小横振动(弯曲振动)时满足的动
42
力学方程(横振动方程)为:
y4s2y0
(1)
x4YJt2
式中为棒的密度,S为棒的截面积,J称为惯量矩(取决于截面的形状),Y为杨氏模
量。
解以上方程的具体过程如下(不要求掌握):
用分离变量法:
令y(x,t)X(x)T(t)
等式两边分别是x和t的函数,这只有都等于一个常数才有可能,设该常数为K4,于是得:
24
d2T2K4YJT0
dt2s
这两个线形常微分方程的通解分别为:
X(x)B1chKxB2shKxB3cosKxB4sinKxT(t)Acos(t)于是解振动方程式得通解为:
y(x,t)(B1chKxB2shKx
B3cosKxB4sinKx)Acos(t
1
K4YJ2
s
该公式对任意形状的截面,不同边界条件的试样都是成立的。
我们只要用特定的边界条件
定出常数K,并将其代入特定截面的转动惯量
J,就可以得到具体条件下的计算公式了。
如果悬线悬挂(支撑点)在试样的节点附近,
则其边界条件为自由端横向作用力:
YJ
弯矩:
d3X
dx3
3
x33y0
x
2
YJ2y
x
d3X
dx3
d2X
dx2
d2X
dx2
将通解代入边界条件,得到cosKLchKL
1,用数值解法求得本征值K和棒长L应满足:
KL0,4.7300,7.8532,10.9956,14.137,17.279,20.420
由于其中第一个根“0”对应于静态情况,故将其舍去。
将第二个根作为第一个根,
记作K1L。
一般将K1L4.7300所对应的共振频率称为基频(或称作固有频率)。
在上述KnL值中,1,3,5⋯个数值对应着“对称形振动”,第2、4、6⋯个数值对应着“反
对称形振动”。
图1给出了当n1,2,3,4时的振动波形。
由n1图可以看出,试样在作基频振动时,存在两个节点,它们的位置距离端面分别为0.224L和0.776L处。
理论上悬挂点(支撑点)应取在节点处,但由于悬挂(支撑点)在节点处试样棒难于被激振和拾振,为此,可以在节点两旁选不同点对称悬挂(支撑),用外推法找出节点处的共振频率。
将第
一本征值K4.7L300代入
(2)式,得到自由振动的固有频率(即基频)
解出杨氏模量:
1
42
4.73004YJ2l4s
3L4s2
Y1.99781032J
2L3m2
7.8870102f2J
对于圆棒:
2d2
Jy2dss()2式中d为圆棒的直径。
4
得到杨氏模量的表达式为:
L3m
Y1.6067Lm4f2(3)
d
上式即为
(1)式的解。
式中L为棒长,d为棒的直径,m为棒的质量。
如果在实验中测定出试样(棒)在不同温度时的固有频率f,即可计算出被测试样在不同温度条件下的杨氏模量Y。
在国际单位制中杨氏模量的单位为(Nm2)。
本实验的基本问题是测量试样在一定温度时的共振频率。
为了测出该频率,实验时可采用如图2所示装置。
由信号发生器输出的等幅正弦波信号,加在传感器I(激振)上。
通过传感器I把电信号转变成机械振动,再由悬线(支撑刀)把机械振动传给试样,使试样受迫作横向振动。
试样另一端的悬线(支撑刀)把试样的振动传给传感器II(拾振),这时机械振动又转变成电信号。
该信号经放大后送到示波器中显示。
当信号发生器的频率不等于试样的共振频率时,试样不发生共振,示波器上几乎没有信号波形或波形很小。
当信号发生器的频率等于试样的共振频率时,试样发生共振。
这时示波器上的波形突然增大,这时读出的频率就是试样
在该温度下的共振频率。
根据(
图3动态杨氏模量测试台
三、实验仪器
1.FB2729A型动态杨氏模量实验仪1套;2.通用双踪示波器1台;3.天平、游标卡尺、螺旋测微计等。
四、实验内容
先按图4把实验仪器连接好,通电预热10分钟,再按下述步骤进行实验。
1.测定试样的长度L、直径d和质量m,每个物理量各测5次。
2.在室温下,不锈钢和铜的杨氏模量参考值分别为:
21011Nm2和1.21011Nm2,实验前可先按公式
(1)估算出共振频率f,以便于寻找共振点。
3.“悬挂法”:
把试样棒用细棉线挂在测试台上,悬挂点的位置放在0.0365L和0.9635L处
测量一组数据,再分别挂在0.099L和0.901L,0.1615L和0.8385L,0.224L和0.776L,
0.2865L和0.7135L,0.349L和0.651L共测量6组数据,一一记录在表1中。
(具体位置金属棒上已用刻度线标注)。
4.把信号发生器的输出与测试台的悬挂法-输入相连,测试台的悬挂法-输出与放大器的输入相接,放大器的输出与示波器的Y输入相接。
5.把示波器触发信号选择开关设为“内置”,Y轴增益置于最小档(或左边第二档),Y轴极性置于“AC”。
