山农成人教育 离散数学期末考试复习题及参考答案专科.docx
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山农成人教育离散数学期末考试复习题及参考答案专科
《离散数学》复习题
一、填空题
(1)公式Ø(p«q)与(pÙØq)Ú(ØpÙq)共同的成真赋值为____________;
(2)设p、q为真命题,r、s为假命题,则复合命题(pr)(q→s)的真值为___________;
(3)(AB)(BC)_________________为假言三段论推理定律;
(4)设A为任意的一阶逻辑公式,若A中___________,则称A为封闭的公式;
(5)前提:
xyF(x,y)结论:
yF(y,y)
以上推理是错误的,某学生却给出了如下证明:
①xyF(x,y)前提引入
②yF(y,y)①
此证明错在_____________________.
(6)设[a,b],(c,d)代表实数区间,那么([0,4]Ç[2,6])-(1,3)=_________________________.
(7)设集合X={1,2,3},下列关系中__________________________不是等价的;
A={<1,1>,<2,2>,<3,3>}
B={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<3,2>,<2,3>}
C={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,4>}
D={<1,1>,<2,2>,<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<3,3>,<2,3>,<3,2>}
(8)设f:
A®A,如果f是双射的,则f∘f1=__________________.
(9)设代数系统V=,A=
+为矩阵加法.则V中运算的单位元和矩阵
的逆元分别是__________________________________.
(10)n阶循环群的生成元有______个即______,无限循环群的生成元有___________个即___________;
(11)设n为正整数,Sn为n的正因子集,S关于整除关系构成格,令n=1,2,3,4,5,6,那么当n=________________时,Sn构成布尔格;
(12)n阶竞赛图的基图为__________________;
(13)当n为____________时,完全图Kn既是欧拉图,又是哈密顿图;
(14)n阶m条边的无向连通图G,对应它的生成树T有___________个基本回路;
(15)设G是由3个连通分支K1、K2和K3组成的平面图,则G共有_________个面;
二、判断推理是否正确
设y=2|x|,x为实数.推理如下:
若y在x=0可导,则y在x=0连续.y在x=0连续.所以,y在x=0可导.
三、证明题
1.设V=是代数系统,V中适合结合律,存在单位元,且每个元素都有逆元,证明"a,b,cÎA,a∘b=a∘cÞb=c.
2设G为群,证明G为Abel群的充要条件是对于G中任意元素a,b有(ab)2=a2b2.
3.在整数环中定义∗和◇两个运算,a,b∈Z有
a∗b=a+b1,a◇b=a+bab.
证明
四、应用题
1.一个学校有507,292,312和344个学生分别选了微积分、离散数学、数据结构或程序设计语言课,且有14人选了微积分和数据结构课,213人选了微积分和程序设计语言课,211人选了离散数学和数据结构课,43人选了离散数学和程序设计语言课,没有学生同时选微积分和离散数学课,也没有学生同时选数据结构和程序设计语言课。
问有多少学生在微积分、离散数学、数据结构或程序设计语言中选了课?
2.已知a、b、c、d、e、f、g七人中,会讲的语言分别为
a:
英语、德语
b:
英语、汉语
c:
英语、意大利语、俄语
d:
汉语、日语
e:
意大利语、德语
f:
俄语、日语、法语
g:
德语、法语
问能否将他们的座位安排在圆桌旁,使得每个人都能与他身边的人交谈?
五、判断解答
判断正整数集合Z+和下面的每个二元运算是否构成代数系统.如果是,则说明这个运算是否适合交换律、结合律和幂等律,并求出单位元和零元.
aob=max(a,b),a∗b=min(a,b),a∙b=ab,a◇b=(a/b)+(b/a)
参考答案
一、填空
1.0110
2.0
3.AC
4.不含自由出现的个体变项
5.全程量词消去时用y替换x不满足条件
6.[3,4]
7.C
8.
9.
10.
个
11.1,2,3,5,6,
12.Kn
13.奇数
14.
15.2
二.判断推理是否正确
设y=2|x|,x为实数.推理如下:
若y在x=0可导,则y在x=0连续.y在x=0连续.所以,y在x=0可导.
