中国石油大学高数22历年期末试题参考答案docx.docx
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2007—2008学年第二学期高等数学(2-2)期末试卷(A)参考答案
一、填空题:
1~6小题,每小题4分,共24分.请将答案写在指定位置上.
1.平面ni:
y—z=o与平面n2:
x+y=o的夹角为y.
2.函数z=子+站在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,2+V3)的方向的方向导数为1+2后.
3.设•/'(x,y)是有界闭区域Dix2+y2 —0时, 耽土0心她=睥。 ) 4.区域Q由圆锥面亍+>2=Z2及平面Z=1围成,则将三重积分Jj]f$+V)dv在柱面坐标系下 p2勿p1p1 化为三次积分为Jod0jodrjf(r)rdz. 5.设「为由曲线x=t,y=t2,z=t3相应于,从0至U1的有向曲线弧,P,Q,R是定义在「上的连续三元函数,则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有: rf(/? +/2》。 +3yR讪 ^Pdx+Qdy+Rdz=Jr++9y2^/1+4^2+9v2++9y- 6.将函数/(x)=x+l(0 x+l=——1(cosx+—cos3x+—cos5x-\—)(0 27T3252 二、单项选择题: 7~12小题,每小题3分,共18分。 下列每题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请将所选项前的字母填在题后的括号内. 7.若z=/(x,v)有连续的二阶偏导数,且K(x,y)=K(常数),则/;(x,v)=(D) (A): (B)Ky: (C)Ky+9(x);(D)Kx+(p(y). 8.设/'(x)是连续的奇函数,g(x)是连续的偶函数,区域D={(x,j)|0 (A)jjy(y)g(x)d&fy=0;(B)jjy(x)g(y)d&fy=0; DD (C)jj[f(x)+g(y)]dxdy=0;(D)jj[f(y)+g(x)]dxdy=0. DD 9,已知空间三角形三顶点A(—1,2,3),3(1,1,1),C(0,0,5),则AABC的面积为(A) (A) 7 (B)g; 23 (C)6;(D)-. 10.曲面积分jjz2dxdy在数值上等于(C). n—►2 (A)流速场v=zz穿过曲面£指定侧的流量;(B)密度为P=z的曲面片£的质量; (C)向量场F=z2k穿过曲面E指定侧的通量;(D)向量场F=z2k沿2: 边界所做的功. 11.若级数Zc"(x+2)"在x=-4处是收敛的,则此级数在x-1处(D)n=l (A)发散;(B)条件收敛; 12.级数y^-4—的敛散性为(a) „=in (A)当p〉? 时,绝对收敛; (C)当0时,绝对收敛; (C)绝对收敛;(D)收敛性不能确定. (B)当p〉? 时,条件收敛; (D)当0时,发散. 三、解答题: 13~20小题,共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13.(本题满分6分)设x+y+z=e~(x+y+z)确定z=z(x,y),求全微分Hz. 解: 两边同取微分dx+dy+dz=e~(x+y+z)•(-1)•(dx+dy+di),整理得dz=-dx-dy. \2v2z2—Qy=n 14.(本题满分8分)求曲线{—在点(1,1,1)处的切线与法平面方程. 9一4- -- 1)O 1^-3- z(\1^云也一公<」 2x-3y+5z-4=0 c人dy人dzc 2x+2yF2z.——3 dxz/y 解: 两边同时关于X求导axax,解得< 2—3空+5臣=0 、dxdx —Q1x—1v—1z—1 所以切向量为: T={1,—,——},切线方程为: 一=」=—; 1616169-1 法平面方程为: 16(x-l)+9(v-l)-(z-l)=0,即16x+9y—z—24=0. 15.(本题满分8分)求蓦级数£(2”+1)x”的和函数. n=0 解: 求得此幕级数的收敛域为(—1,1),£(2”+1)x"=£2mc"+£x", n=0n=0n=0 £2nxn=2尤£nxn~x,设A(x)=£nxn~x,贝! J n=0n=ln=\ cx00rx00yAJ-V1 JA(x)火=双”I火==,(—1〈尤<1);..・A(x)==~-7, n=ln=l1—x\l-xj(1—x)- 002Y 即V2nxn=2xA(x)= 2x11+x T~l=r(1-x)21-x(1-x)2 8(1-4 £(2»+l)x"=£2nxn+£x”n=0n=0n=0 16.