6.鉴频与测量:
先将两悬线挂在离试样端部30mm处,待试样稳定后,调节信号发生器
频率旋钮,寻找试样棒的共振频率f1。
当示波器荧光屏上出现共振现象时,即正弦波幅度突然变大时,再微调信号发生器频率旋钮,使波形振辐达到极大值。
鉴频就是对试样共振模式及振动级次的鉴别,所以它是准确测量操作中重要的一步。
在进行频率扫描时,我们发现试棒不只在一个频率处发生共振现象,而我们使用的公式(3)只适用于基频共振的情况。
所以我们要确定试样是在基频频率下产生的共振。
我们用阻尼法来鉴别:
如果用手沿
试样棒的长度方向轻触棒的不同部位,同时观察示波器,如果手指触到的是波节处,则示波器上的波形幅度不变,如果手指触到的是波腹处,则示波器上的波形幅度变小,当发现试棒上仅有两个波节时,那么这时的共振就是基频频率下的共振,记下这一频率f1。
7.因试样共振状态的建立需要有一个过程,且共振峰十分尖锐,因此在共振点附近调节信号频率时,必须十分缓慢地进行,直至示波器的显示屏上出现最大的信号。
8.记录室温下的共振频率f,求出材料的杨氏模量Y。
9.本实验用铜棒和钢棒各做一次。
10.“支撑式”:
把试样棒从悬挂线上取下,轻放于测试台支撑式的激、拾振器的橡胶支撑刀上。
把信号发生器的输出与测试台的支撑式-输入相连,测试台的支撑式-输出与放大器的输入相接,放大器的输出与示波器的Y输入相接。
11.其余同“悬挂法”步骤。
五、数据与结果
将所测各物理量的数值代入公式(3),计算出该试样棒的杨氏模量Y。
再利用不确定
度传递估算相对不确定度EY和不确定度YYEY写出实验结果表达式:
YYY
1.估算金属棒的长度L、直径d、和质量m的测量值及其不确定度。
LL(mm);dd(mm);mm(g)
2.由公式(3)分别求出钢棒和铜棒的杨氏模量YY(Nm2)(已知信号发生器的频
率不确定度为:
当f1000Hz,f0.1Hz,当f1000Hz,f1Hz
Y(3L)(4d)(m)(2f)
附:
铜试样棒的基频共振频率:
680~780Hz
杨氏模量为:
Y铜1~1.21011(Nm2)
不锈钢试样棒的基频共振频率:
1000~1100Hz
杨氏模量为:
Y钢1.95~2.101011(Nm2)
六、注意事项
1.试样棒不可随处乱放,保持清洁,拿放时应特别小心。
2.悬挂试样棒后,应移动悬挂横杆上的振,拾振器到既定位置,使二根悬线垂直试样棒。
3.更换试样棒要细心,避免损坏激振,拾振传感器。
4.实验时,试样棒需稳定之后可以进行测量。
【思考题】
1.试讨论:
试样的长度L、直径d、质量m、共振频率f分别应该采用什么规格的仪器测量为什么
2.估算本实验的测量误差。
提示:
可从以下几个方面考虑:
(1)仪器误差限;
(2)悬挂/支撑点偏离节点引起的误差。
七、数据表格
表1悬挂/支撑点位置与共振频率数据记录(以L160mm计算悬挂/支撑点)
测量组别
1
2
3
4
5
6
悬挂/支撑点位置
(mm)
5.84
15.84
25.84
35.84
45.84
55.84
悬挂/支撑点位置
(mm)
154.16
144.16
134.16
124.16
114.16
104.16
悬挂共振频率
f1(Hz)
支撑共振频率
f1(Hz)
表中的悬挂、支撑点位置一律以测试棒左端(或右端)点为起始点。
表2被测试样的参数与共振基频记录
室温:
C
实验日期:
测试样品材质
黄铜圆柱体棒
不锈钢圆柱体棒
样品长度L(102m)
样品直径D(10-3m)
样品质量m(103kg)
悬挂共振频率f1(Hz)
支撑共振频率f1(Hz)
表3几种固体材料的杨氏模量的参考值
材料名称
Y(1011Nm2)
材料名称
Y(1011Nm2)
生铁
0.735~0.834
有机玻璃
0.04~0.05
碳钢
1.52
橡胶
78.5
玻璃
0.55
大理石
0.55
注:
因环境温度及试棒材质不尽相同等影响所提供的数据仅作参考。
附录】需要说明的二个问题:
1.当测试样品不满足dL时,公式(3)需要乘以一个修正系数T1,有关内容可参考
金属材料的国家标准(GB/T200591中说明)。
2.物体的固有频率f固和共振频率f共是两个不同的概念,他们之间的关系是:
式中,Q为试样的机械品质因素。
对于悬挂法测量,一般Q的最小值为50,把该值代入
率相比只相差十万分之五(0.005%)。
本实验中只能测量出试样的共振频率,由于相差很
小,所以用共振频率代替固有频率是合理的。
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