苏科新版七年级数学下册72探索平行线的性质自主学习同步培优训练附答案.docx
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苏科新版七年级数学下册72探索平行线的性质自主学习同步培优训练附答案
2021年苏科新版七年级数学下册7.2探索平行线的性质自主学习同步培优训练(附答案)
1.如图1,E是直线AB,CD内部一点,AB∥CD,连接EA,ED.
(1)探究猜想:
①若∠A=30°,∠D=40°,则∠AED等于多少度?
②若∠A=20°,∠D=60°,则∠AED等于多少度?
③猜想图1中∠AED,∠EAB,∠EDC的关系并证明你的结论.
(2)拓展应用:
如图2,射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E,与边CD交于点F,①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域(不含边界,其中区域③、④位于直线AB上方,P是位于以上四个区域上的点,猜想:
∠PEB,∠PFC,∠EPF的关系(不要求证明).
2.如图,直线AC∥BD,连接AB,直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分,规定:
线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时,连接PA,PB,构成∠PAC,∠APB,∠PBD三个角.(提示:
有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角)
(1)当动点P落在第①部分时,求证:
∠APB=∠PAC+∠PBD;
(2)当动点P落在第②部分时,∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立?
(直接回答成立或不成立)
(3)当动点P落在第③部分时,全面探究∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系,并写出动点P的具体位置和相应的结论.选择其中一种结论加以证明.
3.如图,已知直线l1∥l2,且l3和l1、l2分别交于A、B两点,点P在AB上.
(1)试找出∠1、∠2、∠3之间的关系并说出理由;
(2)如果点P在A、B两点之间运动时,问∠1、∠2、∠3之间的关系是否发生变化?
(3)如果点P在A、B两点外侧运动时,试探究∠1、∠2、∠3之间的关系(点P和A、B不重合)
4.如图,已知∠1+∠2=180°,∠3=∠B,试判断∠AED与∠ACB的大小关系,并说明理由.
5.如图,在△ABC中,CD⊥AB,垂足为D,点E在BC上,EF⊥AB,垂足为F.
(1)CD与EF平行吗?
为什么?
(2)如果∠1=∠2,且∠3=115°,求∠ACB的度数.
6.已知:
如图,DG⊥BC,AC⊥BC,EF⊥AB,∠1=∠2,求证:
CD⊥AB.
证明:
∵DG⊥BC,AC⊥BC(已知)
∴∠DGB=∠ACB=90°(垂直定义)
∴DG∥AC( )
∴∠2= ( )
∵∠1=∠2(已知)
∴∠1=∠ (等量代换)
∴EF∥CD( )
∴∠AEF=∠ ( )
∵EF⊥AB(已知)
∴∠AEF=90°( )
∴∠ADC=90°( )
∴CD⊥AB( )
7.如图,已知∠1=∠2,∠B=∠C,可推得AB∥CD.理由如下:
∵∠1=∠2(已知),
且∠1=∠CGD( ),
∴∠2=∠CGD(等量代换),
∴CE∥BF( ),
∴∠ =∠BFD( ),
又∵∠B=∠C(已知),
∴∠BFD=∠B(等量代换),
∴AB∥CD( ).
8.如图1,直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F,∠1与∠2互补.
(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系,并说明理由;
(2)如图2,∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P,EP与CD交于点G,点H是MN上一点,且GH⊥EG,求证:
PF∥GH;
(3)如图3,在
(2)的条件下,连接PH,K是GH上一点使∠PHK=∠HPK,作PQ平分∠EPK,问∠HPQ的大小是否发生变化?
若不变,请求出其值;若变化,说明理由.
9.已知:
如图,AE⊥BC,FG⊥BC,∠1=∠2,∠D=∠3+60°,∠CBD=70°.
(1)求证:
AB∥CD;
(2)求∠C的度数.
10.已知如图,AB∥CD,试解决下列问题:
(1)∠1+∠2= ;
(2)∠1+∠2+∠3= ;
(3)∠1+∠2+∠3+∠4= ;
(4)试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n= .
11.
