3数值计算方法上机实习题.docx
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3数值计算方法上机实习题
上海电力学院
数值计算上机报告
课程:
现代数值计算
题目:
数值计算方法上机实习题报告
院系:
自动化工程学院
专业年级:
电机与电器
学生姓名:
黄丽学号:
ys1310401009
指导教师:
黄建雄
2013年12月20日
数值计算方法上机实习题
1.设
,
(1)由递推公式
,从
的几个近似值出发,计算
;
(2)粗糙估计
,用
,计算
;
(3)分析结果的可靠性及产生此现象的原因(重点分析原因)。
程序:
(1)由递推公式
,从
的几个近似值出发,计算
;
I(0)=0.1820;I
(1)=0.0900;I
(2)=0.0500;I(3)=0.0833;I(4)=-0.1667;
I=0.182;
forn=1:
20
I=(-5)*I+1/n;
end
故计算结果
=-3.0666e+10
(2)粗糙估计
,用
,计算
;
I=0.008;
forn=20:
-1:
1
I=(-1/5)*I+1/(5*n);
end
I
=0.1823
(3)分析结果的可靠性及产生此现象的原因(重点分析原因)。
假设
的真值为
,误差为
,即
。
对于真值也有
。
综合2个递推等式,有
,即意味着只要n足够大,按照这种每计算一步误差增长5倍的方式,所得的结果总是不可信的,因此整个算法是数值不稳定的。
而第二种方式的误差会以每计算一步缩小到1/5的方式进行,这样的计算结果和实际是很相近的。
2.求方程
的近似根,要求
,并比较计算量。
(1)在[0,1]上用二分法;
(2)取初值
,并用迭代
;
(3)加速迭代的结果;
(4)取初值
,并用牛顿迭代法;
(5)分析绝对误差。
(1)在[0,1]上用二分法;
程序:
a=0;b=1.0;i=0;
whileabs(b-a)>5*1e-4
c=(b+a)/2;
ifexp(c)+10*c-2>0
b=c;
elsea=c;
end
i=i+1;
end
c
方程的近似根为:
x*=(a+b)/2=0.0906。
步长为i=11。
(2)取初值
,并用迭代
;
程序:
x=0;y=0.1;i=0;
whileabs(y-x)>5*1e-4
y=x;
x=(2-exp(x))/10;
i=i+1;
end
方程的近似根为:
x=0.0905。
步长为i=4。
(3)加速迭代的结果;
程序:
x=0;xx=1;i=0;
whileabs(xx-x)>5*1e-4
y=exp(x)+10*x-2;
z=exp(y)+10*y-2;
xx=x;
x=x-(y-x)^2/(z-2*y+x);
i=i+1;
end
x
方程的近似根为:
x=0.0995。
步长为i=3。
(4)取初值
,并用牛顿迭代法;
程序:
x=0;y=0.1;i=0;
whileabs(y-x)>5*1e-4
y=x;
x=x-(exp(x)+10*x-2)/(exp(x)+10);%diff(exp(x)+10*x-2)=exp(x)+10
i=i+1;
end
x
i
方程的近似根为:
x=0.0905。
步长为i=2。
(6)分析绝对误差。
solve('exp(x)+10*x-2=0')
方程的精确解为x=0.0905。
3.钢水包使用次数多以后,钢包的容积增大,数据如下:
x
2
3
4
5
6
7
8
9
y
6.42
8.2
9.58
9.5
9.7
10
9.93
9.99
10
11
12
13
14
15
16
10.49
10.59
10.60
10.8
10.6
10.9
10.76
试从中找出使用次数和容积之间的关系,计算均方差。
(注:
增速减少,用何种模型)
解:
(1)设y=f(x)具有指数形式
(a>0,b<0)。
对此式两边取对数,得
。
记A=lna,B=b
x=[2345678910111213141516];
fori=1:
15
X(i)=1/x(i);
end
y=[6.428.29.589.59.7109.939.9910.4910.5910.6010.810.610.910.76];
fori=1:
15
Y(i)=log(y(i));
end
polyfit(X,Y,1)
经计算ans=-1.11072.4578。
故方程为
故原方程的系数为
故原方程为:
(2)计算均方差:
x=[2:
16];y=[6.428.29.589.59.7109.939.9910.4910.5910.6010.810.610.910.76];
f(x)=11.6791*exp(-1.1107./x);
c=0;
fori=1:
15
a=y(i);
b=x(i);
c=c+(a-f(b))^2;
end
averge=c/15
结果:
averge=0.0594
4.设
,
,
分析下列迭代法的收敛性,并求
的近似解及相应的迭代次数。
(1)JACOBI迭代;
以文件名math4a.m保存。
functionmath4a
A=[4-10-100;-14-10-10;0-14-10-1;-10-14-10;0-10-14-1;00-10-14];
