高一数学人教A版必修2能力强化提升234 平面与平面垂直的性质.docx

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高一数学人教A版必修2能力强化提升234平面与平面垂直的性质

一、选择题

1．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，在平面AB1上任取一点M，作ME⊥AB于E，则（　）

A．ME⊥平面ACB．ME⊂平面AC

C．ME∥平面ACD．以上都有可能

[答案]　A

[解析]　由于平面AB1⊥平面AC，平面AB1∩平面AC＝AB，ME⊥AB，ME⊂平面AB1，所以ME⊥平面AC.

2．在空间中，下列命题正确的是（　　）

A．若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面

B．若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥α

C．若平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β

D．若直线a∥b，且直线l⊥a，则l⊥b

[答案]　D

[解析]　选项A中，若有3个交点，则确定一个平面，若三条直线交于一点，则不一定能确定一个平面，如正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1，AB，AD两两相交，但由AA1，AB，AD不能确定一个平面，所以A不正确；选项B中，缺少条件m是平面α外的一条直线，所以B不正确；选项C中，不满足面面垂直的性质定理的条件，必须是α内垂直于l的直线，所以C不正确；由于两条平行直线中的一条与第三条直线垂直，那么另一条也与第三条直线垂直，所以D正确．

3．给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一条直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．

其中为真命题的是（　　）

A．①和②B．②和③

C．③和④D．②和④

[答案]　D

4．在空间，下列命题正确的是（　　）

A．平行直线的平行投影重合

B．平行于同一直线的两个平面平行

C．垂直于同一平面的两个平面平行

D．垂直于同一平面的两条直线平行

[答案]　D

[解析]　当两平行直线都与投影面α垂直时，其在α内的平行投影为两个点，当两平行直线所在平面与投影面α相交但不垂直时，其在α内的平行投影可平行，故A错；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AA1与平面BCC1B1及平面CDD1C1都平行，但平面BCC1B1与平面CDD1C1相交，故B错；同样，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面BCC1B1及平面CDD1C1都与平面ABCD垂直，但此二平面相交，故C错；由线面垂直的性质定理知D正确．

5．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（　　）

A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂β

B．若l∥α，α∥β，则l⊂β

C．若l⊥α，α∥β，则l⊥β

D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β

[答案]　C

[解析]　l⊥α，α⊥β⇒l∥β或l⊂β，A错；

l∥α，α∥β⇒l∥β或l⊂β，B错；

l⊥α，α∥β⇒l⊥β，C正确；

若l∥α，α⊥β，则l与β位置关系不确定，D错．

6．如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是（　　）

A．一条线段

B．一条直线

C．一个圆

D．一个圆，但要去掉两个点

[答案]　D

[解析]　∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面PAC，∴AC⊥平面PBC.

又∵BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC.∴∠ACB＝90°.

∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．

7．如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在（　　）

A．直线AB上

B．直线BC上

C．直线AC上

D．△ABC内部

[答案]　A

[解析]　∵AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1，

又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，

∴C1在平面ABC上的射影H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上，故选A.

8．在正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是（　　）

A．BC∥平面PDF

B．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面ABC

D．平面PAE⊥平面ABC

[答案]　C

[解析]　∵D、F分别为AB、CA中点，∴DF∥BC.

∴BC∥平面PDF，故A正确．

又∵P－ABC为正四面体，

∴P在底面ABC内的射影O在AE上．

∴PO⊥平面ABC.

∴PO⊥DF.

又∵E为BC中点，∴AE⊥BC，

∴AE⊥DF.

又∵PO∩AE＝O，∴DF⊥平面PAE，故B正确．

又∵PO⊂面PAE，PO⊥平面ABC，

∴面PAE⊥面ABC，故D正确．

∴四个结论中不成立的是C.

二、填空题

9．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系为________．

[答案]　平行

[解析]　取PD的中点F，连接EF，AF，在△PCD中，EF綊

CD.

又∵AB∥CD且CD＝2AB，∴EF綊AB，

∴四边形ABEF是平行四边形，∴EB∥AF.

又∵EB⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，

∴BE∥平面PAD.

10．如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AA′⊥A′B′，BB′⊥A′B′，且AA′＝3，BB′＝4，A′B′＝2，则三棱锥A－A′BB′的体积V＝________.

