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面积专题
48.求三角形ABC的面积
在△ABC中,AD是AC的四分之一,AE是AB的五分之二。
若S△AED=2平方厘米,求△ABC的面积。
分析与解连结EC。
∵AC=4AD
∴S△AEC=4×S△AED
=4×2
=8(平方厘米)
在△ABC与△AEC中
∵S△AEC=S△ABC
∴S△ABC=S△AEC÷2×5
=8÷2×5
=20(平方厘米)
锐角三角形ABC,A为顶点,B左C右,P为其内偏上一点,过P点作3条线段MN、IJ、EF分别平行于三角形的三边,其中MN交AB于M、交AC于N,EF交AC于E、BC于F,IJ交AB于I、BC于J。
把三角形ABC分为三个三角形和三个平行四边形,且三角形IMP面积为9,平行四边形BFPM面积为42、CNPJ面积为70,求三角形ABC面积。
解:
设P到AB的高为x
则S(MIP)=1/2*x*IM=9
S(BFPM)=x*BM=42
所以IM*x=18
BM*x=42
所以IM/BM=18/42=3/7
设P到AC的高为y
则S(BFPM)=y*MP=42
S(CNPJ)=y*PN=70
所以MP/PN=42/70=3/5
所以MI/IA=MP/PN=3/5
所以AB/IM
=(BM+IM+IA)/IM
=7/3+1+5/3
=5
因为三角形PIM与CAB相似,相似比为5
所以S(ABC)=5^2*S(PIM)=25*9=225
三角形abc中,角a=52度,o为ab,ac的垂直平分线的交点.那么角ocb=_________?
应该是38度.
连结OA,OB.
因为AC垂直平分线过点O,所以OA=OC
同理,OB=OA,OB=OC即OA=OB=OC
所以∠OAC=∠OCA∠OBC=∠OCB∠OAB=∠OBA
设∠OAC=a∠OAC=∠OCA=a∠OAB=∠OBA=52-a
所以再根据三角形内角和定理:
52+a+52-a+∠OBC+∠OCB=180
2∠OCB=76
∠OCB=38
(说明一下,因为o为ab,ac的垂直平分线的交点,所以O是三角形外心,所以O过BC中垂线)
1、在三角形ABC中,角BAC=120度,P是三角形ABC内任一点,求PA+PB+PC与AB+AC的关系
如图,延长BA到D,使得AD=AC因为∠DAC=60º,所以ΔADC是等边三角形。
AB+AC=BD
逆时针旋转PA60º,得到ΔAEP,即ΔAEP为等边三角形,∠CAP=∠DAEAD=ACAP=AE
所以ΔAPC=ΔAED得PC=EDAP+PC=AE+ED≥PD
所以PA+PB+PC=AE+ED+PB≥PD+PB≥BD=AB+AC
附证O是锐角三角形ABC内一点,角AOB=角BOC=角COA=120度,求证:
AB+AC大于等于OA+OB+OC
如图,O是三角形ABC内一点,且∠BOC=∠BOA=∠COA=120º,我们证明AB+AC≥BO+OC+AO
延长BO到E,使得ΔOEC为等边三角形,即OE=OC继续延长OE到F,使得EF=AO
则AO+BO+CO=BF
∠FEC=∠AOC=120ºFE=AOEC=OC所以ΔFEC和ΔAOC全等
即AC=FC∠ACO=∠FCE,所以∠ACF=60º,即三角形ACF为全等三角形AF=AC
所以AB+AC≥BF=AO+BO+CO
2、O是锐角三角形ABC内一点,角AOB=角BOC=角COA=120度,P是三角形ABC内任一点,求证:
PA+PB+PC大于等于OA+OB+OC
如图,延长BO到EF,使得OE=OCEF=OA,连接CE、CF
得到ΔOEC为全等三角形,则OC=EC,
再有AO=FE,∠AOC=∠FEC=120º
得ΔAOC≌ΔFEC
可得AC=FC,∠FCE=∠ACO则∠FCA=60º
作FD=AP,并使∠CFD=∠CAP,连接CD、PD
则ΔCFD≌ΔCAP得CD=CP,∠FCD=∠ACP,则∠DCP=60ºΔDCP为全等三角形
所以CP=PD
看图可知BP+PD+FD≥BF=BO+AO+CO
得证。
3、已知三角形的一边是另一边的两倍,求证:
