最新人教版八年级数学上册单元测试《第13章 轴对称》解析版 2.docx
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最新人教版八年级数学上册单元测试《第13章轴对称》解析版2
新人教版八年级数学上册单元测试《第13章轴对称》
一、选择题
1.下列图形中,是轴对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
2.如图所示,是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在( )
A.△ABC的三条中线的交点B.△ABC三边的中垂线的交点
C.△ABC三条角平分线的交点D.△ABC三条高所在直线的交点
3.下列图形中,有且只有三条对称轴的是( )
A.
B.
C.
D.
4.已知点P(2,1),那么点P关于x轴对称的P′的坐标是( )
A.P′(﹣2,﹣1)B.P′(2,﹣1)C.P′(﹣1,2)D.P′(2,1)
5.下列两个三角形中,一定全等的是( )
A.有一个角是40°,腰相等的两个等腰三角形
B.两个等边三角形
C.有一个角是100°,底相等的两个等腰三角形
D.有一条边相等,有一个内角相等的两个等腰三角形
6.如图,△ABC中,AB=AC=10,BC=8,AD平分∠BAC交BC于点D,点E为AC的中点,连接DE,则△CDE的周长为( )
A.20B.12C.14D.13
7.如图,△ABC中,AB=AC,以AB、AC为边在△ABC的外侧作两个等边三角形△ABE和△ACD,且∠EDC=40°,则∠ABC的度数为( )
A.75°B.80°C.70°D.85°
8.在平面直角坐标系xoy中,已知点A(2,﹣2),在y轴上确定点P,使△AOP为等腰三角形,则符合条件的点P有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
9.等腰三角形的一个角是50°,则它一腰上的高与底边的夹角是( )
A.25°B.40°C.25°或40°D.不能确定
10.如图,在等边三角形ABC中,中线AD、BE交于F,则图中共有等腰三角形共有( )
A.3个B.4个C.5个D.6个
11.如图,直角三角形纸片ABC中,AB=3,AC=4,D为斜边BC中点,第1次将纸片折叠,使点A与点D重合,折痕与AD交于点P1;设P1D的中点为D1,第2次将纸片折叠,使点A与点D1重合,折痕与AD交于点P2;设P2D1的中点为D2,第3次将纸片折叠,使点A与点D2重合,折痕与AD交于点P3;…;设Pn﹣1Dn﹣2的中点为Dn﹣1,第n次将纸片折叠,使点A与点Dn﹣1重合,折痕与AD交于点Pn(n>2),则AP6的长为( )
A.
B.
C.
D.
12.如图,等边△ABC中,AB=2,D为△ABC内一点,且DA=DB,E为△ABC外一点,BE=AB且∠EBD=∠CBD,连接DE、CE,则下列结论:
①∠DAC=∠DBC;②BE⊥AC;③∠DEB=30°;④若EC∥AD,则S△EBC=1,其中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题
13.如图,若△ACD的周长为7cm,DE为AB边的垂直平分线,则AC+BC= cm.
14.已知等腰三角形的一个内角是80°,则它的底角是 °.
15.如图,在△ABC中,∠B与∠C的平分线交于点O,过点O作DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E.若AB=5,AC=4,则△ADE的周长是 .
16.如图,AD是△ABC的边BC上的高,由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是 .
①∠BAD=∠ACD;②∠BAD=∠CAD;③AB+BD=AC+CD;④AB﹣BD=AC﹣CD.
17.如图,CD与BE互相垂直平分,AD⊥DB,∠BDE=70°,则∠CAD= °.
三、解答题(78分)
18.已知等腰三角形ABC中,一腰AC上的中线BD将三角形的周长分成9cm和15cm两部分,求这个三角形的腰长和底边的长.
19.如图,在等边△ABC中,线段AM为BC边上的中线.动点D在直线AM上时,以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE,连结BE.
(1)填空:
∠ACB= 度;
(2)当点D在线段AM上(点D不运动到点A)时,试求出
的值.
20.已知:
如图,△ABC中,AB=BC,D是AC的中点,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是E、F.求证:
BE=BF.
21.(2011•常州)已知:
如图,在△ABC中,D为BC上的一点,AD平分∠EDC,且∠E=∠B,DE=DC,求证:
AB=AC.
22.如图,∠ACB=90°,AC=BC,D为△ABC外一点,且AD=BD,DE⊥AC交CA的延长线于E点.求证:
DE=AE+BC.