解答:
y=2|x|,令
三.证明题
1.设V=是代数系统,V中适合结合律,存在单位元,且每个元素都有逆元,证明"a,b,cÎA,a∘b=a∘cÞb=c.
证明:
2设G为群,证明G为Abel群的充要条件是对于G中任意元素a,b有(ab)2=a2b2.
证明:
G为Abel群,因此
反之,对于任意
,由
得
,使用消去律的
从而证明G为Abel群。
3.证a,b∈Z有a∗b,a◇b∈Z,两个运算封闭.任取a,b,c∈Z
(a∗b)∗c=(a+b1)∗c=(a+b1)+c1=a+b+c2
a∗(b∗c)=a∗(b+c1)=a+(b+c1)1=a+b+c2
(a◇b)◇c=(a+bab)◇c=a+b+c(ab+ac+bc)+abc
a◇(b◇c)=a◇(b+cbc)=a+b+c(ab+ac+bc)+abc
∗与◇可结合,1为∗的单位元.2a为a关于∗的逆元.Z关于∗构成交换群,关于◇构成半群.◇关于∗满足分配律.
a◇(b∗c)=a◇(b+c1)=2a+b+cabac1
a◇b)∗(a◇c)=2a+b+cabac1
四.应用题
1.一个学校有507,292,312和344个学生分别选了微积分、离散数学、数据结构或程序设计语言课,且有14人选了微积分和数据结构课,213人选了微积分和程序设计语言课,211人选了离散数学和数据结构课,43人选了离散数学和程序设计语言课,没有学生同时选微积分和离散数学课,也没有学生同时选数据结构和程序设计语言课。
问有多少学生在微积分、离散数学、数据结构或程序设计语言中选了课?
答案:
用文氏图。
974
2.已知a、b、c、d、e、f、g七人中,会讲的语言分别为
a:
英语、德语
b:
英语、汉语
c:
英语、意大利语、俄语
d:
汉语、日语
e:
意大利语、德语
f:
俄语、日语、法语
g:
德语、法语
问能否将他们的座位安排在圆桌旁,使得每个人都能与他身边的人交谈?
五、判断解答
判断正整数集合Z+和下面的每个二元运算是否构成代数系统.如果是,则说明这个运算是否适合交换律、结合律和幂等律,并求出单位元和零元.
aob=max(a,b),a∗b=min(a,b),a∙b=ab,a◇b=(a/b)+(b/a)
一、填空题
(1)设A为任意的公式,B为重言式,则A
B的类型为______________.
(2)无向图G是欧拉图的充分必要条件是__________________________.
(3)(AB)A________________为假言推理定律.
(4)在一阶逻辑中将命题符号化时,若没指明个体域,则使用_____________个体域.
(5)若R既是_________、_____________、______________则称R是整环;
(6)设[0,1]和(0,1)分别表示实数集上的闭区间和开区间,则下列命题中为真的是____________________________;
A.{0,1}Í(0,1)B.{0,1}Í[0,1]C.(0,1)Í[0,1]
D.[0,1]ÍQE.{0,1}ÍZ
(7)已知RÍA´A且A={a,b,c},R的关系矩阵
M(R)=
则传递闭包t(R)的关系矩阵M(t(R))=__________________________.;
(8)设R为实数集合,f:
R®R,f(x)=x2-x+2,g:
R®R,g(x)=x-3,则fg(x)=_______;
(9)设Z为整数集,"a,bÎZ,aob=a+b-1,"aÎZ,a的逆元a1=____________;
(10)设G=是24阶循环群,则G的生成元为_______________________;
(11)设L为钻石格,则L有_____________________个2元子格;
(12)n阶k-正则图G的边数m=________________;
(13)在完全图K2k(k≥2)上至少加___________条边,才能使所得图为欧拉图;
(14)6阶无向连通图至多有____________棵不同构的生成树;
(15)在环中计算
__________;
二、在自然推理系统P中,用直接证明法构造下面推理的证明
前提:
(pq),q→r,r
结论:
p
三、证明题
1.设E={1,2,...,12},A={1,3,5,7,9,11},B={2,3,5,7,11},C={2,3,6,12},D={2,4,8},计算:
AÈB,AÇC,C-(AÈB),A-B,C-D,BÅD.
