江西省重点中学届高三第二次联考数学试题理含答案.docx
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江西省重点中学届高三第二次联考数学试题理含答案
江西省重点中学盟校2017届高三第二次联考
数学(理科)试卷
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数
的共轭复数的虚部是()
A.
B.
C.
D.
2.已知集合
,则
()
A.
B.
C.
D.
3.下列命题中真命题的个数是()
①若
是假命题,则
都是假命题;
②命题“
”的否定是“
”;
③若
,则
是
的充分不必要条件.
④设随机变量
服从正态分布
,若
,则
.
A.
B.
C.
D.
4.一个几何体的三视图如所示,则该几何体的外接球表面积为()
A.
B.
C.
D.
5.“更相减损术”是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法,如下框图中若输入的
、
分别为
、
,则输出的
为()
A.
B.
C.
D.
6.如图,在边长为
的正方形
中,
是
的中点,过
三点的抛物线与
围成阴影部分,则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是()
A.
B.
C.
D.
7.函数
的图象如图所示,为了得到
的图象,则只将
的图象()
A.向左平移
个单位B.向右平移
个单位
C.向左平移
个单位D.向右平移
个单位
8.如果实数
满足关系
,又
恒成立,则
的取值范围为()
A.
B.
C.
D.
9.将
这
名同学从左至右排成一排,则
与
相邻且
与
之间恰好有一名同学的排法有()
A.
B.
C.
D.
10.若非零向量
的夹角为锐角
,且
,则称
被
“同余”.已知
被
“同余”,则
在
上的投影是()
A.
B.
C.
D.
11.已知
为坐标原点,
是双曲线
的左焦点,
分别为左、右顶点,过点
做
轴的垂线交双曲线于点
,连结
交
轴于点
,连接
于点
,若
是线段
的中点,则双曲线
的离心率()
A.
B.
C.
D.
12.已知函数
,若函数
在区间
上恰有两个不同的零点,则实数
的取值范围()
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知函数
则
.
14.在多项式
的展开式中,
项的系数为.
15.已知
中,
,
,
,若点
是边
上的动点,且
到
,
距离分别为
,则
的最小值为.
16.已知数列
中,设
,若
,
是
的前
项和,若不等式
对一切的
恒成立,则实数
的取值范围是.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.设锐角三角形
的内角
的对边分别为
,
.
(1)求
的大小;
(2)求
的取值范围.
18.通过对某城市一天内单次租用共享自行车的时间
分钟到
钟的
人进行统计,按照租车时间
,
,
,
,
分组做出频率分布直方图,并作出租用时间和茎叶图(图中仅列出了时间在
,
的数据).
(1)求
的频率分布直方图中的
;
(2)从租用时间在
分钟以上(含
分钟)的人数中随机抽取
人,设随机变量
表示所抽取的
人租用时间在
内的人数,求随机变量
的分布列及数学期望.
19.如图,在正四面体ABCD中,
是
的中心,
分别是
上的动点,且
.
(1)若
平面
,求实数
的值;
(2)若
,正四面体ABCD的棱长为
,求平面
和平面
所成的角余弦值.
20.已知椭圆
右顶点
,离心率
.
(1)求椭圆
的方程;
(2)设
为椭圆上顶点,
是椭圆
在第一象限上一点,直线
与
轴交于点
,直线
与
轴交于点
,问
与
面积之差是否为定值?
说明理由.
21.设常数
.
(1)若
在
处取得极小值为
,求
和
的值;
(2)对于任意给定的正实数
、
,证明:
存在实数
,当
时,
.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:
坐标系与参数方程
在平角直角坐标系
中,以
为极点,
轴非负半轴为极轴建立坐标系,曲线
的极坐标方程为
,直线
的参数方程为
(
为参数,
),
射线
与曲线
交于
三点(异于
点).
(1)求证:
;
(2)当
时,直线
经过
两点,求
与
的值
23.选修4-5:
不等式选讲
若关于
的不等式
的解集为
.
(1)求
的值;
(2)若
,求
的最大值.
江西省重点中学盟校2017届高三
第二次联考
数学(理科)试卷答案
一、选择题
1-5:
CBCBD6-10:
DAABA11、12:
CC
12.答案:
C解析因为函数
的零点为方程
的根,易知
,所以
,故
.令
,则
,问题转化为
在
上有两个不同的实解,即
在
上有两个不同的实解.令
,
则
,
,结合图像可知
.
二、填空题
13.
14.
15.
16.
三、解答题
17.
(1)由
根据余弦定理得
.
又
为锐角三角形
的内角,得
.
(2)由
(1)知
,
由
为锐角三角形且
知
,故
.
∴
,∴
,∴
,
故
的取值范围为
.
18.解:
(1)由题意可知,样本容量
.
(2)由题意可知,租用时间在
内的人数为5,租用时间在
内的人数为
,共
人.抽取的
人中租用时间在
内的人数
的可能取值为
,则
,
,
.
故
.
19.解:
(1)取
的中点
,连接
∵
是正
的中心∴点
在
上,且
,
∵当
时,
平面
∴
∴
即
∴
.
(2)当
时,点
分别是
的
中点.
建立如图所示的空间直角坐标系
,依题设
,则
则
设平面
的法向量为
则
∴
不妨令
,则
,
又平面
的一个法向量为
.
设所求二面角为
,则
.
20.解:
⑴依题意得
解得
,则椭圆
的方程为
.
⑵设
,则
,
,令
得
,则
,令
得
,则
∴
.
21.
,
∵
,∴
.
将
代入得
当
时,
递减;
时,
递增;
故当
时,
取极小值
令
解得
.
(Ⅱ)因为
记
故只需证明:
存在实数
当
时,
[方法1]
设
则
.
易知当
时,
故
.
又由
解得:
即
取
则当
时,恒有
.
即当
时,恒有
成立.
[方法2]由
得:
故
是区间
上的增函数.令
则
因为
故有
令
解得:
设
是满足上述条件的最小正整数,取
则当
时,恒有
即
成立.
22.(Ⅰ)由已知:
∴
.
(Ⅱ)当
时,点
的极角分别为
,
代入曲线
的方程得点
的极径分别为:
∴点
的直角坐标为:
,则直线
的斜率为
,
方程为
,与x轴交与点
;
由
,知
为其倾斜角,直线过点
,
∴
.
23.
(1)依题意知
和
是方程
的两个根,则
,∴
,∴
.
(2)
当且仅当
,即
时等号成立.
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