(本题满分6分)计算/=JJ(x+y+z)dS,其中£为曲面y+z=5被柱面x2+v2=25所截下£ 的有限部分. 解: /=JJ(x+y+z)dS=jj(x+5)t/5 ££ =^xdS(£关于yoz平面对称,被积函数工是x的奇函数)+5打心££ =O+5jjjS=5^2jjdxdy=5皿.25兀=125皿兀. £x2+y2<25 17.(本题满分8分)计算积分/=£(2x2+4^)Jx+(2x2-y2)Jy,其中L为曲线 3,5。 5 (x一;)+(V—;)=;上从点A(l,l)到3(2,4)沿逆时针方向的一段有向弧• 303P—►—► 解: ・..孝=4尤=丁,.・.积分与路径无关,选折线AC+CB为积分路径,Oxdy l,——-[x=x,l 其中C(2,l),AC-.\,CB: \ y=l,dy=o=l 「・/=L(2x2+4xy)dx+(2x2-y2)dy =j_(2x2+4xy)rfx+(2x2-y2)dy+j_(2x2+4xy)rfx+(2x2-y2)dy =L(2尤2+4x)火+J](8-y2)dy=? 18.(本题满分8分)计算/=yzdydz+y(x2+z2)dzdx+xydxdy,£是由曲面4-y=x2+z2 与平面y=0围成的有界闭区域Q的表面外侧. 解: P=yz,Q=y(x2+z2),R=xy,芈+华+半+z? ,由高斯公式,dxdydz /=Eyzdydz+y(x2+z2)dzdx+xydxdy-jjj(x2+z2)dxdydz £。 z=cos3 (利用柱面坐标变换 ,贝! JQ: 0<0<2ti.0 =「汕「"费=也. JoJoJo3 222 19.(本题满分8分)在第I卦限内作椭球面二+仁+二=1的切平面,使切平面与三个坐标面所围 abc 成的四面体体积最小,求切点坐标. 解: 设切点坐标为3o,无,Zo),则切平面的法向量为{学,奈,号}, 切平面方程为*xf+片(r°)+m(z—z°)=o,即昔+晋+芳=1, 1a-b-c2 则切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为¥=-■-— 6Xo.&Zo 令L(x0,y0,z0,2)=Inx0+Iny0+Inz0+2(-^-+-+——1)a~b~c~ 故切点坐标为(彳,g,戛). V3'V3V3 20.(本题满分6分)设/(x),g(x)均在[a,b]±.连续,试证明柯西不等式: [「r(x)dx][,g2(x)dx]2[,/'(x)g(x)dx]2. JaJaJa 证: 设D\a [J: r(x)dx][j: g2(x)必;]=jjy2(x)g2(y)而D关于v=x对称)=jjf2(y)g2(x)6/xt/y DD =;[jj产(X)妒(y)dxd;y+jj产(y)g2(x)dxdW=;jj[/'2(x)g2(y)+y2(y)g2(xWxdy ZDDLD 2;jj[2y(x)g(x)•f(y)g(y)]dxdy=jj[f(x)g(x)-f(y)g(y)]dxdy LDD =「/(x)g(x)<7xffe/(v)g(v)t/v=[「y(x)g(x)dx]2. JaJaJa 2008—2009学年第二学期高等数学(2-2)期末试卷(A)参考答案 1.选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内). 1.设三向量a.b.c满足关系式axb=axc,贝! j(D). (A)必有白=6;(B)必有方-c=6; (C)当时,必有b=c;(D)必有。 =40—。 )(人为常数). 2.直线号=〉等=;与平面4x-2y-2z=3的关系是(A). (A)平行,但直线不在平面上;(B)直线在平面上; (C)垂直相交;(D)相交但不垂直. ^xy 3.二兀函数y)=<+'')在点(0,0)处(A) 0,(号)=(0,0) (A)不连续,偏导数存在(B)连续,偏导数不存在 (C)连续,偏导数存在(D)不连续,偏导数不存在 4.已知攵旦业孚尖为某二元函数的全微分,则。 =(D). (x+j)2 (A)-1;(B)0;(C)1;(D)2. 5.设/(«)是连续函数,平面区域D: -l (A)+y2)dy;(B)f(x2+y2)dx; (C)J。 d0^/(r2)rt/r;(D)J。 f(r2)dr. 3(1 6.设。 为常数,则级数£(一1)"(1—cos—)(B). ,=i" (A)发散;(B)绝对收敛;(C)条件收敛;(D)收敛性与。 的值有关. 2.填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分). 222 1.设函数"(尤,y,z)=1+++盘■,向量〃={1,1,1},点*)(1,2,3), m3"V3 则P=—・ dnP3 q 2.若函数/(x,v)=lx1+ax+xy-+2y在点(1,一1)处取得极值,则常数。 =-5. 3.Z为圆x2+y2=l的一周,则血"2—/)*=o, /700/q 4.设lim&=2,级数Yanx2'-'的收敛半径为—. —an«=i二— 5.设f(x)=J】e~y2dy,则^xf(x)dx=. 2,—1 6.设f(x)是以2为周期的周期函数,它在区间(-1,1]±的定义为/Xx)=[j,0<%<1 3 则f(x)的以2为周期的傅里叶级数在x=l处收敛于-. 3.解答下列各题(本题共7小题,满分44分). 1.(本小题6分) 解题过程是: 令"=处,则^ XOX 0. 2.(本小题6分)计算二重积分J"]'。 %#,,其中D=(x,j)|x2+j2<1,x>0}. 解题过程是: Q关于x轴对称,被积函数一关于>是奇函数,.•」[—dxdy=Q,l+x2+v2l+x2+r- 故=h—=o+j: "「牛=孔2. l+x2+V2-JJl+x2+y2-l+x2+y2J-fJ«l+r22 3.(本小题6分)设曲面z=z(x,y)是由方程x3y+xz=l所确定,求该曲面在点M0(l,2,-l)处的切平面方程及全微分dz|(“). 解题过程是: 令F(x,y,z)=x3y+xz-1,F'=3x2y+z,F'-x3,£'=x,则所求切平面的法向量为: 云={球球月圳气={5,1,1},切平面方程为: 5x+y+z-6=0.dzF'3x2y+zdzF;,,,dz,dz,-,, 二=一~=>-^―=—-=—x>•■-dz\=—dx+—dy=-5dx-dy. *乩xdyEdyMo 4.(本小题6分)计算三重积分jjj』亍+,2dxdydz,其中Q是由柱面y=Vl-x2及J=0,z=0, Q x+y+z=4所围成的空间区域. PPP/~o厂「兀r1or4一r(cos6+sin0) 解题过程是: 利用柱面坐标变换,jjj+ydxdydz=r^rJ0dzQ =J;j0[4,之一,3(cos0+sin=J: —: (cos0+sin0}]dO=寻一: . 5.(本小题6分)求jj(2x+z)dydz+zdxdy,其中£为曲面z=x2+(0 £ 解题过程是: 补汁: z=l,(x,y)eD={x2+y2 £与Ej所围立体为Q: 0V6<2〃,0 由高斯公式,得皿(2x+z)dydz+zdxdy £下+习上 jjj(2+0+l)dxdydz=3J。 J。 rdr^2dz=— q°°'2 ff(2x+z)dydz+zdxdy=—-(J(2x+z)dydz+ztZxtfy=—-0-jj1dxdy=—-^=—.z2g*2o22 6.(本小题7分)求慕级数的收敛域及和函数. ”1n 解题过程是: 因为R=lim4=lim"*"+? =1,故收敛区间为(—1,1); 〃T8an+1〃T8n(〃+1)+] n2+1 x=±l时,极限lim。 0,级数均是发散的;于是收敛域为(-1,1), Q/X孑"2+1 S(x)=>x n=in x 1-x X =-ln(l-x),xe(-l,l). (1-x)2 7.(本小题7分)例1 计算/=jj(x2+)72)rfs,£为立体「尤2+,2 £ 解题过程是: 设£=£]+乙,其中£|为锥面z=7x2+v2,O £i,d在叫X面的投影为力: X2+y2<1.dS1= raz? dxdy=yfldxdy,dS2=dxdy, .../=jj(x2+y2)dS=j](x2+v2)dS+JJ(x2+v2)dS=jj(x2+y2)^2dxdy +Jj+y2)dxdy ££]£2。 £) _(扼+1)〃 =(V2+1)jj(x2+y2)dxdy=(V2+1)丁。 廿可。 r3drD 四.证明题(8分). 设函数/(X,V)在(-8,+8)内具有一阶连续导数,%是上半平面(y>Q)内的有向分段光滑曲线,其 l+y—(xy)人,x[y2f(xy)-l]/ cue\cry, 起点为(a,b),终点为(c,d),记/=J L (1)证明曲线积分/与路径£无关; (2)当。 b=cd时,求/的值. 证明: ⑴记=03)=**, yy 迎=[2质⑴+舟'(叫「]11+3(加]=/(%y)_J_+加⑴; dyy-y 孚="⑴—I顼v=f(功+oxyy ...空=义成立,积分/与路径£无关. dydx (2)由于积分与路径无关,选取折线路径,由点(。 力)起至点(c,b),再至终点(c,d),则 [=J: : P(x,y)dx+JQ(.X,y)dy=J;g+bf(bx^dx+J: [cf(cy)- =S+Jg)妇J v2 V2 cdcCl f(t)dtab=cd)=. abdb cd~iccca fQ)dt+=+ 沥dbdb 2009—2010学年第二学期高等数学(2-2)期末试卷(A)参考答案 一、填空题(6x5分=30分) 1.若向量a,b,c两两互相垂直,且同=5,时=12,甘=13,贝版+片+*13扼. 2.