(1)①如图1,已知AB∥CD,∠ABC=60°,根据 可得∠BCD= °;
②如图2,在①的条件下,如果CM平分∠BCD,则∠BCM= °;
③如图3,在①、②的条件下,如果CN⊥CM,则∠BCN= °.
(2)尝试解决下面问题:
已知如图4,AB∥CD,∠B=40°,CN是∠BCE的平分线,CN⊥CM,求∠BCM的度数.
12.问题情境:
如图1,AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°,求∠APC的度数.
小明的思路是:
过P作PE∥AB,通过平行线性质来求∠APC.
(1)按小明的思路,易求得∠APC的度数为 度;
(2)问题迁移:
如图2,AB∥CD,点P在射线OM上运动,记∠PAB=α,∠PCD=β,当点P在B、D两点之间运动时,问∠APC与α、β之间有何数量关系?
请说明理由;
(3)在
(2)的条件下,如果点P在B、D两点外侧运动时(点P与点O、B、D三点不重合),请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系.
13.已知,直线AB∥CD,E为AB、CD间的一点,连接EA、EC.
(1)如图①,若∠A=20°,∠C=40°,则∠AEC= °.
(2)如图②,若∠A=x°,∠C=y°,则∠AEC= °.
(3)如图③,若∠A=α,∠C=β,则α,β与∠AEC之间有何等量关系.并简要说明.
14.如图,已知AB∥CD,现在要证明∠B+∠C=180°,请你从下列三个条件中选择一个合适的条件来进行证明.你选择
①EC∥FB;②∠AGE=∠B;③∠B+∠EGB=180°
(写出证明过程)
证明:
15.如图,已知直线l1∥l2,l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D,点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合.记∠AEP=∠1,∠PFB=∠2,∠EPF=∠3.
(1)若点P在图
(1)位置时,求证:
∠3=∠1+∠2;
(2)若点P在图
(2)位置时,请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系;
(3)若点P在图(3)位置时,写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明.
16.已知AM∥CN,点B为平面内一点,AB⊥BC于B.
(1)如图1,直接写出∠A和∠C之间的数量关系 ;
(2)如图2,过点B作BD⊥AM于点D,求证:
∠ABD=∠C;
(3)如图3,在
(2)问的条件下,点E、F在DM上,连接BE、BF、CF,BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE,求∠EBC的度数.
17.已知AB∥CD,AM平分∠BAP.
(1)如图1,CM平分∠PCD,若∠P=110°,直接写出∠M= 度;
(2)如图2,(P、M在直线AC异侧)CM平分∠PCD,写出∠P与∠M数量关系.并证明;
(3)如图3,∠PCM=2∠MCD,若2∠M﹣∠P=10°,求∠PCD.
参考答案
1.解:
(1)①∠AED=70°;
②∠AED=80°;
③猜想:
∠AED=∠EAB+∠EDC,
证明:
延长AE交DC于点F,
∵AB∥DC,
∴∠EAB=∠EFD,
∵∠AED为△EDF的外角,
∴∠AED=∠EDF+∠EFD=∠EAB+∠EDC;
(2)根据题意得:
点P在区域①时,∠EPF=360°﹣(∠PEB+∠PFC);
点P在区域②时,∠EPF=∠PEB+∠PFC;
点P在区域③时,∠EPF=∠PEB﹣∠PFC;
点P在区域④时,∠EPF=∠PFC﹣∠PEB.
2.解:
(1)解法一:
如图1延长BP交直线AC于点E.
∵AC∥BD,∴∠PEA=∠PBD.
∵∠APB=∠PAE+∠PEA,
∴∠APB=∠PAC+∠PBD;
解法二:
如图2
过点P作FP∥AC,
∴∠PAC=∠APF.
∵AC∥BD,∴FP∥BD.
∴∠FPB=∠PBD.
∴∠APB=∠APF+∠FPB
=∠PAC+∠PBD;
解法三:
如图3,
∵AC∥BD,
∴∠CAB+∠ABD=180°,
∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD=180°.
又∠APB+∠PBA+∠PAB=180°,
∴∠APB=∠PAC+∠PBD.
(2)不成立.
(3)(a)当动点P在射线BA的右侧时,结论是:
∠PBD=∠PAC+∠APB.