它的最小边在它的周长的1/6与1/4之间
答:
设这两条边为别为1、2,另一边为x,则周长为1+2+x根据三角形三边的关系,得1 所以最小边为1,1/(1+2+x)显然要比1/4小,比1/6大 4、在三角形ABC中,角C大于角B,求证: 角平分线BT大于角平分线CP 如图,作OE、OF使得BP=BE、CF=CT 因为BO、CO分别为角平分线,所以∠BOE=∠POB=∠TOC=∠COP=∠3 ∠3=∠1+∠2 作OG=OE、OH=OF则ΔOEG、ΔOHF均为等腰三角形 ∠OFE=∠3+∠2 ∠OEF=∠1+∠3<∠OFE所以OE>OF则EG>FH 在EG上截取GM=FH,作MN,使得∠GMN=∠HFC则∠GNE=∠2 所以ΔGMN≌ΔHFC则GN=HC 所以有BO+OT=BO+OF=BN+NG+GO+OH CO+OP=CO+OE=CH+OH+OG=NG+GO+OH 所以有BO+OT=BT>CO+OP=CP 5、在三角形ABC中,求证: 三个内角平分线的乘积小于三条边的乘积 设三条边长a、b、c,三条角平分线长m、n、l 如图,作AK,使得AC=EC=b,则CK∥AB 则有DK/AD=KC/AB=b/c DK=mb/c则AK=DK+AD=(b+c)m/c 同理可得(a+b)n/b<2a (c+a)l/a<2c 则(a+b)(b+c)(c+a)mnl<8a2b2c2 a+b≥2 b+c≥2 c+a≥2 所以(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc即mnl 得证 已知a,b,c为三角形ABC的三边,且方程(b-x)的平方-4(a-x)(c-x)=0有两个相等的实数根,试判断三角形ABC的形状 在三角形ABC中,AB=AC=1,点D.E在直线上运动,设BD=X,CE=Y。 如果角BAC=30度,角DAE=105度,试确定Y与X之间的函数关系式 在三角形ABC中,点D.E分别在边AB,AC上,给出5个论断: 1: CD垂直AB,2: BE垂直AC,3: AE=CE,4: 角ABE=30度,5: CD=BE. 从论断1234中选择三个作为条件,将论断5做为结论,组成一个真命题. (各位数学高手们请在今晚做出打案,求你们了)[/QUOTE] /yiw已知点D.E分别是三角形ABC中AB.AC上的两点,AE=CE.BE垂直AC.角ABE=30度.求证: CD等于BE 证明: 因为BE垂直AC 角ABE=30渡 所以角EAB=60度 因为AE=CE 所以三角形ABC是等边三角形 所以CD=BE 已知三角形ABC的三条中线交于点O,且BO=10,AO=8,CO=6。 求三角形ABC的面积 简解: 延长BO交AC为D,再延长到E,使ED=OD,连结CE,则△AOD≌△CED,则有CE=AO=8,又因为EO=2DO=BO=10,CO=6,由62+82=102得△COE是直角三角形。 所以S△COE=6*8/2=24,而S△ACO=S△COE,所以S△ABC=3S△ACO=3*24=72 在三角形abc中,过bc边上的一点d将角a分成角1与角2且角1=角2,角abc=2倍角c,求证: ab+bd=ac 分析: 出现线段和差关系有二种办法: ①把短二和线段相接②在长线传上截取一段等于短线段,证余下的等于另一段。 略证一: 延长AB到E,使得BD=BE连接DE。 ∵∠1=∠2,又∵∠ABC=∠E+∠BDE,∠E=∠BDE∠E=1/2∠ABC=∠C,AD=AD∴△AED≌△ACD∴AC=AE=AB+BE=AB+BD(图一)略证二: 在AC上取AF=AB,易证△ABD≌△AFD,∴DF=BD∴∠3=∠B,又∠3=∠4+∠C,∠B=2∠C,∴∠4=∠C,∴CF=DF,∴AC=AF+FC=AF+DF=AB=BD(图二) 已知a.b.c.为三角形ABC的三边的长 正三角形ABC内接与⊙O,P是劣弧BC上任意一点,PA与BC交于E: ①PA=PB+PC ②1÷PA=1÷PB+1÷PC ③PA·PE=PB·PC 正确的有那些? (1).