设函数z=A^sinJ,求尤y——=2z. xdxdy 3.设函数f(x,y)为连续函数,改变下列二次积分的积分顺序: p1「』2-矿pipV%pV2pV2-X2 Jo—Jk了(x,y)dx=J()dxJof(x,y)dy+Jif(x,y)dy. r(1,2)c7 4.计算/=J(00)("+尤)赤+(尤"一2y)dy=e2. 5.慕级数£4J”的收敛域为: (-V3,V3). n=l° 6.设函数f(x)=7rx+x2(-7T —+^(<7ncosnx+bnsinnx), 2n=l 则其系数打=—. 33 二、选择题(4x5分=20分) 1.直线号=土=亍与平面3x+4y-z=2的位置关系是(A) (A)直线在平面内;(B)垂直;(C)平行;(D)相交但不垂直. 2.设函数/(x,y)=4(x-y)-x2-y2,则f(x,j)(C) (A)在原点有极小值;(B)在原点有极大值; (0在(2,-2)点有极大值;(D)无极值. 3.设%是一条无重点、分段光滑,且把原点围在内部的平面闭曲线,%的方向为逆时针方向, 贝岫竺言=(C) yx+y (A)0;(B)m;(C)271;(D)-2ti. 4.设。 为常数,则级数Z判竺一一r(B) n=lI〃yJn) (A)绝对收敛;(B)发散;(C)条件收敛;(D)敛散性与。 值有关. 三、计算题(7+7+7+7+6+8=42分) 1.设y(x,y)= 、0,(x,v)=(0,0). 偏导数无(0,0)和尤(0,0).(7分) 如4k 解: 令x=^y2,iimy(^,y)=lim_=-—,随*的取值不同,其极限值不同,k'y^+y4k'+l : .lim/(x,v)不存在,故/(x,y)在原点不连续;x-0y—0 /;(0,0)=limf(0+M0K0,0)=lim宜=0, /;(0,0)=lim川,0+颂)一川,0)=lim宜=。 . '颂—0△》—() 2.计算I—jjjyjx2+y2+z2dh/ydz其中。 是由上半球面z=yj2-x2-y2和锥面 Q z=^x2+y2所围成的立体.(7分) 解: 作球面坐标变换: x=psin^cos0.y=psin^sin6.z=pcoscp.贝! ! dxdydz=p2sin(pdOd(pdp,Q: 0<^<2^,0<-,0 I=jjjJ/+,2+z2dxdydz=jd。 jjsin(pd(p^p3dp=Q-)兀. 2尤所割下部分的曲面面积.(7分)心5.4.'< Q 3.求锥面Z=J/+y2被柱面X2+y2= y_'2|2x+y 解: 锥面£: z=yjx2+y2,(x,y)eD} •••S=JJdS=JI』l+z'\-+Zy2dxdy=V2jjdxdy-V271. £D》y2y 4.计算曲面积分/=l^j*y2zdxdy+z^xdydz+j^ydzdx,其中£是由z=x2+y2,x2+y2=1,£ x=O,y=O,z=0围在第一卦限的立体的外侧表面.(7分) 解: 设。 为£所围立体,P=z2x,Q=x2y,R=y2z,++=x2++z2,由Gauss公式, oxoyoz /=Uy2zdxdy+z2xdydz+x2ydzdx=jjj(x2+y2+z2)dxdydz £Q 作柱面坐标变换: x=rcos0,y=rsin0.z=z.贝! J 7A,c dxdydz=rdOdrdz,Q: 0<^<—,0 25 : .l=\d0\rdr\(r2+z2)dz=——71. J0J0Jo48 001 5.讨论级数Z晔的敛散性.(6分) "Tn2 y「7Inn「Inn八InnA, 解: vlimn4-—=lim—=0,5——收敛. ±〃一>8A— O471=1o 8 6,把级数习一亍,,-1的和函数展成x—1的幕级数.的分) 勺(2h-1)! 22"-' 解: 设级数的和函数为S(x),则 S3)空节"计=£号混|j"=沥闵 xe(—8,+00). 即S3)=sin sm x-11 ~ir+2 .x-11x-1.1 =sincos—+cossin— 2222 =‘启2上吠 2念(2«)! x-1 2n 1<(一1)" +cos—〉 2e(2"+l)! x-1 2n+l •1/(T)"/W"1—(一1)",]、%+1,、 =sin—■>(x-1)-+cos—•〉(x-1)-,xe(_8,+8). 2R(2»)! -22f,2幺(2»+l)! -22f,+1 四、设曲线Z是逆时针方向圆周(x-tz)2+(j-a)2=l,仞(x)是连续的正函数, 证明: [flx"—Y(p(x)dx22几.(8分) )dxdy—ff(^? (x)H^dxdy(而。 关于y=x对称)3y(p(y) ]dxdy=2\
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