人教版平面向量的数量积及平面向量的应用.docx

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人教版平面向量的数量积及平面向量的应用

平面向量的数量积及平面向量的应用

【知识梳理】1.平面向量的数量积

平面向量数量积的定义

已知两个非零向量a和b,它们的夹角为0,把数量|a||bCos0叫做a

和b的数量积（或内积），记作ab.即卩ab=|a||b|cos0,规定Oa=0.

2.向量数量积的运算律

（1）ab=ba;

（2）（?

a）b=Xab）=a（?

b）;

（3）（a+b）c=ac+bc.

3.平面向量数量积的有关结论

已知非零向量a=（xi,yi）,b=（X2,曲,

结论

几何表示

坐标表示

模

|a|=Vaa

|a|=px1+y2

夹角

.abcos0=III—|a||b|

.X1X2+y〔y2

cos0-R2^x+2

a丄b的充要条件

ab=0

X1X2+WV2=0

【问题思考】1.若ab=ac,则b=c吗？

为什么？

提示：

不一定.a=0时不成立，另外az0时，由数量积概念可知b与c不能确定.

2.等式（ab）c=a（bc）成立吗？

为什么？

提示：

（ab）c=a（bc）不一定成立.（ab）c是c方向上的向量，而a（bc）是a方向上的向量，当a与c不共线时它们必不相等.

3.|ab|与|a||b|的大小之间有什么关系？

提示：

|ab|<|a||b|.因为ab=|a||b|cos0,所以|ab|=|a||b||cos0<|a||b|.【基础自测】

1.若非零向量a,b满足|a|=|b|,（2a+b）b=0,则a与b的夹角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

解析：

选Cv（2a+b）b=0,「・2ab+b2=0,

1

•••2|a||b|cos0+|b|2=0.又T|a|=|b|,「.2cos0+1=0,即卩cos0=—?

.

2n

又0€[0,n,•0=_3，即a与b的夹角为120°

2.已知向量a=（1,—1）,b=（2,x），若ab=1,贝Sx=（）

11

A.—1B.—2C.2D.1

解析：

选Dva=（1,—1）,b=（2,x）,ab=1,二2—x=1,即卩x=1.

1

3.设向量a,b满足|a|=|b|=1,ab=—2,则|a+2b|=（）

A.2B.-3C.'5D.7

解析：

选B|a+2b|=a+2b=|a|2+4ab+4|b|2=

1+4X—1+4=,3

4.已知两个单位向量a,b的夹角为60°c=ta+（1—t）b若bc=0,则t=.

解析：

因为向量a,b为单位向量，所以b2=1,又向量a,b的夹角为

1

60°所以ab=2由bc=0,得b[ta+（1—t）b]=0,即tab+（1—t）b2=0,1

所以2t+（1—t）=0,所以t=2.

UUVLUIV

5.

已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点，则AE・BD=,

解析：

选向量的基底为

uuy

AB

•>

uuuuuivuuu

AD，贝yBD=AD-

uuvuuu/uuu/1uuv

-AB,AE=AD+2AB，那

/uuv么AE

uuivuuuv1uuv

•BD=AD-AB

2

uuu/

（AD

uuv

—AB）=2.

亠Fuuv亠uuv、亠「厶匚丄“口/、,uuvuuvuuu厂况10昭2

•••向量AB在CD万向上的投影为|AB|COS=.=2.

（2）以A为坐标原点，AB,AD所在的直线分别为x,y轴建立直角坐标

系，则B（.2,0）,E（2,1）,D（0,2）,C（.2,2）.设F（x,2）（0

tuuvuuiv一一一uuivuuv--

由AB•AF=.2?

2x=2?

x=1,所以F（1,2）,AEBF=（2,1）（1—2,

【互动探究】在本例

（2）中，若四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是AB上的动点，求DECB的值及DE甜的最大值.

解：

以A点为原点，AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则正方形各顶点坐标分别为A（0,0）、B（1,0）、C（1,1）、D（0,1），设E（a,0）,0waw1.

uuvuuv

DECB=（a,—1）（0,—1）=aX0+（—1）x（-1）=1.

uuvuuv…uuu/uuiv—亠

DEDC=（a,—1）（1,0）=a+（—1）x0=aw1,故deDC的最大值为

1.

【方法规律】平面向量数量积的类型及求法

（1）平面向量数量积有两种计算公式：

一是夹角公式ab=|a||b|cos0;二

是坐标公式ab=X1X2+y〔y2.

（2）求复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.

变式：

1.若向量a=（1,1）,b=（2,5）,c=（3,x），满足条件（8a—b）c=30,贝Hx=.

解析：

Ta=（1,1）,b=（2,5）,「・8a—b=（8,8）—（2,5）=（6,3）.

又c=（3,x）,「.（8a—b）c=18+3x=30,—x=4.

2兀

2.若e1,e2是夹角为"3■的两个单位向量，a=&—2良，b=ke〔+e2，若ab=0,则实数k的值为.