(b)当动点P在射线BA上,结论是:
∠PBD=∠PAC+∠APB.
或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°,
∠PAC=∠PBD(任写一个即可).
(c)当动点P在射线BA的左侧时,
结论是∠PAC=∠APB+∠PBD.
选择(a)证明:
如图4,连接PA,连接PB交AC于M.
∵AC∥BD,
∴∠PMC=∠PBD.
又∵∠PMC=∠PAM+∠APM(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和),
∴∠PBD=∠PAC+∠APB.
选择(b)证明:
如图5
∵点P在射线BA上,∴∠APB=0度.
∵AC∥BD,∴∠PBD=∠PAC.
∴∠PBD=∠PAC+∠APB
或∠PAC=∠PBD+∠APB
或∠APB=0°,∠PAC=∠PBD.
选择(c)证明:
如图6,连接PA,连接PB交AC于F
∵AC∥BD,∴∠PFA=∠PBD.
∵∠PAC=∠APF+∠PFA,
∴∠PAC=∠APB+∠PBD.
3.解:
(1)∠1+∠2=∠3;
理由:
过点P作l1的平行线,
∵l1∥l2,
∴l1∥l2∥PQ,
∴∠1=∠4,∠2=∠5,(两直线平行,内错角相等)
∵∠4+∠5=∠3,
∴∠1+∠2=∠3
(2)同
(1)可证:
∠1+∠2=∠3;
(3)∠1﹣∠2=∠3或∠2﹣∠1=∠3
理由:
当点P在下侧时,过点P作l1的平行线PQ,
∵l1∥l2,
∴l1∥l2∥PQ,
∴∠2=∠4,∠1=∠3+∠4,(两直线平行,内错角相等)
∴∠1﹣∠2=∠3;
当点P在上侧时,同理可得:
∠2﹣∠1=∠3.
4.解:
∠AED=∠ACB.
理由:
∵∠1+∠4=180°(平角定义),∠1+∠2=180°(已知).
∴∠2=∠4.
∴EF∥AB(内错角相等,两直线平行).
∴∠3=∠ADE(两直线平行,内错角相等).
∵∠3=∠B(已知),
∴∠B=∠ADE(等量代换).
∴DE∥BC(同位角相等,两直线平行).
∴∠AED=∠ACB(两直线平行,同位角相等).
5.解:
(1)CD与EF平行.理由如下:
∵CD⊥AB,EF⊥AB,
∵垂直于同一直线的两直线互相平行,
∴CD∥EF;
(2)∵CD∥EF,
∴∠2=∠BCD,
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠BCD,
∴DG∥BC,
∴∠ACB=∠3=115°.
6.解:
证明过程如下:
证明:
∵DG⊥BC,AC⊥BC(已知)
∴∠DGB=∠ACB=90°(垂直定义)
∴DG∥AC(同位角相等,两直线平行)
∴∠2=∠ACD(两直线平行,内错角相等)
∵∠1=∠2(已知)
∴∠1=∠ACD(等量代换)
∴EF∥CD(同位角相等,两直线平行)
∴∠AEF=∠ADC(两直线平行,同位角相等)
∵EF⊥AB(已知)
∵∠AEF=90°(垂直定义)
∴∠ADC=90°(等量代换)
∴CD⊥AB(垂直定义).
7.解:
∵∠1=∠2(已知),
且∠1=∠CGD(对顶角相等),
∴∠2=∠CGD(等量代换),
∴CE∥BF(同位角相等,两直线平行),
∴∠C=∠BFD(两直线平行,同位角相等),
又∵∠B=∠C(已知),
∴∠BFD=∠B(等量代换),
∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行).
故答案为:
(对顶角相等),(同位角相等,两直线平行),C,(两直线平行,同位角相等),(内错角相等,两直线平行).
8.解:
(1)如图1,∵∠1与∠2互补,
∴∠1+∠2=180°.
又∵∠1=∠AEF,∠2=∠CFE,
∴∠AEF+∠CFE=180°,
∴AB∥CD;
(2)如图2,由
(1)知,AB∥CD,
∴∠BEF+∠EFD=180°.