23.已知:
在△ABC中,∠ACB=90°,点P是线段AC上一点,过点A作AB的垂线,交BP的延长线于点M,MN⊥AC于点N,PQ⊥AB于点Q,AQ=MN.求证:
PC=AN.
24.在平面直角坐标系中,直线l过点M(3,0)且平行于y轴.
(1)如果△ABC三个顶点的坐标分别是A(﹣2,0)、B(﹣1,0)、C(﹣1,2),△ABC关于直线l的对称图形是△A1B1C1,画出△A1B1C1,并求出A1、B1、C1的坐标;
(2)如果点P的坐标是(﹣a,0)其中a>0,点P关于y轴的对称点是点P1,点P1关于直线l的对称点是点P2,求P1P2的长(用含a的代数式表示).
25.如图1,点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点,点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发,且它们的速度都为1cm/s,
(1)连接AQ、CP交于点M,则在P、Q运动的过程中,∠CMQ变化吗?
若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数;
(2)何时△PBQ是直角三角形?
(3)如图2,若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动,直线AQ、CP交点为M,则∠CMQ变化吗?
若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数.
《第13章轴对称》
参考答案与试题解析
一、选择题
1.下列图形中,是轴对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
【考点】轴对称图形.
【分析】根据轴对称图形的定义:
如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴,这时,我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴)对称,进而得出答案.
【解答】解:
A、不是轴对称图形,故A错误;
B、是轴对称图形,故B正确;
C、不是轴对称图形,故C错误;
D、不是轴对称图形,故D错误.
故选:
B.
【点评】本题考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.
2.如图所示,是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在( )
A.△ABC的三条中线的交点B.△ABC三边的中垂线的交点
C.△ABC三条角平分线的交点D.△ABC三条高所在直线的交点
【考点】角平分线的性质.
【专题】应用题.
【分析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等,所以根据角平分线上的点到边的距离相等,可知是△ABC三条角平分线的交点.由此即可确定凉亭位置.
【解答】解:
∵凉亭到草坪三条边的距离相等,
∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点.
故选C.
【点评】本题主要考查的是角的平分线的性质在实际生活中的应用.主要利用了到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
3.下列图形中,有且只有三条对称轴的是( )
A.
B.
C.
D.
【考点】轴对称图形.
【分析】首先确定轴对称图形,再根据对称轴的概念,确定对称轴的条数.
【解答】解:
A、不是轴对称图形;
B、有2条对称轴;
C、有3条对称轴;
D、有4条对称轴.
故选C.
【点评】掌握好轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.能够熟练说出轴对称图形的对称轴条数.
4.已知点P(2,1),那么点P关于x轴对称的P′的坐标是( )
A.P′(﹣2,﹣1)B.P′(2,﹣1)C.P′(﹣1,2)D.P′(2,1)
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标.
【分析】根据“关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数”解答.
【解答】解:
∵点P(2,1),
∴点P关于x轴对称的P′的坐标是(2,﹣1).
故选B.
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称点的坐标,解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律:
(1)关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数;
(2)关于y轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数;
(3)关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数.
5.下列两个三角形中,一定全等的是( )
A.有一个角是40°,腰相等的两个等腰三角形
B.两个等边三角形
C.有一个角是100°,底相等的两个等腰三角形
D.有一条边相等,有一个内角相等的两个等腰三角形
【考点】全等三角形的判定;等腰三角形的性质.
【分析】根据全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质对各个选项进行分析,从而得到答案.
【解答】解:
A、不正确,没有指明该角是顶角还是底角;
B、不正确,虽然其角相等,但边不一定相等;
C、正确,分析得该100度角只能为顶角,符合判定SAS;
D、不正确,没有指明边与角具体是腰还是底边,是顶角还是底角.
故选C.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;给定等腰三角形的一角是锐角时,应分情况讨论,AAA不能判定两个三角形全等.
6.如图,△ABC中,AB=AC=10,BC=8,AD平分∠BAC交BC于点D,点E为AC的中点,连接DE,则△CDE的周长为( )
A.20B.12C.14D.13
【考点】直角三角形斜边上的中线;等腰三角形的性质.
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC,CD=BD,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=CE=
AC,然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解.