2n

解析：

中，e的模为1,且其夹角0=舌

「•ab=（e1—2e2）（ke1+e2）=ke1+e1e2—2ke1e2—2送

2_n5

=k+（1—2k）cos3—2=2k—

55

又Tab=0,—2k—2=0,即k=4.

【考点二】平面向量的夹角与模的问题

1.平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题.

2.高考对平面向量的夹角与模的考查常有以下几个命题角度：

（1）求两向量的夹角；

（2）两向量垂直的应用；

（3）已知数量积求模；

（4）知模求模.

[例2]

（1）若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为.

i,=uuu」uuur厶厶亠宀、「。

luuuuuur…uuuuuu

（2）已知向量AB与AC的夹角为120°且|AB|=3,|AC|=2.若AP=MB

uuuruuu,uuu

+AC，且AP丄BC，则实数入的值为.

（3）在平行四边形ABCD中，AD=1,ZBAD=60°,E为CD的中点.若uuu/Uuu

AC-BE=1,则AB的长为.

[解]

（1）由|a|=|a+2b|,两边平方，得|a|2=|a+2b|2=|a|2+4|b|2+4ab,

所以ab=-|b|2.

ruuvUUU/1uuvuuu/Muuv21uuvuuv1uuu/2

=1,所以（AB+AD）-3ABAD=1,即卩AD2+^ABAD—^AB2=1.

因为|AD|=1,/BAD=60°所以|AB|=2即AB的长为2

法二：

以A为原点，AB为x轴建立如图所示的直角坐标系，过

1\[3

DM丄AB于点M.由AD=1,/BAD=60°,可知AM=^,DM=牙.

1\131y[3

uuuv

AC

m=

设|AB|=m（m>0），贝SB（m,0）,Cm+2"2,"2•因为E是CD的中点，所以E岁+2¥.所以墨=2—如，，

1

m+2,2.

tuuu/uuu1113_

由AC-be=1,可得m+2-^m+4=1,即卩2m2—m=0,所以

1

0（舍去）或^.

1

故AB的长为2.

［答案］

（1）-3

（2）5（3）1

【方法规律】平面向量的夹角与模问题的常见类型及解题策略

ab,

（1）求两向量的夹角.cos=冏何，要注意旺［0,n.

⑵两向量垂直的应用.两非零向量垂直的充要条件是：

a丄b?

ab=0?

|a

—b|=|a+b|.

（3）求向量的模.利用数量积求解长度问题的处理方法有：

1a2=aa=|a|2或|a|=.'aa.

2|a±D|=a±b2=、a2±2ab+b2.

3若a=（x,y），则|a|=」x2+y2.

变式：

1.若a=（1,2）,b=（1,—1）,则2a+b与a—b的夹角等于（）

解析：

选C2a+b=2（1,2）+（1,—1）=（3,3）,

a—b=（1,2）—（1,—1）=（0,3）,（2a+b）（a—b）=9,|2a+b|=3.''2,|a—

b|=3.

n

4.

2.已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a+b与向量ka—b垂直，贝Hk=.

解析：

Ta与b是不共线的单位向量，•••|a|=|b|=1.

又ka—b与a+b垂直,•（a+b）（ka—b）=0,即ka2+kab—ab—b2=0.•*—1+kab—ab=0,

即k—1+kcos0—cos0=0（B为a与b的夹角）.「.（k—1）（1+cos®=0,又a与b不共线，二cos0m—1,「・k=1.

3.已知平面向量a,（3,a=1,B=（2,0）,a丄（a—20,则|2a+耳的值

为.

解析：

Tp=（2,0）,••3=2,又a丄（a—2®,

a—2®=a—2a1—2a•0=0.•a•0=夕

「•（2a+®2=4a2+®+4a®=4+4+2=10.—12a+®=\/T0.

【考点三】平面向量数量积的应用

［例3］已知向量a=（cosa,sina,b=（cos®sin®,0

（1）若|a—b|=2,求证：

a±b;

⑵设c=（0,1）,若a+b=c,求a,®的值.

［解］

（1）证明：

由题意得|a—b|2=2,即（a—b）2=a2—2ab+b2=2.又因为a2=b2=|a|2=|b|2=1,所以2—2ab=2,即ab=0,故a丄b.

⑵因为a+b=（cosa+cos®,sina+sin®=（0,1）,所以

COSa+COS[3=0,

sina+sin3=1,

由此得，COSa=COS（亍®，由0<3n,得0

=n—3代入sina+sin3=1,得sina=sin3=2，而a>3所以a=~6,3=

n

6.

【方法规律】平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解题思路

（1）题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.

（2）给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等•

变式：

设向量a=（4cosasina）,b=（sin3,4cos3）,c=（cos「3—4sin0.

（1）若a与b—2c垂直，求tan（a+3）的值；

（2）若tanatan3=16,求证：

aIIb.

解：

（1）由a与b—2c垂直，得a（b—2c）=ab—2ac=0,

即4sin（a+3—8cos（a+3）=0,tan（a+3=2.

（2）证明：

由tanatan3=16,得sinosin3=16cosaos3即

4cosa4cos3—sinosin3=0,所以a〃b.