b=[05-25-26];
x0=[000000];
imax=100;
tol=10^-4;
tx=jacobi(A,b,imax,x0,tol);
forj=1:
size(tx,1)
fprintf('%d%f%f%f%f%f%f\n',j,tx(j,1),tx(j,2),tx(j,3),tx(j,4),tx(j,5),tx(j,6))
end
functiontx=jacobi(A,b,imax,x0,tol)%初始值x0,次数imax,精度tol
del=10^-10;
tx=[x0];n=length(x0);
fori=1:
n
dg=A(i,i);
ifabs(dg) disp('对角元太小'); return end end fork=1: imax%jacobi循环 fori=1: n sm=b(i); forj=1: n ifj~=i sm=sm-A(i,j)*x0(j); end end x(i)=sm/A(i,i); end tx=[tx;x]; ifnorm(x-x0) return else x0=x; end end 近似解y为: 10.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.000000 20.0000001.250000-0.5000001.250000-0.5000001.500000 30.6250001.0000000.5000001.0000000.5000001.250000 40.5000001.6562500.3125001.6562500.3125001.750000 50.8281251.5312500.7656251.5312500.7656251.656250 60.7656251.8398440.6796881.8398440.6796881.882813 70.9199221.7812500.8906251.7812500.8906251.839844 80.8906251.9252930.8505861.9252930.8505861.945313 90.9626461.8979490.9489751.8979490.9489751.925293 100.9489751.9651490.9302981.9651490.9302981.974487 110.9825741.9523930.9761961.9523930.9761961.965149 120.9761961.9837420.9674841.9837420.9674841.988098 130.9918711.9777910.9888951.9777910.9888951.983742 140.9888951.9924150.9848311.9924150.9848311.994448 150.9962081.9896390.9948201.9896390.9948201.992415 160.9948201.9964620.9929231.9964620.9929231.997410 170.9982311.9951670.9975831.9951670.9975831.996462 180.9975831.9983490.9966991.9983490.9966991.998792 190.9991751.9977450.9988731.9977450.9988731.998349 200.9988731.9992300.9984601.9992300.9984601.999436 210.9996151.9989480.9994741.9989480.9994741.999230 220.9994741.9996410.9992821.9996410.9992821.999737 230.9998201.9995090.9997551.9995090.9997551.999641 240.9997551.9998320.9996651.9998320.9996651.999877 250.9999161.9997710.9998861.9997710.9998861.999832 260.9998861.9999220.9998441.9999220.9998441.999943 270.9999611.9998930.9999471.9998930.9999471.999922 280.9999471.9999640.9999271.9999640.9999271.999973 290.9999821.9999500.9999751.9999500.9999751.999964 (2)GAUSS-SEIDEL迭代; 以文件名math4b.m保存。 functionmath4b A=[4-10-100;-14-10-10;0-14-10-1;-10-14-10;0-10-14-1;00-10-14]; b=[05-25-26]; x0=[000000]; imax=100;
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- 数值 计算方法 上机 实习