2.设
为模18整数加群,求所有元素的阶.
3.求带权为5,5,6,7,10,15,20,30的最优树T,并求W(T).
四、应用题
1.判断正整数集合Z+和下面的每个二元运算是否构成代数系统.如果是,则说明这个运算是否适合交换律、结合律和幂等律,并求出单位元和零元.
aob=max(a,b),a∗b=min(a,b),a∙b=ab,a◇b=(a/b)+(b/a)
2.计算机系张、王、李、赵4位教授下学期要承担他们都熟悉的4门课程:
数据结构、操作系统、C语言和JAVA.
(1)试讨论学院安排他们授课的方案数;
(2)在上述各方案中,有多少种是完全不同的方案(即,每位教授所授课程都不相同的方案数)?
五、判断解答
判断正整数集合Z+和下面的每个二元运算是否构成代数系统.如果是,则说明这个运算是否适合交换律、结合律和幂等律,并求出单位元和零元.
aob=max(a,b),a∗b=min(a,b),a∙b=ab,a◇b=(a/b)+(b/a)
参考答案
一、填空
1.矛盾式
2.G连通且无奇度顶点.
3.B
4.全总
5.交换环、含幺环、无零因子环
6.B,C,E
7.M(R)
8.x2x-1
9.2a
10.
11.7,
12.
13.k
14.6
15.略
二.略
三.计算
1.设E={1,2,...,12},A={1,3,5,7,9,11},B={2,3,5,7,11},C={2,3,6,12},D={2,4,8},计算:
AÈB,AÇC,C-(AÈB),A-B,C-D,BÅD.
2.|0|=1,|9|=2,|6|=|12|=3,|3|=|15|=6,
|2|=|4|=|8|=|10|=|14|=|16|=9,|1|=|5|=|7|=|11|=|13|=|17|=18
3.求带权为5,5,6,7,10,15,20,30的最优树T,并求W(T).
答案W(T)=267
四.判断解答
1.判断正整数集合Z+和下面的每个二元运算是否构成代数系统.如果是,则说明这个运算是否适合交换律、结合律和幂等律,并求出单位元和零元.
aob=max(a,b),a∗b=min(a,b),a∙b=ab,a◇b=(a/b)+(b/a)
2.4!
4种完全不同的方案。
五、判断解答
判断正整数集合Z+和下面的每个二元运算是否构成代数系统.如果是,则说明这个运算是否适合交换律、结合律和幂等律,并求出单位元和零元.
aob=max(a,b),a∗b=min(a,b),a∙b=ab,a◇b=(a/b)+(b/a)
一、填空题
(1)设A为任意的公式,B为重言式,则AÚB的类型为______________.
(2)无向图G是半欧拉图的充分必要条件是________________________.
(3)(AB)A________________为假言推理定律.
(4)在一阶逻辑中将命题符号化时,若没指明个体域,则使用________个体域.
(5)取解释I为:
个体域为D={a},F(x):
x具有性质F,在I下xF(x)xF(x)的真值为_________;
(6)设[0,1]和(0,1)分别表示实数集上的闭区间和开区间,则下列命题中为真的是________________________;
A.{0,1}Í(0,1)B.{0,1}Í[0,1]C.(0,1)Í[0,1]
D.[0,1]ÍQE.{0,1}ÍZ
(7)已知RÍA´A且A={a,b,c},R的关系矩阵
M(R)=
则传递闭包t(R)的关系矩阵M(t(R))=_________________________.;
(8)设R为实数集合,f:
R®R,f(x)=x2-x+2,g:
R®R,g(x)=x-3,则fg(x)=________;
(9)设Z为整数集,"a,bÎZ,aob=a+b-1,"aÎZ,a的逆元a1=__________;
(10)设G=是24阶循环群,则G的生成元为_____________________;
(11)设L为钻石格,则L有___________________个2元子格;
(12)n阶k-正则图G的边数m=_______________;
(13)在完全图K2k(k≥2)上至少加__________条边,才能使所得图为欧拉图;
(14)6阶无向连通图至多有____________棵不同构的生成树;
(15)设无向图G与K5同胚,至少从G中删除___________条边才能使所得图为平面图;
二、求复合命题的真值
p:
2能整除5,q:
旧金山是美国的首都,r:
一年分四季.
