完整word版椭圆与双曲线常见题型归纳推荐文档.docx
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椭圆与双曲线常见题型归纳
一.“曲线方程+直线与圆锥曲线位置关系”的综合型试题的分类求解
1.向量综合型
例1.在直角坐标系
xOy中,点P到两点(0,
3),(0,
3)的距离之和为
4,设点P的轨迹为
C,直线y
kx
1与C交于A,B两点。
(Ⅰ)写出C的方程;
uuur
uuur
(Ⅱ)若OA
OB,求k的值。
例1.解:
(Ⅰ)设P(x,y),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以(0,
3),(0,3)为焦点,
长半轴为
2的椭圆.它的短半轴
b
22
(
3)2
1,
故曲线C的方程为
x
2
y2
1.
4
(Ⅱ)设A(x,y),B(x
y
)
,其坐标满足
x2
y2
1,
2
4
1
1
2
y
kx
1.
消去y并整理得(k2
4)x2
2kx
3
0,
故x1
x2
2k
,x1x2
3
.
uuur
uuur
k2
4
k2
4
若OAOB,即x1x2
y1y2
0.
而y1y2
k2x1x2
k(x1
x2)
1,
于是x1x2
y1y2
3
3k2
2k2
10,
k2
4
k2
4
k2
4
化简得
4k2
1
0,所以k
1
.
2
例2.设F1、F2
分别是椭圆
x2
y2
1的左、右焦点.
4
(Ⅰ)若P是该椭圆上的一个动点,求
uuur
uuuur
PF1
PF2的最大值和最小值;
(Ⅱ)设过定点M(0,2)
的直线l与椭圆交于不同的两点
A、B,且∠AOB为锐角(其中O
为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围
例2.解:
(Ⅰ)解法一:
易知
a
2,b
1,c
3
所以F1
3,0
F2
3,0,设P
x,y,则
uuur
uuuur
x2
y2
3x2
x
2
1
3x2
PF1PF2
3x,y,3x,y
1
3
8
4
4
因为x
2,2
,故当x0
uuur
uuuur
,即点P为椭圆短轴端点时,
PF1
PF2有最小值2
当x
2
uuur
uuuur
,即点P为椭圆长轴端点时,
PF1
PF2有最大值1
解法二:
易知a
2,b
1,c
3
,所以F1
3,0
F2
3,0
,设P
x,y
,则
uuur2
uuuur
2
uuuur2
uuur
uuuur
uuur
uuuur
cos
F1PF2
uuur
uuuur
PF1
PF2
F1F2
PF1
PF2
PF1
PF2
PF1
PF2
uuur
uuuur
2PF1
PF2
1
x
2
y2
x
2
y2
12
x2
y2
3(以下同解法一)
3
3
2
(Ⅱ)显然直线
x
0
不满足题设条件,可设直线
l:
y
kx
2,A
x1,y2
B
x2,y2,
y
kx
2
1
联立
,消去y,整理得:
k
2
2
4kx
3
0
x
2
y2
x
1
4
4
∴x1
x2
4k
x2
3
x1
k2
1
k2
1
4
4
由
4k4k
1
3
4k2
30得:
k
3或k
3
2
4
2
2
又00
A0B
900
cos
A0B
0
uuur
uuur
0
OAOB
uuuruuur
∴OAOBx1x2
y1y20
又y1y2
kx1
2kx2
2k2x1x2
2kx1
x2
4
3k2
8k2
4
k2
1
k2
1
k2
1
k2
1
4
4
4
∵
3
k21
0,即k2
4
∴2k2
k2
1
k2
1
4
4
故由①、②得
2
k
3
或
3
k
2
2
2
例3.设F1、F2分别是椭圆
x2
y2
1的左、右焦点,
B(0,
1)
.
4
uuur
uuuur
(Ⅰ)若P是该椭圆上的一个动点,求
PF1
PF2的最大值和最小值;
(Ⅱ)若C为椭圆上异于
B一点,且BF1
CF1,求
的值;
(Ⅲ)设P是该椭圆上的一个动点,求
PBF1的周长的最大值.
例3.解:
(Ⅰ)易知a
2,b
1,c
3,所以F1
3,0
F2
3,0
设P
x,y,则
uuuruuuur
2
y2
3x2
x
2
13x2
PF1PF2
3x,y,3x,y
x
1
3
8
uuur
4
4
因为x
2,2
,故当x
0
,即点P为椭圆短轴端点时,
uuuur
2
PF1
PF2有最小值
当x
2,即点P为椭圆长轴端点时,
uuur
uuuur
PF1
PF2有最大值1
(Ⅱ
)设
C(
x0
,y0
),
B(0,
1)
F1
3,0
由
1
1
得
BF
CF
3(1
)
1
x0
2
2
1
x0
y0
,又
4
y0
所以有
2
6
7
0解得
7(
1
0舍去)
(Ⅲ)因为|PF1|+|PB|=4-|PF2|+|PB|≤4+|BF2|∴
PBF1周长≤4+
|BF2|+|BF1|≤8.
所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时,
PBF1周长最大,最
大值为8.