[答案]　4

[解析]　∵α⊥β，α∩β＝A′B′，AA′⊂α，AA′⊥A′B′，

∴AA′⊥β，

∴V＝

S△A′BB′·AA′＝

×（

A′B′×BB′）×AA′＝

×

×2×4×3＝4.

11．如图所示，P是菱形ABCD所在平面外的一点，且∠DAB＝60°，边长为a.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，PB与平面AC所成的角为θ，则θ＝________.

[答案]　45°

[解析]　如图所示，取AD的中点G，连接PG，BG，BD.

∵△PAD是等边三角形，

∴PG⊥AD，又平面PAD⊥平面AC，平面PAD∩平面AC＝AD，PG⊂平面PAD，

∴PG⊥平面AC，∴∠PBG是PB与平面AC所成的角θ.

在△PBG中，PG⊥BG，BG＝PG，

∴∠PBG＝45°，即θ＝45°.

12．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK＝t，则t的取值范围是________．

[答案]　（

，1）

[解析]　如图，过D作DG⊥AF，

垂足为G，连接GK，

∵平面ABD⊥平面ABC，又DK⊥AB，

∴DK⊥平面ABC，∴DK⊥AF.

∴AF⊥平面DKG，∴AF⊥GK.

容易得到，当F接近E点时，K接近AB的中点，当F接近C点时，K接近AB的四等分点．所以t的取值范围是（

，1）．

三、解答题

13．把一副三角板如图拼接，设BC＝6，∠A＝90°，AB＝AC，∠BCD＝90°，∠D＝60°，使两块三角板所在的平面互相垂直．求证：

平面ABD⊥平面ACD.

[证明]　

⇒

⇒平面ABD⊥平面ACD.

14．S为△ABC所在平面外一点，SA＝SB＝SC，且∠ASC＝90°，∠ASB＝∠BSC＝60°.求证：

平面ASC⊥平面ABC.

[解析]　如图，设SA＝SB＝SC＝a.

∵∠ASC＝90°，∠ASB＝∠BSC＝60°，

∴AC＝

a，AB＝BC＝a，

则AB2＋BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°.

取AC中点O，连接SO、BO.则SO⊥AC，BO⊥AC，∠SOB为二面角S－AC－B的平面角．

∵SO＝OB＝

a，∴SO2＋OB2＝SB2，

∴∠SOB＝90°，∴平面ASC⊥平面ABC.

15．（2012·全国新课标）

如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝

AA1，D是棱AA1的中点．

（1）证明：

平面BDC⊥平面BDC1；

（2）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．

[分析]　本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力，是简单题．

[解析]　

（1）由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，∴BC⊥平面ACC1A1，又∵DC1⊂面ACC1A1，∴DC1⊥BC，

由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，∴∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC，

又∵DC∩BC＝C，∴DC1⊥平面BDC，∵DC1⊂平面BDC1，

∴平面BDC⊥平面BDC1；

（2）设棱锥B－DACC1的体积为V1，AC＝1，由题意得，V1＝

×

×1×1＝

，由三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝1，

∴（V－V1）V1＝11，

∴平面BDC1分此棱柱为两部分体积之比为11.

16．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，F是PB的中点．求证：

（1）DF⊥AP.

（2）在线段AD上是否存在点G，使GF⊥平面PBC？

若存在，说明G点的位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由．

[证明]　

（1）取AB的中点E，连结EF，则PA∥EF.设PD＝DC＝a，易求得DE＝

a，FE＝

PA＝

a，DF＝

PB＝

a.

由于DE2＝EF2＋DF2，故DF⊥EF，

又EF∥PA，∴DF⊥PA.

（2）在线段AD上存在点G，使GF⊥平面PBC，且G点是AD的中点．

取AD的中点G，连接PG、BG，则PG＝BG.又F为PB的中点，故GF⊥PB.

∵F为PB中点，∴F点在底面ABCD上的射影为正方形ABCD的中心O，

∴GO为GF在平面ABCD上的射影，

∵GO⊥BC，∴GF⊥BC，

∵BC、PB是平面PBC内的两条相交直线，

∴GF⊥平面PBC.