【解答】解:
∵AB=AC,AD平分∠BAC,BC=8,
∴AD⊥BC,CD=BD=
BC=4,
∵点E为AC的中点,
∴DE=CE=
AC=5,
∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14.
故选:
C.
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,等腰三角形三线合一的性质,熟记性质并准确识图是解题的关键.
7.如图,△ABC中,AB=AC,以AB、AC为边在△ABC的外侧作两个等边三角形△ABE和△ACD,且∠EDC=40°,则∠ABC的度数为( )
A.75°B.80°C.70°D.85°
【考点】等边三角形的性质;等腰三角形的性质.
【分析】首先利用等边三角形的性质以及等腰三角形的性质得出各角度数,进而利用四边形内角和定理得出即可.
【解答】解:
∵AB=AC,以AB、AC为边在△ABC的外侧作两个等边三角形△ABE和△ACD,
∴∠ABC=∠ACB,AE=AD,∠AEB=∠ADC=60°,∠3=∠4=60°,
∵∠EDC=40°
∴∠1=∠2=40°,
∴∠1+∠2+∠3+∠4+2∠ABC=360°,
∴2∠ABC=360°﹣40°﹣40°﹣60°﹣60°=160°,
∴∠ABC的度数为80°.
故选:
B.
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质和四边形内角和定理等知识,根据已知得出∠1=∠2=40°是解题关键.
8.在平面直角坐标系xoy中,已知点A(2,﹣2),在y轴上确定点P,使△AOP为等腰三角形,则符合条件的点P有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【考点】等腰三角形的判定;坐标与图形性质.
【分析】如果OA为等腰三角形的腰,有两种可能,以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点,以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点;如果OA为等腰三角形的底,只有一种可能,作线段OA的垂直平分线,与y轴有一个交点;符合条件的点一共4个.
【解答】解:
分二种情况进行讨论:
当OA为等腰三角形的腰时,以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点,以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点;
当OA为等腰三角形的底时,作线段OA的垂直平分线,与y轴有一个交点.
∴符合条件的点一共4个.
故选D.
【点评】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质;针对线段OA在等腰三角形中的地位,分类讨论用画圆弧的方式,找与y轴的交点,比较形象易懂.
9.等腰三角形的一个角是50°,则它一腰上的高与底边的夹角是( )
A.25°B.40°C.25°或40°D.不能确定
【考点】等腰三角形的性质;三角形内角和定理.
【专题】计算题.
【分析】题中没有指明该角是顶角还是底角,则应该分情况进行分析,从而得到答案.
【解答】解:
当底角是50°时,则它一腰上的高与底边的夹角是90°﹣50°=40°;
当顶角是50°时,则它的底角就是
(180°﹣50°)=65°则它一腰上的高与底边的夹角是90°﹣65°=25°;
故选C.
【点评】此题主要考查了学生的三角形的内角和定理:
三角形的内角和为180°
10.如图,在等边三角形ABC中,中线AD、BE交于F,则图中共有等腰三角形共有( )
A.3个B.4个C.5个D.6个
【考点】等边三角形的性质;等腰三角形的判定.
【分析】利用等边三角形三线关系以及等边三角形的性质得出即可.
【解答】解:
∵在等边三角形ABC中,中线AD、BE交于F,
∴AD⊥BC,BE⊥AC,∠ABE=∠CBE=∠BAD=∠CAD=30°,DE为△ABC中位线,
∴DE∥AB,
∴∠BED=∠ADE=30°,∠EDC=60°,
∴∠BAF=∠FBA=30°,∠FDE=∠FED=30°,∠EAD=∠ADE=30°,∠DBE=∠DEB=30°,
∴△FAB,△FDE,△ADE,△BDE是等腰三角形,
∵∠EDC=∠C=60°,
∴△ABC,△DCE是等边三角形,
则图中共有等腰三角形共有6个.
故选:
D.
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质,根据已知得出各角度数是解题关键.
11.如图,直角三角形纸片ABC中,AB=3,AC=4,D为斜边BC中点,第1次将纸片折叠,使点A与点D重合,折痕与AD交于点P1;设P1D的中点为D1,第2次将纸片折叠,使点A与点D1重合,折痕与AD交于点P2;设P2D1的中点为D2,第3次将纸片折叠,使点A与点D2重合,折痕与AD交于点P3;…;设Pn﹣1Dn﹣2的中点为Dn﹣1,第n次将纸片折叠,使点A与点Dn﹣1重合,折痕与AD交于点Pn(n>2),则AP6的长为( )
A.
