高等数学下册试题及答案解析docx.docx
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高等数学下册试题及答案解析docx
高等数学(下册)试卷
(一)
一、填空题(每小题3分,共计24分)
1、z=
loga(x2
y2)(a0)的定义域为D=
。
2、二重积分
ln(x2
y2)dxdy的符号为
。
|x||y|1
3、由曲线
y
lnx及直线
x
y
e1,y
1所围图形的面积用二重积分表示
为
,其值为
。
4
L的参数方程表示为
x
(t)
(
x
),
则弧长元素
ds
。
、设曲线
y
(t)
5、设曲面∑为x2
y2
9介于z
0及z
3间的部分的外侧,则
(x2
y2
1)ds
。
6、微分方程dy
y
tan
y的通解为
。
dx
x
x
7、方程y(4)
4y
0的通解为
。
8、级数
1
的和为
。
n
1n(n
1)
二、选择题(每小题
2分,共计
16分)
1、二元函数z
f(x,y)在(x0,y0)处可微的充分条件是(
)
(A)f(x,y)在(x0,y0)处连续;
(B)fx(x,y),fy(x,y)在(x0,y0)的某邻域内存在;
(C)
z
fx(
x0,y0)
xfy(x0,y0)y当
(x)2
(
y)2
0时,是无穷小;
(D)lim
z
fx(x0,y0)x
fy(x0,y0)y
0。
2
2
x
0
(
x)
(y)
y
0
2、设u
yf(x)
xf(y),其中f具有二阶连续导数,则
x
2u
y
2u
等于(
)
y
x
x2
y2
(A)x
y;
(B)x;
(C)y;
(D)0
。
3、设
:
x2
y2
z2
1,z
0,则三重积分I
zdV等于(
)
(A)42d
2d
1
3sincosdr;
r
0
0
0
2d
d
1
dr;
(B)
r2sin
0
0
0
2
2d
1
3sin
cos
dr;
(C)
d
r
0
0
0
2
d
1
3sin
cos
dr。
(D)
d
r
0
0
0
4、球面x2
y2
z2
4a2与柱面x2
y2
2ax所围成的立体体积
V=(
)
(A)42d
2acos
4a2
r2dr;
0
0
(B)42d
2acos
r4a2
r2dr;
0
0
(C)82d
2acos
r4a2
r2dr;
0
0
(D)
2d
2acos
r4a2
r2dr。
0
2
5、设有界闭区域D由分段光滑曲线
L所围成,L取正向,函数P(x,y),Q(x,y)在D上
具有一阶连续偏导数,则
Pdx
Qdy(
)
L
(A)
(
P
Q)dxdy
D
y
x
(C)
(
P
Q)dxdy
D
x
y
;(B)(QP)dxdy;
Dyx
;(D)(QP)dxdy。
Dxy
6、下列说法中错误的是(
)
(A)
方程xy
2y
x2y
0
是三阶微分方程;
(B)
dy
x
dy
方程y
ysinx是一阶微分方程;
dx
dx
(C)
方程(x2
2xy3)dx
(y2
3x2y2)dy0是全微分方程;
(D)
方程dy
1x
2y是伯努利方程。
dx
2
x
7、已知曲线y
y(x)经过原点,且在原点处的切线与直线
2xy
60平行,而y(x)
满足微分方程y
2y
5y
0,则曲线的方程为y
(
)
(A)
exsin2x;
(B)ex(sin2xcos2x);
(C)ex
(cos2xsin2x);
(D)exsin2x。
8、设limnun
0,
则
un(
)
n
n1
(A)收敛;
(B)发散;
(C)不一定;
(D)绝对收敛。
三、求解下列问题(共计
15分)
1、(7分)设
f,g均为连续可微函数。
u
f(x,xy),v
g(xxy),求
u,
u。
x
y
2、(8分)设u(x,t)
x
t
u,
u。
x
f(z)dz,求
t
x
t
四、求解下列问题(共计
15分)。
2
2
y
2
1、计算Idx
e
dy。
(7分)
0
x
2、计算I
(x2
y2)dV,其中
是由x2
y2
2z,z1及z
2所围成的空间
闭区域(8分)。
五、(13分)计算I
xdy
ydx
,其中L是xoy面上的任一条无重点且分段光滑不经
L
x
2
y
2
过原点O(0,0)的封闭曲线的逆时针方向。
六、(9分)设对任意
x,y,f(x)满足方程f(xy)
f(x)f(y)
,且f(0)存在,求
1
f(x)f(y)
f(x)。
七、(8分)求级数
(1)n(x2)2n1
的收敛区间。
n1
2n1
高等数学(下册)试卷
(二)
一、填空题(每小题
3分,共计
24分)
1、设2sin(x
2y
3z)
x
2y
3z,则
z
z
。
x
y
3
9
xy
2、lim
xy
。
x
0
y
0
3、设I
2
2x
f(x,y)dy,交换积分次序后,
I
dx
。
0
x
4、设f(u)为可微函数,且
f(0)
0,则lim
13
f(x2
y2)d
。
t
0
t
x2
y2
t2
5、设L为取正向的圆周x2
y2
4,则曲线积分
y(yex
1)dx
(2yex
x)dy
。
L
6、设A
(x2
yz)i(y2
xz)j
(z2
xy)k,则divA
。
7、通解为y
c1ex
c2e2x
的微分方程是
。
8、设f(x)
1,
x
0
展开式中的an
1,
0
x
,则它的Fourier
。
二、选择题(每小题
2分,共计
16分)。
1、设函数f(x,y)
xy2
x2
y2
0
x2
y4
则在点(0,0)处(
)
0,
x2
y2
0
(A)连续且偏导数存在;
(B)连续但偏导数不存在;
(C)不连续但偏导数存在;
(D)不连续且偏导数不存在。
