正态总体均值与方差的假设检验.docx
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正态总体均值与方差的假设检验
§7.2正态总体均值与方差的假设检验
一、简介
对于正态总体,其参数无非是两个:
均值(期望µ和方差,如果加上两总体的参数比较,概括起来,对参数的假设一般只有如下四种情形:
2σ(ⅰ对µ,(ⅱ对,(ⅲ对2σ21µµ−,(ⅳ对.2
22
1/σσ检验的类别和方法:
关于均值的检验⎪⎩⎪⎨
⎧
(
(方差未知检验法方差已知检验法tu关于方差的检验
⎪⎩⎪⎨⎧
(
(2两个正态总体检验法一个正态总体检验法Fχ下面我们将分别予以讨论。
二、正态总体均值µ的检验
(一u检验
u检验适应在方差已知的情况下,对均值的检验(一个总体或两个总体。
1.一个正态总体情形
设总体,样本来自总体X,已知.,(~2σµNX,,,(21nXXX2σ1°提出假设:
H0:
;H0µµ=1:
0µµ≠2°取检验统计量:
nXUσµ0
−=
在H0成立的条件下,(0,1~0Nn
XUσµ−=
3°给定显著性水平05.00(≤<αα,αα=⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≥uUP
由
2
1(α
α−
=Φu}.:
,,2
2αuuxxn≥
2
α
u−
2
α
u4°U
由样本值计算的观察值5°
作判断:
若H0;否则,.0u,则拒绝Wu∈0,
若Wu∈0则接受H.0
例7.4某工厂生产的铜丝的折断力(单位:
N服从正态分布N(µ,82.某日抽取10根铜丝,若已认为该日生产的铜丝合格(α=0.10?
解1°假设:
H0:
进行折断力试验,测得结果如下:
578,572,570,568,572,570,572,596,584,570
知µ=576,问是否可以576=µ;H1:
576≠µ10
8576
−=
XU
2°取检验统计量:
(0,1~10
8576
NXU−=
在H0成立的条件下,10.0=α,{}10.005.0=≥uUP3°给定显著性水平由查表可得临界值拒绝域:
95.0(05.0=Φu.645.105.0=u}.645.1:
,,{(05.021=≥=uuxxxWn
4°由样本值计算0u2.575=xU的观察值这里n=10,算得.,于是.645.1316.0108
576
2.5750<=⋅−=
u50
作判断
因为Wu∈0所以接受H,即在显著水平α=0.10下,可认为该日生产的铜丝合格。
0例7.5微波炉在炉门关闭时的辐射量是一个重要的质量指标,某厂该指标服从正态分布N(µ,σ2.长期以来1.0=σ,且均值都符合要求不超过0.12.为检查近期产品的质量,抽查了25台,
得其炉门关闭时辐射量的均值.1203.0=x试问在α=0.05水平下该厂炉门关闭时辐射量是否升高了?
µ解1°假设:
H0:
12.0≤µ;12.0>此问题属于单侧假设检验问题.已知1.0=σ,H1:
n=25.
2°取检验统计量:
25
1.0µ
−=
∗XU
(0,1~25
1.0NXUµ
−=
∗
在H0成立的条件下,05.0=α,{}
05.005.0=≥∗uUP3°给定显著性水平由05.0=Φu95.0(查表可得临界值.645.105.0=u
12.0≤µ若H0成立,则,从而
25
1.012
.025
1.0−=
≥−=
∗XUXUµ
05.005.0uUuU≥≥∗,则若.所以
拒绝域:
4°由样本值计算U的观察值这里n=25,}{}{05.005.0uUuU≥⊆≥∗事件事件
05.0}{}{05.005.0=≥≤≥∗uUPuUP
}.645.1:
,,{(05.021=≥=uuxxxWn
1203.0=x.0u,于是645.1015.0251
.012
.01203.025
1.012
.00<=×−=
−=
xu
50
作判断
因为Wu∈0所以接受H0,即在显著水平α=0.05下,可认为当前生产的微波炉关门
时的辐射量无明显升高.两个总体检验适应的问题的一般提法如下:
设为出自的
样本,YYY为出自µN的样本,
2.两个正态总体情形
u.,,,(1
21nXXX,(2
11σµN.,,,(,(2
1σ,2σ2
21n22σ21µµ=21µµ≠已知,两个总体的样本之间独立。
1°提出假设:
H0:
;H1:
2°取检验统计量:
2
22121
(nnYXUσσ+−=
1,0(~
(2
22121
NnnYXUσσ+−=
在H0成立的条件下,
3°给定显著性水平05.00(≤<αα,αα=⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≥2uUP
2
1(α
α−
=Φu查表可得临界值.2
αu
由
拒绝域:
;,,,{(2yxxxW=,2
2
1211αuuyynn≥
4°由样本值计算U的观察值u.}.:
0
5°
∈,Wu∈则接受H.
