第11课时一次函数.docx
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第11课时一次函数
第11课一次函数
方法指导
1.待定系数法求一次函数解析式的一般步骤为:
(1)设出一次函数解析式的一般形式y=kx+b(k≠0);
(2)将x,y的对应值代入解析式y=kx+b中,得到含有待定系数的方程或方程组;
(3)求出待定系数k、b的值;
(4)将所求待定系数的值代入所设的函数解析式中.
2.两个区别
(1)正比例函数和一次函数的区别
正比例函数是一次函数的特殊情况,一次函数包括正比例函数.也就是说:
如果一个函数是正比例函数,那么一定是一次函数,但是,一个函数是一次函数,不一定是正比例函数.
(2)正比例和正比例函数的区别
成正比例的两个量之间的函数关系不一定是正比例函数,但正比例函数的两个量一定成正比例.
3.一次函数与方程(组)的关系
(1)一次函数y=kx+b的表达式可转化为二元一次方程kx-y+b=0;
(2)一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标_______是方程kx+b=0的解;
(3)一次函数y=kx+b与y=k1x+b1的图象交点的横、纵坐标是方程组
的解.
4.一次函数与一元一次不等式的关系
(1)函数y=kx+b的函数值y大于0时,自变量x的取值范围就是不等式kx+b>0的解集,即函数图象位于x轴的上方;
(2)函数y=kx+b的函数值y小于0时,自变量x的取值范围就是不等式kx+b<0的解集,即函数图象位于x轴的下方.
真题回顾
【例】(2016·四川攀枝花)某市为了鼓励居民节约用水,决定实行两级收费制度.若每月用水量不超过14吨(含14吨),则每吨按政府补贴优惠价m元收费;若每月用水量超过14吨,则超过部分每吨按市场价n元收费.小明家3月份用水20吨,交水费49元;4月份用水18吨,交水费42元.
(1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少?
(2)设每月用水量为x吨,应交水费为y元,请写出y与x之间的函数关系式;
(3)小明家5月份用水26吨,则他家应交水费多少元?
【考点】一次函数的应用.
【分析】
(1)设每吨水的政府补贴优惠价为m元,市场调节价为n元,根据题意列出方程组,求解此方程组即可;
(2)根据用水量分别求出在两个不同的范围内y与x之间的函数关系,注意自变量的取值范围;
(3)根据小英家5月份用水26吨,判断其在哪个范围内,代入相应的函数关系式求值即可.
【解答】解:
(1)设每吨水的政府补贴优惠价为m元,市场调节价为n元.
,
解得:
,
答:
每吨水的政府补贴优惠价2元,市场调节价为3.5元.
(2)当0≤x≤14时,y=2x;
当x>14时,y=14×2+(x﹣14)×3.5=3.5x﹣21,
故所求函数关系式为:
y=
;
(3)∵26>14,
∴小英家5月份水费为3.5×26﹣21=69元,
答:
小英家5
月份水费69吨.
【点评】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的解法,特别是在求一次函数的解析式时,此函数是一个分段函数,同时应注意自变量的取值范围.
变式训练
1.某工厂投入生产一种机器的总成本为2000万元.当该机器生产数量至少10台,但不超过70台时,每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系,函数y与自变量x的部分对应值如下表:
(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)求该机器的生产数量;
x(单位:
台)
10
20
30
y(单位:
万元∕台)
60
55
50
(3)市场调查发现,这种机器每月销售量z(台)与售价a(万元∕台)之间满足如图15-5所示的函数关系,该厂生产这种机器后的第一个月按同一售价共卖出这种机器25台,请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润.(注:
利润=售价-成本)
适应训练
2.(2016·浙江省绍兴市·8分)根据卫生防疫部门要求,游泳池必须定期换水,清洗.某游泳池周五早上8:
00打开排水孔开始排水,排水孔的排水速度保持不变,期间因清洗游泳池需要暂停排水,游泳池的水在11:
30全部排完.游泳池内的水量Q(m2)和开始排水后的时间t(h)之间的函数图象如图所示,根据图象解答下列问题:
(1)暂停排水需要多少时间?
排水孔排水速度是多少?
(2)当2≤t≤3.5时,求Q关于t的函数表达式.
3.(2014·绍兴)已知甲、乙两地相距90km,A,B两人沿同一公路从甲地出发到乙地,A骑摩托车,B骑电动车.图15-6中DE,OC分别表示A,B离开甲地的路程s(km)与时间t(h)的函数关系的图象,根据图象解答下列问题.
(1)A比B晚出发几小时?
B的速度是多少?
(2)在B出发后几小时,两人相遇?
课外作业
4.(2016·山东省滨州市·10分)星期天,李玉刚同学随爸爸妈妈会老家探望爷爷奶奶,爸爸8:
30骑自行车先走,平均每小时骑行20km;李玉刚同学和妈妈9:
30乘公交车后行,公交车平均速度是40km/h.爸爸的骑行路线与李玉刚同学和妈妈的乘车路线相同,路程均为40km/h.设爸爸骑行时间为x(h).