小结】1个条件——两个非零向量垂直的充要条件

两个非零向量垂直的充要条件为：

a丄b?

ab=0.

2个结论与向量夹角有关的两个结论

（1）若ab>0,则a与b的夹角为锐角或0°

⑵若ab<0,则a与b的夹角为钝角或180°

4个注意点一一向量运算中应注意的四个问题

（1）在求△ABC的三边所对应向量的夹角时，要注意是三角形的内角还

uuvuuu

是外角.如在等边△ABC中，AB与BC的夹角应为120而不是60°

⑵在平面向量数量积的运算中，不能从ab=0推出a=0或b=0成立.实际上由ab=0可推出以下四种结论：

①a=0,b=0;②a=0,bz0;③az0,b=0;④az0,bz0,但a丄b.

（3）实数运算满足消去律：

若bc=ca,cz0,则有b=a.在向量数量积的运算中，若ab=ac（az0）,则不一定得到b=c.

（4）实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即（ab）•不一定等于a（bc）,这是由于（ab）c表示一个与c共线的向量，而a（bc）表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线.

【巩固练习】

1若向量a,b满足|a|=|b|=2,a与b的夹角为60°则|a+b|等于（）

A.2.2+；3B.23C.4D.12

1

解析：

选B|a+b|2=|a|2+|b|2+2|a||b|cos60=4+4+2X2X2x3=12,|a+b|=2,'3.

2.平面向量a与b的夹角为60°且a=（2,0）,|b|=1,则|a—b|=（）

A."^B..'3C.3D.4

1

解析：

选C|a—b|2=|a|2+|b|2—2|a||b|cos60=4+1—2x2x1x2=

3.

6.已知△ABC为等边三角形，AB=2.设点P,Q满足AP=熾,AQ=

uuv

（1—；AC,

;R,若Buvcuv=—2,则；=（）

A.1

；B1±2；C1±^；D-3±匹

；B.22；D.2

解析：

选A以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐

uuvuuivunvuuuv

标系，则B（2,0）,C（1,⑶，由AP=ZAB，得P（2入0）,由AQ=（1-；）AC,

-uuvuuvL-

得Q（1—入.'3（1-；,所以BQCP=（-；1,：

3（1—；）（2；1,—.3）=—（；1）（2；—1）—,'3x；3（1—；=—2,解得；=2*

7.单位圆上三点A,B,C满足OA+OB+OC=0,则向量OA,OB的夹角为.

解析：

VA,B,C为单位圆上三点，

uuvuuvuuivuuvuuvuuv

.•.|Oa|=|Ob|=|OC|=1,又Oa+Ob+Oc=0,

uuiviuyuuvuuvuuvuuvuuvuuvuuvuuv

•••OC=OB+OA,/.OC2=（OB+OA）2=OB2+OA2+2OBOA,可得

uuvuuv1,=uuvuuv,,r-,

COS〈OA,OB>=—2,/•向量OA,OB的夹角为120.

8•如图所示，在平行四边形ABCD中，APIBD,垂足为P,且AP=3,uuvuuv

贝yAP-AC=.

uuvuuvuuviuivuuvuivuuvo

解析：

设ZPAC=0,则AP-AC=AP2AO=2|AP||AOCOS0=2|AP|2=

2X32=18.

9.

x2

（2013浙江高考）设e1,e为单位向量，非零向量b=x&+yez,x,y€R.若e1,e2的夹角为总则月的最大值等于.

解析:

当x=0时,鳥=0,当xm0时，着2=2f=—-J—y

|b||b|x2+y2+73xy1+工2+戏

x十可3x厂1—＜4,所以計的最大值是2,当且仅当y=—爭时取到最大值.x+T+4

10.已知a=（1,2）,b=（1,1）,且a与a+；的夹角为锐角，求实数入的取值范围.

解：

Ta与a+；均为非零向量，且夹角为锐角，

•••a（a+；）＞0,即（1,2）（1+；2+；＞0./（1+；+2（2+；＞0.•••；＞—5.

当a与a+；共线时，存在实数m,使a+；=ma,

1+后m,

即（1+入2+为=m（1,2），二解得A0.即当A0时，a

2+后2m,

与a+b共线，

5

综上可知，实数入的取值范围为一3,ou（0,+乂）.

11.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1,—2）,B（2,3）,C（-2,—1）.

（1）求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；

uuivuuvuuv

（2）设实数t满足（AB-tOC）OC=0,求t的值.

uuvuuv-‘uuvuivuuivuuuv

解：

（1）由题设知AB=（3,5）,AC=（-1,1）,则AB+AC=（2,6）,AB-AC

=（4,4）.

所以|超+AC|=2.10,|AB-AC|=4.2•故所求的两条对角线长分别为210,42.

uuvuuvuuv

（2）由题设知OC=（-2,-1）,AB-tOC=（3+2t,5+1）.

uuvuuvuuv

由（AB-tOC）OC=0,得（3+2t,5+1）（—2,-1）=0,

11

从而5t=-11,所以t=-丁.