例4.已知中心在原点的双曲线
C的右焦点为
(2,0),右顶点为(
3,0)
(1)求双曲线C的方程;
(2)
若直线l:
ykx
2
与双曲线C恒有两个不同的交点
A和B,且OA
OB
2(其中
O为原点),求k的取值范围。
例4.解:
(Ⅰ)设双曲线方程为
x2
y2
1
(a
0,b
0).由已知得
a2
b2
1.故双曲线C的方程为x2
a
3,c
2,再由a2
b2
22,得b2
y2
1.
2代入x2
3
(Ⅱ)将ykx
y2
1得(1
3k2)x2
62kx
90.
3
由直线l与双曲线交于不同的两点得
1
3k2
0,
(6
2k)2
36(1
3k2)
36(1
k2)
0.
即k2
1且k2
1.
①设A(xA,yA),B(xB,yB),则
3
xA
3k2
3k2
62k2,xAxB
9
uuuruuur
xB
1
2,由OAOB
1
3k
3k
而xAxB
yAyB
xAxB
(kxA
2)(kxB
(k
2
1)
9
2k
6
2k
3k2
3k
2
1
3k2
2
2
1
3k
7
2,即3k2
9
0,解此不等式得
1
1
3k2
1
3
2得xAxB
yAyB
2,
2)(k2
1)xAxB
2k(xAxB)2
7
.于是
1
k23.②
由①、②得
1
k2
1.
故k的取值范围为(1,
3)
(3,1).
3
3
3
例5.已知椭圆x2
y2
(a>b>0)的离心率
e
6
,过点A(0,-b)和B(a,0)的
a2
b2
3
直线与原点的距离为
3.
2
(1)求椭圆的方程.
(2)已知定点E(-1,0),若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C、D两点.问:
是否存
在k的值,使以CD为直径的圆过E点?
请说明理由.例5.解析:
(1)直线AB方程为:
bx-ay-ab=0.
c
6,
a
3,
a
3
解得
依题意
3
ab
b
1
a2
b2
2
∴
椭圆方程为
x2
y2
1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4分
3
(2)假若存在这样的
k值,由
y
kx
2,
得(13
2)
x
2
12kx
9
0.
x2
3y2
3
0
k
∴
(12k)2
36(13k2)0.
①
x1
x2
12k
2,
设C(x1,y1)、D(x2
,y2),则
1
3k
②
9
x1
x2
1
3k
2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
而y1y2
(kx1
2)(kx2
2)
k2x1x2
2k(x1
x2)4.
要使以CD为直径的圆过点
E(-1,0),当且仅当
CE⊥DE时,则
y1
y2
1,
x11
x2
1
即y1y2
(x1
1)(x21)0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
10分
∴
(k2
1)x1x22(k
1)(x1
x2)50.
③
将②式代入③整理解得k
7
7
,使①成立.
.经验证,k
6
6
7
综上可知,存在k,使得以CD为直径的圆过点E.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分
6
2.“中点弦型”
例6.已知椭圆x2
y2
1,试确定m的值,使得在此椭圆上存在不同
43
两点关于直线y4xm对称。
例6.解:
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),kAB
y2
y1
1,
x2
x1
4
而3x12
4y1
2
12,3x2
2
4y2
2
12,相减得3(x2
2
x1
2)
4(y2
2
y12)0,
即y1
y23(x1x2),
y03x0,3x0
4x0m,x0
m,y0
3m
而M(x0,y0)在椭圆内部,则m2
9m2
1,即2
3
m
2
3
4
3
13
13
例7.已知双曲线的中心在原点,焦点在
x轴上,离心率e
3,焦距为23
(I)求该双曲线方程.
(II)是否定存在过点P(1,1)的直线l与该双曲线交于A,B两点,且点P是
线段AB的中点?
若存在,请求出直线l的方程,若不存在,说明理由.
例7.
(1)x2
y2
1
2
(2)设(
y1
),
(
y2
),直线:
y
kx
1k,代入方程
x
2
y2
1
得
Ax1
Bx2
2
k2)x2
k)x(1k)2
0(2k2
(2
2k(1
2
0)
则x1
x2
k(1
k)
,解得k
2,此时方程为2
x
2
4
x
3
0,
0
2
2
k2
1
方程没有实数根。
所以直线l不存在。
例8.已知椭圆的中心在原点,
焦点为F1(0,
22),F2(0,2
2),且离心率e
22。
3
(I)求椭圆的方程;
(II)直线l(与坐标轴不平行)与椭圆交于不同的两点
A、B,且线段AB中点的横坐
标为
1,求直线l倾斜角的取值范围。
2
例8.解:
(I)设椭圆方程为
y2
x2
1,由已知c2
2,又
c
22
a2
b2
a
3
解得
a=3,所以b=1,故所求方程为
y2
x2
1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
9
(II)设直线l的方程为ykxb(k≠0)代入椭圆方程整理得
(k2
9)x2
2kbxb2
9
0
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
(2kb)2
4(k2
9)(b2
9)
0
由题意得
x2
2kb
1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
7分
x1
2
9
k
解得
k
3或k
3
又直线l
与坐标轴不平行
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
故直线l倾斜角的取值范围是
(
3
,
)
(
,2)
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
12分
2
2
3
3.“弦长型”
x2
y
2
1交于A、B两点,记△
例9.直线y=kx+b与椭圆
4
(I)求在k=0,0<b<1的条
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