又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P,
∴∠FEP+∠EFP=
(∠BEF+∠EFD)=90°,
∴∠EPF=90°,即EG⊥PF.
∵GH⊥EG,
∴PF∥GH;
(3)∠HPQ的大小不发生变化,理由如下:
如图3,∵∠1=∠2,
∴∠3=2∠2.
又∵GH⊥EG,
∴∠4=90°﹣∠3=90°﹣2∠2.
∴∠EPK=180°﹣∠4=90°+2∠2.
∵PQ平分∠EPK,
∴∠QPK=
∠EPK=45°+∠2.
∴∠HPQ=∠QPK﹣∠2=45°,
∴∠HPQ的大小不发生变化,一直是45°.
9.
(1)证明:
∵AE⊥BC,FG⊥BC,
∴AE∥GF,
∴∠2=∠A,
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠A,
∴AB∥CD;
(2)解:
∵AB∥CD,
∴∠D+∠CBD+∠3=180°,
∵∠D=∠3+60°,∠CBD=70°,
∴∠3=25°,
∵AB∥CD,
∴∠C=∠3=25°.
10.
解:
(1)∵AB∥CD,∴∠1+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补);
(2)过点E作一条直线EF∥AB,
∵AB∥CD,
∴AB∥EF,CD∥EF,
∴∠1+∠AEF=180°,∠FEC+∠3=180°,
∴∠1+∠2+∠3=360°;
(3)过点E、F作EG、FH平行于AB,
∵AB∥CD,
∴AB∥EG∥FH∥CD,
∴∠1+∠AEG=180°,∠GEF+∠EFH=180°,∠HFC+∠4=180°;
∴∠1+∠2+∠3+∠4=540°;
(4)根据上述规律,显然作(n﹣2)条辅助线,运用(n﹣1)次两条直线平行,同旁内角互补.即可得到n个角的和是180°(n﹣1).
11.解:
(1)①两直线平行,内错角相等;60;②30;③60.
(2)∵AB∥CD,
∴∠B+∠BCE=180°,
∵∠B=40°,
∴∠BCE=180°﹣∠B=180°﹣40°=140°.
又∵CN是∠BCE的平分线,
∴∠BCN=140°÷2=70°.
∵CN⊥CM,
∴∠BCM=90°﹣∠BCN=90°﹣70°=20°.
12.
(1)解:
过点P作PE∥AB,
∵AB∥CD,
∴PE∥AB∥CD,
∴∠A+∠APE=180°,∠C+∠CPE=180°,
∵∠PAB=130°,∠PCD=120°,
∴∠APE=50°,∠CPE=60°,
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°.
(2)∠APC=α+β,
理由:
如图2,过P作PE∥AB交AC于E,
∵AB∥CD,
∴AB∥PE∥CD,
∴α=∠APE,β=∠CPE,
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β;
(3)如图所示,当P在BD延长线上时,
∠CPA=α﹣β;
如图所示,当P在DB延长线上时,
∠CPA=β﹣α.
13.解:
如图,过点E作EF∥AB,
∵AB∥CD,
∴AB∥CD∥EF.
(1)∵∠A=20°,∠C=40°,
∴∠1=∠A=20°,∠2=∠C=40°,
∴∠AEC=∠1+∠2=60°;
(2)∴∠1+∠A=180°,∠2+∠C=180°,
∵∠A=x°,∠C=y°,
∴∠1+∠2+x°+y°=360°,
∴∠AEC=360°﹣x°﹣y°;
(3)∠A=α,∠C=β,
∴∠1+∠A=180°,∠2=∠C=β,
∴∠1=180°﹣∠A=180°﹣α,
∴∠AEC=∠1+∠2=180°﹣α+β.
14.解:
以取①为例
证明:
∵AB∥CD,
∴∠BGC+∠C=180°.
又∵EC∥FB,
∴∠B=∠BGC,
∴∠B+∠C=180°.
15.证明:
(1)过P作PQ∥l1∥l2,
由两直线平行,内错角相等,可得:
∠1=∠QPE、∠2=∠QPF;
∵∠3=∠QPE+∠QPF,
∴∠3=∠1+∠2.