2、设u(x,y)在平面有界区域D上具有二阶连续偏导数,且满足
2u
及
2u
2u
0,
0
x2
y2
xy
则(
)
(A)最大值点和最小值点必定都在D的内部;
(B)最大值点和最小值点必定都在D的边界上;
(C)最大值点在D的内部,最小值点在D的边界上;
(D)最小值点在D的内部,最大值点在D的边界上。
3、设平面区域D:
(x
2)2
(y
1)2
1,若I1
(x
y)2d
,I2
(x
y)3d
D
D
则有(
)
(A)I1
I2;
(B)I1
I2;
(C)I
1
I2;
(D)不能比较。
4、设
是由曲面z
xy,y
x,x
1
及z
0所围成的空间区域,则
xy2z3dxdydz
=(
)
(A)1;
(B)1;
(C)1
;
(D)1。
361
362
363
364
5、设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为
x
(t)
(
t
),
y
(t)
其中
(t),
(t)在[,
]上具有一阶连续导数,且
2(t)
2(t)
0,则曲线积
分
f(x,y)ds
(
)
L
(A)
f(
(t),
(t))dt;
(B)
f(
(t),(t))
2(t)
2(t)dt
;
(C)
f(
(t),
(t))
2(t)
2(t)dt;(D)
f((t),(t))dt。
6、设
是取外侧的单位球面
x2
y2
z2
1,
则曲面积分
xdydz
ydzdx
zdxdy=(
)
(A)0;
(B)
2
;(C)
;(D)
4
。
7、下列方程中,设
y1,y2是它的解,可以推知y1
y2也是它的解的方程是(
)
(A)yp(x)yq(x)0;(B)yp(x)yq(x)y0;
(C)yp(x)yq(x)yf(x);(D)yp(x)yq(x)0。
8、设级数
an为一交错级数,则(
)
n1
(A)该级数必收敛;
(B)
该级数必发散;
(C)该级数可能收敛也可能发散;
(D)若an0(n
0),则必收敛。
三、求解下列问题(共计
15分)
1、(8分)求函数u
ln(x
y2
z2)在点A(0,1,0)沿A指向点B(3,-2,2)
的方向的方向导数。
2、(7分)求函数f(x,y)x2y(4x
y)在由直线x
y6,y0,x0所围成的闭
区域D上的最大值和最小值。
四、求解下列问题(共计
15分)
1、(7分)计算I
dv
是由x0,y
0,z0及xyz1
3,其中
(1x
yz)
所围成的立体域。
2、(8分)设
f(x)为连续函数,定义
F(t)
[z2
f(x2
y2)]dv,
其中
(x,y,z)|0zh,x2
y2
t2,求dF。
dt
五、求解下列问题(
15分)
1、(8分)求
x
x
(esiny
my)dx(ecosym)dy
Aa
0
I
,其中
L是从
L
(
,)经
yaxx2到O(0,0)的弧。
2、(7分)计算I
x2dydzy2dzdxz2dxdy,其中
是x2
y2
z2(0za)
的外侧。
六、(15分)设函数(x)具有连续的二阶导数,并使曲线积分
[3(x)2(x)xe2x]ydx(x)dy与路径无关,求函数(x)。
L
高等数学(下册)试卷(三)
一、填空题(每小题
3分,共计
24分)
1、设u
yzt2
dt,则
u
。
e
z
xz
、函数f(x,y)
xysin(x
2y)在点(,)处沿
l(1,2)
的方向导数
2
00
f
(0,0)=
。
l
3、设
为曲面z1
x2
y2,z0所围成的立体,如果将三重积分
I
f(x,y,z)dv化为先对
z再对y最后对x三次积分,则I=
。
4
、设f(x,y)为连续函数,则Ilim1
2
f(x,y)d
,其中
t0
t
D
D:
x2
y2
t2。
5
、(x2
y2)ds
,其中L:
x2
y2
a2。
L
6、设是一空间有界区域,其边界曲面是由有限块分片光滑的曲面所组成,如果
函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在
上具有一阶连续偏导数,
则三重积分与
第二型曲面积分之间有关系式:
,该关系
式称为
公式。
7
、微分方程y
6y
9y
x2
6x
9的特解可设为y*
。
8
、若级数
(1)n
1
p
。
np
发散,则
n
1
二、选择题(每小题
2分,共计
16分)
1
、设fx(a,b)存在,则lim
f(x
a,b)
x
f(a
x,b)=(
)
x
0
1
(A)fx(a,b);(B)0;(C)2fx(a,b);(D)
fx(a,b)。
2
2
、设z
xy2
,结论正确的是(
)
(A)
2z
2z
0;
(B)
2z
2z
0;
xy
yx
xy
yx
(C)
2z
2z
0;
(D)
2z
2z
0。
xy
yx
xy
yx
3、若f(x,y)为关于x的奇函数,积分域
D关于y轴对称,对称部分记为D1,D2,f(x,y)
在D上连续,则
f(x,y)d
(
)
D
(A)0;(B)2
f(x,y)d
;(C)4
f(x,y)d
;(D)2
f(x,y)d。
D1
D1
D2
4、设
:
x2
y2
z2
R2,则(x2
y2)dxdydz=(
)
(A)8
R5;
(B)4
R5;
(C)8
R5;
(D)16
R5。
3
3
15
15
5、设在xoy面内有一分布着质量的曲线
L,在点(x,y)处的线密度为
(x,y),则曲线弧
L的重心的x坐标x为()
(A)x=1
x(x,y)ds;(B)x=
1
x(x,y)dx;
M
L
M
L
(C)x=x
(x,y)ds;
(D)x=
1
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