(3) 1: 在PA上取D使PD=PB 下证ABD≌BPC →AD=PC 3: 证ABP∽PCE 由 13知2不对.把PB·PC换为PA·PE 20、(8分)如图①分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1、S2、S3表示,则不难看出S1=S2+S3. (1)如图②,分别以Rt△ABC三边为边长向外作三个正方形,其面积分别用S1、S2、S3表示.那么S1、S2、S3之间的关系为____________. (2)如图③分别以Rt△ABC三边为边长向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以说明. (3)若分别以Rt△ABC三边为边长向外作三个一般三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,为使S1、S2、S3之间仍具有与 (2)相同的关系,所作三角形应满足什么条件? 说明你的结论. 答案: (1)S1=S2+S3 (2)S1=S2+S3 证: 设AB=c,AC=b,BC=a,则a2+b2=c2 ∵ ∴ (3)设AB、AC、BC边上的高分别为h1、h2、h3,S1=S2+S3 当 时, 理由: 22、(16分)如图在平面直角坐标系xoy中,正方形OABC的边长为2厘米,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上.抛物线y=ax2+bx+c经过点A和点B,且12a+5c=0. (1)求抛物线的解析式; (2)如果点P由点A开始沿AB边以2厘米/秒的速度向点B移动,同时点Q由B点开始沿BC边以1厘米/秒的速度向点C移动.若P、Q中有一点到达终点,则另一点也停止运动,设P、Q两点移动的时间为t秒,S=PQ2(厘米2) 写出S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围,当t为何值时,S最小; (3)当s取最小值时,在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在,求出点R的坐标;如果不存在,请说明理由. (4)在(3)的条件下,连结OR,在y轴上是否存在点M,使得△ORM为等腰三角形? 若存在,请直接写出点M的坐标. 答案: (1) (2)S=PQ2=5t2-8t+4(0≤t≤1),当 时,S最小 (3)若以BQ为一条对角线,四边形PBRQ为平行四边形, 时, ,在 中, 当 时, . ∴R在抛物线上. 若PB为对角线,当 时, 在 中,当 时, , ∴ 不在抛物线上, 综上可知,抛物线上存在 使以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形. (4) ,N4(0,-3). 等边三角形ABC中,P是内部一点,PE//BC,PF//AC,PD//AB.试说明: PD+PE+PF=AB. 思路: 延长FP交AB于G,通过平行容易证明PEG、BFG是等边三角形。 然后很容易证明PE=EG,PF=BE,PD=AG PD+PE+PF=AG+EG+BE=AB. 延长FP、EP、DP、FE分别交BC、AB、AC于M、G、N PE//BC,PF//AC,PD//AB. ∴PD=1/2BFPE=1/2DCPF=1/2AE∠B=∠FGP=60° AG*AC=AE*AB ∴PD+PE+PF=1/2(BF+DC+AE) ∵三角形ABC是等边三角形 ∴∠B=∠FGP=60°AC=BC=AB ∴AG=AE ∴BG=EC 同理: ∠FPG=∠FMB=∠C=60°FP=BD ∴三角形FPG是等边三角形 ∴GF=FP 又∵BF=BG+GF ∴PD+PE+PF=1/2(BG+GF+AE+DC) ∴PD+PE+PF=1/2(EC+BD+AE+DC) ∴PD+PE+PF=1/2(AC+BC) ∴PD+PE+PF=1/2(2AB) ∴PD+PE+PF=AB
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