北京海淀区届高三数学上学期期中试题文科附解析.docx
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北京海淀区届高三数学上学期期中试题文科附解析
北京海淀区2019届高三数学上学期期中试题(文科附解析)
北京市海淀区2019届高三学期期中数学试题
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
已知集合,若,则的取值范围为
A.B.c.D.
【答案】c
【解析】
【分析】
根据2∈A即可得出2﹣a≤0,从而可解出a的取值范围.
【详解】∵2∈A;
∴2﹣a≤0;
∴a≥2;
∴a的取值范围为[2,+∞).
故选:
c.
【点睛】考查描述法表示集合的定义,元素与集合的关系.
下列函数中,是奇函数且在上存在最小值的是
A.B.c.D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意,依次分析选项中函数的奇偶性与的最值情况,综合即可得答案.
【详解】根据题意,依次分析选项:
对于A,f=x2﹣x,f=2﹣=x2+x≠﹣f,不是奇函数,不符合题意;
对于B,f=|lnx|,f=ln|﹣x|=lnx=f,为偶函数,不是奇函数,不符合题意;
对于c,f=x3,为幂函数,是奇函数,但在上不存在最小值
对于D,f=sinx,为正弦函数,是奇函数,在上存在最小值﹣1;
故选:
D.
【点睛】本题考查函数的奇偶性以及最值的判断,关键是掌握常见函数的性质,属于基础题.
函数满足,则的值是
A.0B.c.D.1
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知求得φ,进一步得到的值.
【详解】由f=sin满足,
得sin=1,即φ=,∈Z.
则φ=,∈Z.
∴f=sin=sin=sin.
∴=sinπ=0.
故选:
A.
【点睛】本题考查三角函数的化简求值,考查由已知三角函数值求角,是基础题.
已知向量,,则向量,夹角的大小为
A.B.c.D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意利用两个向量的夹角公式,求得向量,夹角的大小.
【详解】设向量,夹角的大小为θ,θ∈[0,π],∵向量=,=,
∴cosθ===,所以
故选:
B.
【点睛】本题主要考查两个向量的夹角公式的应用,属于基础题.
已知函数,,的图像都经过点,则的值为
A.B.c.D.
【答案】D
【解析】
【分析】
函数f=logax,g=bx,的图象都经过点,可得=2,=2,解得a,b
即可得出.
【详解】函数f=logax,g=bx,的图象都经过点,
∴=2,=2,
解得a=,b=16.
则ab=8.
故选:
D.
【点睛】本题考查了函数的性质、方程的解法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
在中,“”是“”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条
c.充分必要条件D.既不充分也不必要条
【答案】A
【解析】
当时,,所以,成立;当时,如取时,成立,此时,所以不成立;综上知“”是“”的”的充分不必要条件,选A.
数列的通项公式为,若数列单调递增,则的取值范围为
A.B.c.D.
【答案】c
【解析】
【分析】
数列{an}单调递增⇔an+1>an,可得:
n+1+>n+,化简解出即可得出.
【详解】数列{an}单调递增⇔an+1>an,可得:
n+1+>n+,化为:
a<n2+n.
∴a<2.
故选:
c.
【点睛】本题考查了等比数列的单调性、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
已知向量满足,且,则、、中最小的值是
A.B.c.D.不能确定的
【答案】A
【解析】
【分析】
可在的两边分别乘可得出,,,再根据即可得到,,这样整理即可得出.
【详解】∵;
∴,,;
∴,,;
∵;
∴,;
∴;
∴.
故选:
A.
【点睛】考查数量积的定义及运算,不等式的性质.
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
角的终边经过点,则_____。
【答案】
【解析】
【分析】
由题意利用任意角的三角函数的定义,求得tanθ的值.
【详解】∵角θ的终边经过点P,∴x=4,y=﹣3,则tanθ==﹣,
故答案为:
﹣.
【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义,属于基础题.