作判断:
若,则拒绝Wu0H0;否则,若00例7.6一卷烟,化验尼古丁的含量是否相同,从A,B中
124
26
据经验知,尼古丁含量服从正态分布,且A种的方差为B种的方差为8,取α=0.05,问两种差异?
解设两种烟草的尼古丁平均含量分别为1°提出零假设:
H0:
;H1:
2°取检验统计量:
厂向化验室送去A,B两种烟草各随机抽取重量相同的五例进行化验,测得尼古丁的含量(单位:
毫克为:
A:
2427262
B:
272823315,21µµ和.
烟草的尼古丁含量是否有
21µµ=21µµ≠2
22121
(nnYXUσσ+−=
1,0(~
(2
在H0成立的条件下,22
σ1
21
NnnYXUσ+
−=
3°给定显著性水平05.0=α,{}05.0025.0=≥uUP由查表可得临界值拒绝域:
975.0(025.0=Φu.96.1025.0=u}.96.1:
,,;,,,{(2
12121≥=uyyyxxxWnn4°由样本值:
27,4.24,521====yxnn计算U的观察值
.0u612.15
8
52+n5274.24
(2
2
1
21
0−=−=
+
−=
nyxuσσ
5°
作判断:
因为Wu∈0所以接受H0,即在显著水平α=0.05下,认为两种烟草的尼古丁含量是无显著差异.
7.2中:
表7.2统计假设
方差已知时,对正态总体期望的假设检验小结于表对总体要求
检方法
H0H1
验统计量拒绝域
时,对期望的检验,可以是单总体,也可是双总体。
当然对于双
总体,它们的样本之间应该是独立的。
1.设总体,样本来自总体X,未知.1°提出假设:
H0:
;H1:
:
(二t检验
t检验用于当方差未知一个正态总体情形
(~2σµNX,,,(21nXXX2σ0µµ=0µµ≠n
SXTn∗−=
µ2°取检验统计量在H0成立的条件下,=
T1(~0
−−∗ntn
SXnµ3°给定显著性水平05.00(≤<αα,αα=⎭⎬⎫⎩⎨⎧
−≥1(ntTP
查表可得临界值.(2
−ntα拒绝域:
=txWn1}.1(:
,{(2
21−≥ntxxα
2
2
.0tα4°由样本值计算T的观察值
5°
作判断:
若,则拒绝Wt∈0H0;否则,,若Wt∈0则接受H0.
例7.7设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,修正的标准差为15分.问:
在显著水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?
解设该次考试的学生成绩为X,则,
(~2σµNX1°提出假设:
H0:
:
n
SXTn∗−=
µ70=µ70≠µ
;H1由于未知,所以用t检验法.:
2σ2°取检验统计量1(~0
−−在H0成立的条件下,=
tT∗nn
SXnµ3°给定显著性水平05.0=α,αα=⎭⎬⎫⎩⎨⎧
−≥1(2ntTP
由得临界值36=,查表可.0301.235(025.=
15,5.66,36===∗n
sxn,n1(02
=−tntα拒绝域:
}.0301.2:
,,{(21≥=txxxWn
4°由样本值计算T的观察值:
0301.24.13615
0=⋅=
t,因为Wt70
5.66<−5°
作判断:
∈0所以接受H0,即在显著水平α=0.05下,可以认为这次考试
全体考生的平均成绩为总体情形
对于两个总体,一般地讨论比较麻烦,通常考虑两种特殊情况:
70分.