(1)请分别写出爸爸的骑行路程y1(km)、李玉刚同学和妈妈的乘车路程y2(km)与x(h)之间的函数解析式,并注明自变量的取值范围;
(2)请在同一个平面直角坐标系中画出
(1)中两个函数的图象;
(3)请回答谁先到达老家.
5.(2015·广安)为了贯彻落实市委市政府提出的“精准扶贫”精神.某校特制定了一系列关于帮扶A,B两贫困村的计划.现决定从某地运送152箱鱼苗到A,B两村养殖,若用大小货车共15辆,则恰好能一次性运完这批鱼苗,已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆,其运往A,B两村的运费如下表:
目的地
车型
A村(元/辆)
B村(元/辆)
大货车
800
900
小货车
400
600
(1)求这15辆车中大小货车各多少辆?
(2)现安排其中10辆货车前往A村,其余货车前往B村,设前往A
村的大货车为x辆,前往A,B两村总费用为y元,试求出y与x
的函数解析式.
(3)在
(2)的条件下,若运往A村的鱼苗不少于100箱,请你写出
使总费用最少的货车调配方案,并求出最少费用.
6.(2016·浙江省绍兴市·8分)根据卫生防疫部门要求,游泳池必须定期换水,清洗.某游泳池周五早上8:
00打开排水孔开始排水,排水孔的排水速度保持不变,期间因清洗游泳池需要暂停排水,游泳池的水在11:
30全部排完.游泳池内的水量Q(m2)和开始排水后的时间t(h)之间的函数图象如图所示,根据图象解答下列问题:
(1)暂停排水需要多少时间?
排水孔排水速度是多少?
(2)当2≤t≤3.5时,求Q关于t的函数表达式.
【参考答案】
变式训练
1.某工厂投入生产一种机器的总成本为2000万元.当该机器生产数量至少10台,但不超过70台时,每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系,函数y与自变量x的部分对应值如下表:
(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)求该机器的生产数量;
x(单位:
台)
10
20
30
y(单位:
万元∕台)
60
55
50
(3)市场调查发现,这种机器每月销售量z(台)与售价a(万元∕台)之间满足如图15-5所示的函数关系,该厂生产这种机器后的第一个月按同一售价共卖出这种机器25台,请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润.(注:
利润=售价-成本)
解析:
(1)设y与x的函数解析式为y=kx+b,
根据题意,得
解得
∴y与x之间的函数解析式为y=-
x+65(10≤x≤70);
(2)设该机器的生产数量为x台,
根据题意,得x
=2000,
解得x1=50,x2=80.
∵10≤x≤70,∴x=50.
答:
该机器的生产数量为50台;
(3)设每月销售量z(台)与售价a(万元/台)的关系式为
z=ma+n.则由题知
解得
∴z=-a+90.
当z=25时,a=65.
设该厂第一个月销售这种机器的利润为w万元,
则w=25×
=625(万元).
适应训练
2.(2016·浙江省绍兴市·8分)根据卫生防疫部门要求,游泳池必须定期换水,清洗.某游泳池周五早上8:
00打开排水孔开始排水,排水孔的排水速度保持不变,期间因清洗游泳池需要暂停排水,游泳池的水在11:
30全部排完.游泳池内的水量Q(m2)和开始排水后的时间t(h)之间的函数图象如图所示,根据图象解答下列问题:
(1)暂停排水需要多少时间?
排水孔排水速度是多少?
(2)当2≤t≤3.5时,求Q关于t的函数表达式.
【考点】一次函数的应用.
【分析】
(1)暂停排水时,游泳池内的水量Q保持不变,图象为平行于横轴的一条线段,由此得出暂停排水需要的时间;由图象可知,该游泳池3个小时排水900(m3),根据速度公式求出排水速度即可;
(2)当2≤t≤3.5时,设Q关于t的函数表达式为Q=kt+b,易知图象过点(3.5,0),再求出(2,450)在直线y=kt+b上,然后利用待定系数法求出表达式即可.
【解答】解:
(1)暂停排水需要的时间为:
2﹣1.5=0.5(小时).
∵排水数据为:
3.5﹣0.5=3(小时),一共排水900m3,
∴排水孔排水速度是:
900÷3=300m3/h;
(2)当2≤t≤3.5时,设Q关于t的函数表达式为Q=kt+b,易知图象过点(3.5,0).
∵t=1.5时,排水300×1.5=450,此时Q=900﹣450=450,
∴(2,450)在直线Q=kt+b上;
把(2,450),(3.5,0)代入Q=kt+b,
得
,解得
,
∴Q关于t的函数表达式为Q=﹣300t+1050.
3.(2014·绍兴)已知甲、乙两地相距90km,A,B两人沿同一公路从甲地出发到乙地,A骑摩托车,B骑电动车.图15-6中DE,OC分别表示A,B离开甲地的路程s(km)与时间t(h)的函数关系的图象,根据图象解答下列问题.