0.等差数列中,,,则中为正数的项的个数为______。
【答案】3
【解析】
【分析】
由已知结合等差数列的通项公式求出an,然后利用等差数列的通项公式即可求解.
【详解】∵等差数列{an}中,a1=5,a2+a5=0,
∴5+d+5+4d=0,
∴d=﹣2,
∴an=5﹣2=﹣2n+7,
a1>0,a2>0,a3>0,
n≥4时,an<0,
则{an}中为正数的项的个数为3,
故答案为:
3.
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的求解,属于基本运算的应用.
1.已知,是不共线的两个向量,,则______。
【答案】
【解析】
【分析】
由已知可知,==,代入即可求解.
【详解】,是不共线的两个向量,=,
∴==,
则==,
故答案为:
.
【点睛】本题主要考查了向量的基本运算,属于基础试题.
函数在区间上的最大值为____。
【答案】2
【解析】
【分析】
直接利用三角函数的性质求出结果.
【详解】由于:
x∈[0,π],
所以:
,
则:
,
则,
所以函数的最大值为2,
故答案为:
2
【点睛】本题考查的知识要点:
三角函数性质的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基
础题型.
3.能说明“若存在,使得,则不是偶函数”为假命题的一个函数
是______________。
【答案】
【解析】
【分析】
写出一个函数,使得函数是偶函数,但是,满足存在x0,使得f=﹣f的命题,然即可得到结果.
【详解】“若存在x0,使得f=﹣f,则f不是偶函数”为假命题,
例如:
f=x2﹣1.当x=﹣1时,满足f=0,f=0,
满足存在x0,使得f=﹣f,但是函数f是偶函数,
故答案为:
f=x2﹣1.
【点睛】本题考查命题是真假,函数的奇偶性的应用,是基本知识的考查.
已知函数
当1时,函数的值域是________;
若函数的图像与直线只有一个公共点,则实数的取值范围是______
【答案】..
【解析】
【分析】
分别求解y=﹣x2+2x,x≤1,和y=x,x>1的值域,可得f的值域;作出
分段函数的图象数形结合,可得实数a的取值范围.
【详解】当a=1时,即当x≤1时,f=﹣x2+2x=﹣2+1≤1,
当x>1时,f=x>1,综上所述当a=1时,函数f的值域是R,
由f=﹣x2+2x=﹣2+1,其对称轴x=1,
当a>1时,根据f=﹣x2+2x的图象,存在直线y=a没有交点;
当0≤a≤1时,根据f=﹣x2+2x的图象和f=x,存在直线y=a只有一个交点,
当a<0时,根据f=﹣x2+2x的图象和f=x,存在直线y=a没有交点;
要使函数f的图象与直线y=a只有一个公共点,则实数a的取值范围是[0,1];
故答案为:
R;[0,1].【点睛】本题考查了分段函数的应用,同时考查了数形结合解决数学问题的能力,属于中档题.
三、解答题共6小题,共80分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
已知函数.
求的值;
求函数的单调递增区间.
【答案】;.
【解析】
【分析】
将x=0带入,即可求f的值;利用二倍角公式化简,利用三角函数的单调
性即可求解函数f的单调递增区间.
【详解】函数.
当x=0时,可得f=
由函数==sinx+cosx=sin
令x+
得:
≤x≤
∵x,
∴函数f的单调递增区间[,),∈Z.
【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质,化简能力和单调性的求法,注意定义域范围.
设是等比数列,其前项的和为,且,.
求的通项公式;
若,求的最小值.
【答案】;6.
【解析】
【分析】
由已知,结合等比数列的通项公式可求a1,q进而可求an.由等比数
列的求和公式可求Sn,代入解不等式可求n的范围.
【详解】设的公比为q
因为,所以
所以
又,所以
所以.
因为
所以
由,得,即
解得,所以n的最小值为6.
【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用,属于基础试题.
如图,在四边形中,.
求的值;
若是的角平分线,求的长.
【答案】;5.