B.
C.
D.
【考点】翻折变换(折叠问题).
【专题】压轴题;规律型.
【分析】先写出AD、AD1、AD2、AD3的长度,然后可发现规律推出ADn的表达式,继而根据APn=
ADn即可得出APn的表达式,也可得出AP6的长.
【解答】解:
由题意得,AD=
BC=
,AD1=AD﹣DD1=
,AD2=
,AD3=
,…,ADn=
,
又AP1=
AD1,AP2=
AD2…,∴APn=
ADn,
故AP1=
,AP2=
,AP3=
…APn=
,
故可得AP6=
.
故选:
A.
【点评】此题考查了翻折变换的知识,解答本题关键是写出前面几个有关线段长度的表达式,从而得出一般规律,注意培养自己的归纳总结能力.
12.如图,等边△ABC中,AB=2,D为△ABC内一点,且DA=DB,E为△ABC外一点,BE=AB且∠EBD=∠CBD,连接DE、CE,则下列结论:
①∠DAC=∠DBC;②BE⊥AC;③∠DEB=30°;④若EC∥AD,则S△EBC=1,其中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.
【分析】连接DC,证△ACD≌△BCD得出①∠DAC=∠DBC;再证△BED≌△BCD,得出∠BED=∠BCD=30°;其它两个条件运用假设成立推出答案即可.
【解答】证明:
连接DC,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC,∠ACB=60,
∵DB=DA,DC=DC,
∴△ACD≌△BCD(SSS),
∴∠BCD=∠ACD=
∠ACB=30°,
∵BE=AB,
∴BE=BC,
∵∠DBE=∠DBC,BD=BD,
∴△BED≌△BCD(SAS),
∴∠BED=∠BCD=30°.
由此得出①③正确.
∵EC∥AD,
∴∠DAC=∠ECA,
∵∠DBE=∠DBC,∠DAC=∠DBC,
∴设∠ECA=∠DBC=∠DBE=∠1,
∵BE=BA,
∴BE=BC,
∴∠BCE=∠BEC=60°+∠1,
在△BCE中三角和为180°,
∴2∠1+2(60°+∠1)=180°
∴∠1=15°,
∴∠CBE=30,这时BE是AC边上的中垂线,结论②才正确.
BE边上的高位
BC=1,
∴S△EBC=1,结论④是正确的.
故正确的选项有三个.
故选:
C.
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用,全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,全等三角形的对应角相等,对应边相等.
二、填空题
13.如图,若△ACD的周长为7cm,DE为AB边的垂直平分线,则AC+BC= cm.
【考点】线段垂直平分线的性质.
【分析】由已知条件,根据垂直平分线的性质得到AD=BD,进行等量代换后可得答案.
【解答】解:
∵DE为AB边的垂直平分线
∴DA=DB
∵△ACD的周长为7cm
∴AD+AC+CD=AC+BC=7.
故填7.
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识;利用垂直平分线的性质后进行线段的等量代换是正确解答本题的关键.
14.已知等腰三角形的一个内角是80°,则它的底角是 °.
【考点】等腰三角形的性质.
【专题】压轴题;分类讨论.
【分析】由于不明确80°的角是等腰三角形的底角还是顶角,故应分80°的角是顶角和底角两种情况讨论.
【解答】解:
分两种情况:
①当80°的角为等腰三角形的顶角时,
底角的度数=(180°﹣80°)÷2=50°;
②当80°的角为等腰三角形的底角时,其底角为80°,
故它的底角度数是50或80.
故答案为50或80.
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理;解答此题时要注意80°的角是顶角和底角两种情况,不要漏解,分类讨论是正确解答本题的关键.
15.如图,在△ABC中,∠B与∠C的平分线交于点O,过点O作DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E.若AB=5,AC=4,则△ADE的周长是 .
【考点】等腰三角形的判定与性质;平行线的性质.
【专题】压轴题.
【分析】由在△ABC中,∠B与∠C的平分线交于点O,过点O作DE∥BC,易证得△DOB与△EOC是等腰三角形,即DO=DB,EO=EC,继而可得△ADE的周长等于AB+AC,即可求得答案.