(1)A比B晚出发几小时?
B的速度是多少?
(2)在B出发后几小时,两人相遇?
解:
(1)A比B晚出发1h,B的速度是
=20(km/h).
(2)由图知,A的速度是
=45(km/h).设在B出发后xh,
两人相遇,则
20x=45(x-1).
解得x=1.8.
答:
在B出发后1.8h,两人相遇.
课外作业
4.(2016·山东省滨州市·10分)星期天,李玉刚同学随爸爸妈妈会老家探望爷爷奶奶,爸爸8:
30骑自行车先走,平均每小时骑行20km;李玉刚同学和妈妈9:
30乘公交车后行,公交车平均速度是40km/h.爸爸的骑行路线与李玉刚同学和妈妈的乘车路线相同,路程均为40km/h.设爸爸骑行时间为x(h).
(1)请分别写出爸爸的骑行路程y1(km)、李玉刚同学和妈妈的乘车路程y2(km)与x(h)之间的函数解析式,并注明自变量的取值范围;
(2)请在同一个平面直角坐标系中画出
(1)中两个函数的图象;
(3)请回答谁先到达老家.
【考点】一次函数的应用.
【分析】
(1)根据速度乘以时间等于路程,可得函数关系式,
(2)根据描点法,可得函数图象;
(3)根据图象,可得答案.
【解答】解;
(1)由题意,得y1=20x(0≤x≤2)
y2=40(x﹣1)(1≤x≤2);
(2)由题意得;
(3)由图象得到达老家.
【点评】本题考查了一次函数图象,利用描点法是画函数图象的关键.
5.[2015·广安]为了贯彻落实市委市政府提出的“精准扶贫”精神.某校特制定了一系列关于帮扶A,B两贫困村的计划.现决定从某地运送152箱鱼苗到A,B两村养殖,若用大小货车共15辆,则恰好能一次性运完这批鱼苗,已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆,其运往A,B两村的运费如下表:
目的地
车型
A村(元/辆)
B村(元/辆)
大货车
800
900
小货车
400
600
(1)求这15辆车中大小货车各多少辆?
(2)现安排其中10辆货车前往A村,其余货车前往B村,设前往A
村的大货车为x辆,前往A,B两村总费用为y元,试求出y与x
的函数解析式.
(3)在
(2)的条件下,若运往A村的鱼苗不少于100箱,请你写出
使总费用最少的货车调配方案,并求出最少费用.
解:
(1)设大货车用x辆,小货车用y辆,根据题意,
得
解得
∴大货车用8辆,小货车用7辆;
(2)y=800x+900(8-x)+400(10-x)+600[7-(10-x)]
=100x+9400(0≤x≤8,且x为整数);
(3)由题意得12x+8(10-x)≥100,
解得x≥5,
又∵0≤x≤8,
∴5≤x≤8,且x为整数,
∵y=100x+9400,
∴k=100>0,y随x的增大而增大,
∴当x=5时,y最小,
最小值为y=100×5+9400=9900(元).
答:
使总运费最少的调配方案是:
5辆大货车、5辆小货车前往
A村;3辆大货车、2辆小货车前往B村.最少运费为9900元.
6.(2016·浙江省绍兴市·8分)根据卫生防疫部门要求,游泳池必须定期换水,清洗.某游泳池周五早上8:
00打开排水孔开始排水,排水孔的排水速度保持不变,期间因清洗游泳池需要暂停排水,游泳池的水在11:
30全部排完.游泳池内的水量Q(m2)和开始排水后的时间t(h)之间的函数图象如图所示,根据图象解答下列问题:
(1)暂停排水需要多少时间?
排水孔排水速度是多少?
(2)当2≤t≤3.5时,求Q关于t的函数表达式.
【考点】一次函数的应用.
【分析】
(1)暂停排水时,游泳池内的水量Q保持不变,图象为平行于横轴的一条线段,由此得出暂停排水需要的时间;由图象可知,该游泳池3个小时排水900(m3),根据速度公式求出排水速度即可;
(2)当2≤t≤3.5时,设Q关于t的函数表达式为Q=kt+b,易知图象过点(3.5,0),再求出(2,450)在直线y=kt+b上,然后利用待定系数法求出表达式即可.
【解答】解:
(1)暂停排水需要的时间为:
2﹣1.5=0.5(小时).
∵排水数据为:
3.5﹣0.5=3(小时),一共排水900m3,
∴排水孔排水速度是:
900÷3=300m3/h;
(2)当2≤t≤3.5时,设Q关于t的函数表达式为Q=kt+b,易知图象过点(3.5,0).
∵t=1.5时,排水300×1.5=450,此时Q=900﹣450=450,
∴(2,450)在直线Q=kt+b上;
把(2,450),(3.5,0)代入Q=kt+b,
得
,解得
,
∴Q关于t的函数表达式为Q=﹣300t+1050.
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- 11 课时 一次 函数