2.两个正态(1
σσσ==21(未知,这一情形问题的一般提法是:
设为来自的样本,为来的样
假设:
:
2111o<>≠−−或或µµµ
的显著水平为,,,(1
21nXXX,(2
1σµN,,,(2
21nYYY,(2
2σµN自0,0(0:
本,两个总体的样本之间独立,需检验αH;0H2=µ21µµ=21µµ≠
的检验。
检验步骤:
1°提出假设:
H0:
;H1:
2°取检验统计22
12222111(1(2
1
nnSnSnTn
n+−+−=
∗∗
量:
在H0成立的条件下,(−=
ntT~
2(1(1(
(212
121212222112
1
−++−++−−∗∗nnnnnnnSnSnYXn
n
3°给定显著性水平05.00(≤<αα,αα=⎭⎬⎫⎩⎨⎧
−+≥2(212nntTP
查表可得临界值.2(21−+nntα
}.2(:
,,;,,,{(2121212
2
1−+≥=nnttyyyxxxWnnα拒绝域:
4°由样本值计算T的观察值
作判∈.0t5°断:
若t0H;否则,0,若Wt∈0则接受H.
(221,σσ未知,但,则可考虑所谓配对检验法。
此时令
nnn==21,则拒绝W∑∑=∗=
=n
SZZ21,
1
=−−=
=−n
ii
n
iiiiiZZ
nn
ZniYX1
21
(1
,,2,1,
由于当21µµ=时,,且相互独立,则
0(~2221σσ+NZi1(~1(,,
0(~222
2122221−+−+nSnnNZχσσσσ2∗n
SZ与独立,故1(~11
1(22
21222
21−⋅=
−⋅
+−+=∗∗ntnSZ
nSnn
Z
Tn
nσσσσ
且t可作为0=−µµH。
8羊毛在处理前后,各抽取样本,侧得含脂率如下(%13027的检验统计量0:
21例7.某种:
处理前1918213066428205.0=α处理后4162,8,102121=−+==nnnn自由度:
已知.
15
13
7
24
19
8
20
羊毛含脂率服从正态分布,问:
处理后含脂率有无显著变化(?
解1°假设:
H0:
;H1:
21µµ=21µµ≠
2
12222111(1(2
1
nnSnSnTn
n+−+−=
∗∗
2°取检验统计量:
在H0成立的条件下,
16(2(~
2(1(1(
(1YX+−=
05.0=α,{}05.016(025.0=≥tTP22
121212222111tnntnnnnnnSnSnTnn=−+−+−+−∗∗
3°给定显著性水平2
.12.216(025.0=t
查表可得临界值拒绝域:
}.12.2:
,,;,,,{(212121≥=tyyyxxxWnn
4°由样本值计算T的观察值.0t64.4975.13(1
81
1.2813.27(1
101
75.13,3.278
1
22110
1
2
2
12
1
=−−=
=−−=
==∑∑=∗=∗ii
nii
ny
sx
syx,
1522.21
2((2120≈−+−=
nnnxt
1(1(
2
11222211+−+−∗∗nnnsnsnyn
n
即可以认为处理后含脂率有显著变化.
表7.3
2
1
5°作判断:
因为,所以拒绝Wt∈0H0方差未知时,对正态总体期望的假设检验小结于表7.3中:
2χF2
χF
(三检验和检验(testandtest
2χ检验和F检验都是对于方差的检验,前者用于一个正态总体的方差检验.,后者用
于两个正态总体的方差比的检验。
检验
为出自的样本,要对参数进行检验,这里1.设,,,(21nXXX,(2σµN2
σµ2
χ往往是未知的。
0:
;H1:
2
σ=2
0σ2σ≠20σ
1°提出假设:
H2°选择统计量:
2=
χ−−∗nSnn
χσ(在H0成立下
3°给定显著性水平05.00(≤<αα1(~1(220
2,
拒绝域为
}1({1(,,,{(21222212
2−≥−≤=−nnxxxWnα
α
χχχχ∪:
如图7-3
所示。
图7-3
此时,.|(0αα
=+
=
HWP
2χ的观察值20
χ2
2
α
4°由样本值计算.25°
作判断:
若,则拒绝W∈0χH0;否则,,若W∈0
χ则接受H2例7.9某厂生产的汽车蓄电池使用寿命服从正态分布,其说明书上写明其标准差不超过0.9a,现随机抽取10只,得修正样本标准差为1.2a,试在005.0=α水平下检验厂方说明书上所写的标准差是否可信.
;H1:
采用检验法,为单侧检验.