【解答】解:
∵在△ABC中,∠B与∠C的平分线交于点O,
∴∠DBO=∠CBO,∠ECO=∠BCO,
∵DE∥BC,
∴∠DOB=∠CBO,∠EOC=∠BCO,
∴∠DBO=∠DOB,∠ECO=∠EOC,
∴OD=BD,OE=CE,
∵AB=5,AC=4,
∴△ADE的周长为:
AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9.
故答案为:
9.
【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义以及平行线的性质.此题难度适中,注意证得△DOB与△EOC是等腰三角形是解此题的关键,注意掌握数形结合思想与转化思想的应用.
16.如图,AD是△ABC的边BC上的高,由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是 .
①∠BAD=∠ACD;②∠BAD=∠CAD;③AB+BD=AC+CD;④AB﹣BD=AC﹣CD.
【考点】等腰三角形的判定与性质.
【专题】压轴题.
【分析】可根据等腰三角形三线合一的性质来判断①②是否正确;③④要通过作等腰三角形来判断其结论是否成立.
【解答】解:
应添加的条件是②③④;
证明:
②当∠BAD=∠CAD时,
∵AD是∠BAC的平分线,且AD是BC边上的高;
则△ABD≌△ACD,
∴△BAC是等腰三角形;
③延长DB至E,使BE=AB;延长DC至F,使CF=AC;连接AE、AF;
∵AB+BD=CD+AC,
∴DE=DF,又AD⊥BC;
∴△AEF是等腰三角形;
∴∠E=∠F;
∵AB=BE,
∴∠ABC=2∠E;
同理,得∠ACB=2∠F;
∴∠ABC=∠ACB,即AB=AC,△ABC是等腰三角形;
④△ABC中,AD⊥BC,根据勾股定理,得:
AB2﹣BD2=AC2﹣CD2,
即(AB+BD)(AB﹣BD)=(AC+CD)(AC﹣CD);
∵AB﹣BD=AC﹣CD①,
∴AB+BD=AC+CD②;
∴①+②得:
,
2AB=2AC;
∴AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形
故答案为:
②③④.
【点评】此题主要考查的是等腰三角形的判定和性质;本题的难点是结论③的证明,能够正确的构建出等腰三角形是解答③题的关键.
17.如图,CD与BE互相垂直平分,AD⊥DB,∠BDE=70°,则∠CAD= °.
【考点】轴对称的性质;平行线的判定与性质.
【专题】常规题型.
【分析】先证明四边形BDEC是菱形,然后求出∠ABD的度数,再利用三角形内角和等于180°求出∠BAD的度数,然后根据轴对称性可得∠BAC=∠BAD,然后求解即可.
【解答】解:
∵CD与BE互相垂直平分,
∴四边形BDEC是菱形,
∴DB=DE,
∵∠BDE=70°,
∴∠ABD=
=55°,
∵AD⊥DB,
∴∠BAD=90°﹣55°=35°,
根据轴对称性,四边形ACBD关于直线AB成轴对称,
∴∠BAC=∠BAD=35°,
∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=35°+35°=70°.
故答案为:
70.
【点评】本题考查了轴对称的性质,三角形的内角和定理,判断出四边形BDEC是菱形并得到该图象关于直线AB成轴对称是解题的关键.
三、解答题(78分)
18.已知等腰三角形ABC中,一腰AC上的中线BD将三角形的周长分成9cm和15cm两部分,求这个三角形的腰长和底边的长.
【考点】三角形三边关系.
【专题】分类讨论.
【分析】分腰长与腰长的一半是9cm和15cm两种情况,求出腰长,再求出底边,然后利用三角形的任意两边之和大于第三边进行判断即可.
【解答】解:
设腰长为xcm,
①腰长与腰长的一半是9cm时,x+
x=9,
解得x=6,
所以,底边=15﹣
×6=12,
∵6+6=12,
∴6cm、6cm、12cm不能组成三角形;
②腰长与腰长的一半是15cm时,x+
x=15,
解得x=10,
所以,底边=9﹣
×10=4,
所以,三角形的三边为10cm、10cm、4cm,能组成三角形,
综上所述,三角形的腰长为10cm,底边为4cm.
【点评】本题考查了三角形的三边关系,等腰三角形的性质,难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判定是否能组成三角形.
19.如图,在等边△
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- 第13章 轴对称 最新人教版八年级数学上册单元测试第13章 轴对称解析版 新人 八年 级数 上册 单元测试 13 轴对称 解析