(1)((pÚq)®r)Ù(r®(pÙq));
(2)((Øq«p)®(rÚp))Ú((ØpÙØq)Ùr).
三、证明题
1.设E={1,2,...,12},A={1,3,5,7,9,11},B={2,3,5,7,11},C={2,3,6,12},D={2,4,8},计算:
AÈB,AÇC,C-(AÈB),A-B,C-D,BÅD.
2.设A={1,2,5,10,11,22,55,110},A关于整除关系构成格L.求L中所有有补元素的补元.
3.求带权为5,5,6,7,10,15,20,30的最优树T,并求W(T).
四、应用题
1.判断正整数集合Z+和下面的每个二元运算是否构成代数系统.如果是,则说明这个运算是否适合交换律、结合律和幂等律,并求出单位元和零元.
aob=max(a,b),a∗b=min(a,b),a∙b=ab,a◇b=(a/b)+(b/a)
2.判断下面集合对于给定运算能否构成群,并简要说明理由.
A.非零实数集合R*关于∘运算,其中a∘b=2ab;
B.G=
关于矩阵乘法.
五、
图G=
(1)画出G的图形;
(2)写出G的邻接矩阵;
(3)求出G权最小的生成树及其权值.
参考答案
一、填空
1.重言式
2.G连通且恰有两个奇度顶点.
3.B
4.全总
5.1
6.B,C,E
7.M(R)
8.x2x-1
9.2a
10.
11.7,
12.
13.k
14.6
15.1
二.求复合命题的真值
p:
2能整除5,q:
旧金山是美国的首都,r:
一年分四季.
(1)((pÚq)®r)Ù(r®(pÙq));0
(2)((Øq«p)®(rÚp))Ú((ØpÙØq)Ùr).1
三.计算
1.设E={1,2,...,12},A={1,3,5,7,9,11},B={2,3,5,7,11},C={2,3,6,12},D={2,4,8},计算:
AÈB,AÇC,C-(AÈB),A-B,C-D,BÅD.
2.设A={1,2,5,10,11,22,55,110},A关于整除关系构成格L.求L中所有有补元素的补元.
答案1与110互为补元;2与55互为补元;5与22互为补元;10与11互为补元。
3.求带权为5,5,6,7,10,15,20,30的最优树T,并求W(T).
答案W(T)=267
四.判断解答
1.判断正整数集合Z+和下面的每个二元运算是否构成代数系统.如果是,则说明这个运算是否适合交换律、结合律和幂等律,并求出单位元和零元.
aob=max(a,b),a∗b=min(a,b),a∙b=ab,a◇b=(a/b)+(b/a)
2.判断下面集合对于给定运算能否构成群,并简要说明理由.
A.非零实数集合R*关于∘运算,其中a∘b=2ab;
B.G=
关于矩阵乘法.
A.能够成群显然运算封闭,满足结合律,单位元是
,
的逆元是
.
B.构成群,运算封闭。
矩阵乘法满足结合律,单位阵
为单位元.
的逆元是
五、图G=
(1)画出G的图形;
(2)写出G的邻接矩阵;
(3)求出G权最小的生成树及其权值.
解:
(1)因为V={a,b,c,d,e,f}
E={(a,b),(a,c),(a,e),(b,d),(b,e),
(c,e),(d,e),(d,f),(e,f)},
权值依次为5,2,1,2,6,1,9,3及8
所以,G的图形如右图所示:
(2)分析:
定义3.3.1设G=
邻接矩阵:
(3)用避圈法:
第1步:
选(a,e)和(c,e)边;
第2步:
选(b,d)边;(为什么不选(a,c)?
)
第3步:
选(d,f)边;
第4步:
选(a,b)边.
这样,得到了最小的生成树,如右图中粗线所示.
最小的生成树的权为1+1+5+2+3=12.
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