2°选择统计量:
解1°假设:
H0:
2
σ
≤9.02
σ9.0>
2
χ
1(~(22χχ=−=
∗nn122
2χσ−∗Sn
(在H0成立下
3°给定显著性水平05.0=α,查表得拒绝域为
221=α
χnW,其中919.1699205
.02==((χχα9(}919.169(,,,2
220
229.091(∗∗=
−=n
n
SSnσχ
{(2=≥
χ:
xxx2χ的观察值.20
χ4°由样本值计算919.169(169
.02.1922×,因为W∈20χ所以接受H0,即认为在05.0=α05
.02
20=<==
χχ5°
作判断:
水平下厂方说明书上所写
的标准差可信。
设,1XX出1nYY为出自的样本,且样本之间独立。
考虑假设
(ⅰH:
;:
(四F检验
N2,,,,(2
22σµN1,2nX为自,(2
11σµ的样本,2Y2
1σ=2
2σ1H2
1σ≠
22σ0(ⅱ:
;H:
σσ
对此可采用统计量
0H2
1σ≤2
2σ2
>2
11222
222121/∗SF/σσ∗=
S进行检验,易知,对于(ⅰ,在下,,我们可取拒绝域为
0H1,1(~21−−nnFF]1,1({}1,1({211212
2−−>∪−−<=−
nnFFnnFFWαα
此时.
0.
例7.10假设其寿命服从正态分布,α=|(0HWP对于(ⅱ,类似前面的讨论,可取拒绝域为
α≤}1,1({211−−>=−nnFFWα
此时|(HWP现有两箱灯泡,今从第一箱中抽取9只,算得寿命的样本均值,1532=x样本均方差;43211=ns从第二箱中抽取18只,算得寿命的样本均
值,1532=x样本均方差;作适当的检验,对3802
2=ns05.0=α,检验是否可以认为这两
箱灯泡寿命服从同一正态分布.F0.025(18,9=3.69t0.025(27=2.052F0.025(9,18=2.93F0.025(17,8=4.05t0.025(25=2.06F0.025(8,17=3.061解设第一箱、第二箱灯泡寿命分别为X,Y.X与Y独立,22X~N(1,σ1,Y~N(2,σ2(1先作F检验1°假设:
H0:
σ1=σ2;22H1:
σ1≠22σ22S2/σ1S2=1~F(n11,n22=F(8,17(在H0成立下2°取统计量:
F=12S22/σ2S223°给定显著性水平α=0.05,由F0.025(17,8=4.05得F0.975(8,17=拒绝域为W={(x1,,xn;y1,111=≈0.247F0.025(17,84.05,yn:
F≤F0.975(8,17=0.247∪F≥F0.025(8,17=3.061},24°由样本值计算F的观察值f0≈1.32.5°作判断:
因为f0∈W,所以接受H0,即可认为σ1=σ2.22(2再作t检验1°假设:
H0:
1=2;H1:
1≠22°取检验统计量:
T=(XY22n1S1n+n2S2n12n1n2(n1+n22n1+n2在H0成立的条件下,T=(XY22n1S1n+n2S2n12n1n2(n1+n22~t(n1+n22=t(25n1+n23°给定显著性水平α=0.05,P{T≥t0.025(25}=0.05依题设t0.025(25=2.06.拒绝域:
W={(x1,x2,,xn;y1,y2,1,yn:
t≥2.06}.2
4°由样本值计算T的观察值t0≈0.72.5°作判断:
因为t0∈W,所以接受H0,即可认为1=2.综上所述:
可以认为这两箱灯泡寿命服从同一正态分布。
例7.11一台机床大修前曾加工一批零件,共n1=10件,加工尺寸的样本方差为22S1=2500(2.大修后加工一批零件,n2=12件,共加工尺寸的样本方差为S2=400(2.问:
此机床大修后,精度有明显提高的最小显著性水平大致有多大?
解对此实际问题,可设加工尺寸服从正态分布,即机床大修前后加工尺寸分别服从2N(1,σ12和N(2,σ2.于是由题意有22H0:
σ12=σ2;H1:
σ12>σ2用F统计量2n(n1S110×11×2500=≈6.36F=12212×9×400n2(n11S2否定域为{F>F1α(9,11},从表上查得当α=0.005时,F1α(9,11=5.54<6.36;当α=0.001时,F1α(9,11=8.12>6.36;由此可知,在否定H0的前提下,最小显著性水平在0.001到0.005之间。
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