(2)关系:
∠3=∠2﹣∠1;
过P作直线PQ∥l1∥l2,
则:
∠1=∠QPE、∠2=∠QPF;
∵∠3=∠QPF﹣∠QPE,
∴∠3=∠2﹣∠1.
(3)关系:
∠3=360°﹣∠1﹣∠2.
过P作PQ∥l1∥l2;
同
(1)可证得:
∠3=∠CEP+∠DFP;
∵∠CEP+∠1=180°,∠DFP+∠2=180°,
∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°,
即∠3=360°﹣∠1﹣∠2.
16.解:
(1)如图1,AM与BC的交点记作点O,
∵AM∥CN,
∴∠C=∠AOB,
∵AB⊥BC,
∴∠A+∠AOB=90°,
∴∠A+∠C=90°,
故答案为:
∠A+∠C=90°;
(2)如图2,过点B作BG∥DM,
∵BD⊥AM,
∴DB⊥BG,即∠ABD+∠ABG=90°,
又∵AB⊥BC,
∴∠CBG+∠ABG=90°,
∴∠ABD=∠CBG,
∵AM∥CN,BG∥AM,
∴CN∥BG,
∴∠C=∠CBG,
∴∠ABD=∠C;
(3)如图3,过点B作BG∥DM,
∵BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,
∴∠DBF=∠CBF,∠DBE=∠ABE,
由
(2)可得∠ABD=∠CBG,
∴∠ABF=∠GBF,
设∠DBE=α,∠ABF=β,则
∠ABE=α,∠ABD=2α=∠CBG,∠GBF=β=∠AFB,∠BFC=3∠DBE=3α,
∴∠AFC=3α+β,
∵∠AFC+∠NCF=180°,∠FCB+∠NCF=180°,
∴∠FCB=∠AFC=3α+β,
△BCF中,由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°,可得
(2α+β)+3α+(3α+β)=180°,①
由AB⊥BC,可得
β+β+2α=90°,②
由①②联立方程组,解得α=15°,
∴∠ABE=15°,
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°.
17.解:
(1)如图1,延长AP交CD于点Q,则可得到∠BAP=∠AQC,
则∠APC=∠BAP+∠DCP=2(∠MAP+∠MCP),
连接MP并延长到点R,则可得∠APR=∠MAP+∠AMP,∠CPR=∠MCP+∠CMP,
所以∠APC=∠M+∠MAP+∠MCP,
所以∠APC=∠M+
∠APC,
所以∠M=
∠APC=55°.
故答案为:
55;
(2)如图2,过P作PQ∥AB于Q,MN∥AB于N,
则AB∥PQ∥MN∥CD,
∴∠APQ=180°﹣∠BAP,∠CPQ=180°﹣∠DCP,∠AMN=∠BAM,∠CMN=∠DCM,
∵AM平分∠BAP,CM平分∠PCD,
∴∠BAP=2∠BAM,∠DCP=2∠DCM,
∴∠APC=∠APQ+∠CPQ=180°﹣∠BAP+180°﹣∠DCP=360°﹣2(∠BAM+∠DCM)=360°﹣2(∠BAM+∠DCM)=360°﹣2∠AMC;
(3)如图3,过P作PQ∥AB于Q,MN∥AB于N,
则AB∥PQ∥MN∥CD,
设∠MCD=x,则∠PCM=2x,∠PCD=3x,设∠PAM=y,则∠MAB=y,则∠PAB=2y,
∵AB∥PQ,
∴∠QPA=∠PAB=2y,∠NMA=∠MAB=y,
∴∠QPA=∠CPQ+∠CPA=∠PCD+∠CPA=3x+∠CPA①,∠NMA=∠NMC+∠AMC=∠MCD+∠AMC=x+∠AMC②,
∵2∠AMC﹣∠APC=10°,2∠AMC=2(∠NMA﹣∠NMC)=2(y﹣x),∠APC=∠APQ﹣∠CPQ=2y﹣3x,
∴2(y﹣x)﹣(2y﹣3x)=10°,
∴x=10°,
∴∠PCD=3x=30°.
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