【解析】
【分析】
由已知及余弦定理可得cos∠B,利用诱导公式即可计算得解cos∠D的值,由
已知可得∠DAc=∠BAc,根据正弦定理,结合sin∠B=sin=sin∠D,可求Dc=Bc
即可得解Dc的值.
【详解】∵在△ABc中,AB=4,Bc=5,Ac=7,
∴由余弦定理可得cos∠B===﹣,
∵∠B+∠D=π,
∴cos∠D=cos=﹣cos∠B=.
∵Ac是∠DAB的角平分线,
∴∠DAc=∠BAc,
∴由正弦定理,在△ABc中,有,
在△ADc中,有,
∵sin∠ABc=sin∠DAc,且sin∠B=sin=sin∠D,
∴Dc=Bc,
∴Dc=5.
【点睛】本题主要考查了余弦定理,诱导公式,正弦定理在解三角形中的应用,考查了数形结合思想和转化思想的应用,属于中档题.
已知函数.
当时,求函数的单调区间;
求证:
直线是曲线的切线;
写出的一个值,使得函数有三个不同零点
【答案】递增区间为,,单调递减区间为;见解析;见解析.
【解析】
【分析】
当a=﹣1时,求f的导数f′,由f′>0,得f单调递增;f′<
f单调递减;由f′=3x2+2x+a,令f′=)=3x2+2x+a=a,解得x1=0,x2=,
而f=﹣1,曲线y=f在点)处的切线方程为y=ax﹣1,由此可得,无论a为何值,直线y=ax﹣1是曲线y=f在点)处的切线;取a的值为﹣2.
【详解】函数的定义域为
当a=-1时,
所以
令,得,
当x变化时,,的变化情况如下表:
x-1
+0-0+
↗极大值↘极小值↗
所以函数的单调递增区间为,,单调递减区间为
因为
令,解得,
而,曲线在点处的切线方程为,
即所以无论a为何值,直线都是曲线在点处的切线
取a的值为-2这里a的值不唯一,只要取a的值小于-1即可.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了利用导数研究曲线的切线方程以及根据函数
的增减性研究函数的零点问题,是中档题.
已知数列的前项和为,且.
求的值;
求证:
.
【答案】;见解析.
【解析】
【分析】
.可得a1=S1=1﹣1=0,a1+a2=22+1,a1+a2+a3=32﹣1,联立解
得a1,a2,a3.n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1+2n.当n为偶数时,an=2n+1;
当n为奇数时,an=2n﹣3.利用等差数列的求和公式即可得出.
【详解】解:
∵.∴a1=S1=1﹣1=0,a1+a2=22+1,a1+a2+a3=32﹣1,
联立解得:
a1=0,a2=5,a3=3.
证明:
n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=n2+n﹣[2+n﹣1]
=2n﹣1+2n.
当n为偶数时,an=2n+1;当n为奇数时,an=2n﹣3.
∴a1+a3+a5+…+a2n+1=0+3+7+……+2﹣3==2n2+n.
a2+a4+a6+…+a2n=5+9+……+==2n2+3n.
∵2n2+3n﹣=2n>0.
∴a1+a3+a5+…+a2n+1<a2+a4+a6+…+a2n.
【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法,考查了推理能
力与计算能力,属于中档题.
0.已知函数
求函数的极值;
求证:
当时,存在,使得.
【答案】;见解析.
【解析】
【分析】
求出函数的导数,解关于导函数的方程,通过讨论的范围,求出函数的单调区间,
从而求出函数的极值即可;根据f的最小值是f=,存在x0,使得f
<1⇔f<1,由f﹣1=,设g=lnx﹣x,根据函数的单调性证明即可.
【详解】函数的定义域为,且。
因为
令,得到,
当>0时,x变化时,,的变化情况如下表:
x
-0-
↘极小值↗
所以函数在处取得极小值
当0时,由可知,的最小值是,所以“存在,使得
等价于“”
所以.
设
则
当0 当1 所以的最大值为,所以,所以结论成立. 【点睛】本题考查了函数的单调性,最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,转化思想,是一 道综合题.
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