行列式经典例题.docx

行列式经典例题.docx

《行列式经典例题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《行列式经典例题.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

行列式经典例题

线性代数

大学-----行列式经典例题

例1计算元素为a

ij=|i－j|的n阶行列式.

解方法1由题设知，

a=0，a121，,a1nn1,，故

11

01n101n1

D

n

10n2

rr

ii

1

in,n1,,2

111

n1n20111

n1nn1

cc

jn

j1,,n1

021

n1n2

（1）2（n1）

02

0001

其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n列．

01n1111

方法2

D

n

10n2

rr

ii

1

i1,2,,n1

111

n1n20n1n20

100

cc

j1

j2,,n

120

=

nnn

12

（1）2

（1）

n12n3n1

例2.设a,b,c是互异的实数,证明:

的充要条件是a+b+c=0.

证明:

考察范德蒙行列式:

内部资料个人复习资料

线性代数

=

行列式即为y

2前的系数.于是

=

所以的充要条件是a+b+c=0.

x100

例3计算D

n=

0x10

aaaxa

nn1n21

解：

方法1递推法按第1列展开，有

1

x1

n1

Dn=xDn1+（－1）=xDn1+an

an

x1

x1

n1

由于D1=x+a1，D2

x1

axa

21

，于是D

n=xDn1+an=x（xDn2+an1）+an=x

2D

n+

2

an1x+an==x

n1D1+an2++a

2xn1D1+an2++a

nx+an=

1

nn1

xaxaxa

1n1n

方法2第2列的x倍，第3列的x

2倍，，第n列的xn1倍分别加到第1列上

0100

cxc

12

2

xx

10

D

n

00x0

axaaaxa

nn1n1n21

内部资料个人复习资料

线性代数

01000

2

cxc

13

0x100

3

x

0x10

2

axaxaaaaxa

nn1n2n1n2n31

01

x

1

1

按展开

r

n

（1）n1f

n1f

1

x

1

==x

=

fx

x1

n1

nn1

xaxaxa

1n1n

方法3利用性质，将行列式化为上三角行列式．

Dn

1

cc

21

x

1

cc

32

x

x000

0x00

00x0

1

cc

nn

x

1

aaa

nn1n

aaak

nnnn

122

xxx

按c展开

n

x

n1k

n=x

n（

1

a

n

n

x

1

+

a

x

n

n

1

2

++

a2

x

+a1+x）

=

n1n

aaxaxx

nn11

1000

按r展开

n

n

（1）

1

a

n

x100

D方法4

+n

00x1

x000x100

n

（1）

2

a

n

1

0100

++

21

na

（1）

2

0x00

00x10001

x100

+

（1）（）

2nax

1

0x00

000x

n1n1n2n2

（－1）（－1）

=（－1）an+（－1）an1x

内部资料个人复习资料

线性代数

++（－1）

2n（－1）a

1

2x

n2+（－1）2n（a1+x）x

1+x）x

n1

=

n1n

aaxaxx

nn11

例4．计算n阶行列式：

abaa

112n

D

n

aaba

122n

（

b1b2bn0）

aaab

12nn

解采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素

aaa，可在保持

1,2,,n

原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化

简后出现大量的零元素．

1

aaa

12n

1

aaa

12n

升阶

0

abaa

112n

rr

21

rr

31

1b00

1

D0aaba

n122n

rr

n11

10b0

2

0

aaab

12nn

100

b

n

1

cc

1

j

b

j1

j2,,n1

1

aa

11

bb

11

0b00

1

00b0

2

aaa

12n

=

bbb

12n

aa

1n

（1）

bb

1n

000

b

n

这个题的特殊情形是

axaa

12n

D

n

aaxa

12n

=

n

n1

x（xa）

i

i1

aaax

12n

可作为公式记下来．

例5．计算n阶“三对角”行列式

000

100

Dn=

0100

＋

0001

内部资料个人复习资料

线性代数

解方法1递推法．

0000

Dn

按c展开

1

（）Dn1—

100

0001

（n1）

按r展开

1

（）Dn1－Dn2

即有递推关系式D

n=（）Dn1－Dn2（n3）

故

DD＝（Dn1Dn2）

nn1

递推得到

DD＝（Dn1Dn2）＝

nn1

2

（DnDn）

23

＝＝

（）

n2DD

21

而

D1（），D2＝

α

+

1

β

αβ

＝

αβ

+

22

，代入得1

DD

nn

n

n

DD（2.1）

nn1

由递推公式得

n

DD＝

nn1

n1n

（D）

n2

＝α

2D

n＋

2

n1n

＝

nn1n1n

＝＋＋

＋＝

n

β

（n

1n

－α

β－α

n

1）α

1

1

，当

，当

αβ时

α＝β时

方法2把Dn按第1列拆成2个n阶行列式

Dn=

000

100

0100

＋＋

000

100

0100

0001

000

0001

上式右端第一个行列式等于αD

n，而第二个行列式

1

内部资料个人复习资料

线性代数

000

100

0100

cac

ii

1

i2,,n

0000

1000

0100

n

=β

000

0001

0001

于是得递推公式

n

DD，已与（2.1）式相同．

nn1

方法3在方法1中得递推公式

Dn=（）Dn1－Dn2

22

又因为当时D1==

33

D=

21

2

（）=

22

=

0

D3=

1

=

3

（）-2（）

01

44

=（）

22

（）=

n1n1

于是猜想

D，下面用数学归纳法证明．

n

当n=1时，等式成立，假设当nk时成立．

当n=k+1是，由递推公式得

Dk1=（）Dk－Dk1

k1k1kkk2k2

=（）

—=

所以对于nN，等式都成立

例6．计算n阶行列式：

1a11

1

D

n

11a1

2

111

a

n

内部资料个人复习资料

线性代数

其中

a1a2an0．

解这道题有多种解法．

方法1化为上三角行列式

D

n

rr

i1

i2,,n

1a11

1

aa

12

a

cc

1

1j

a

j

j2,,n

b

0

11

a

2

aa

1n

0an

其中

b1aa

11

n

1

a

i2i

a

1

1

n

1

a

ii

1

，于是

D

n

aaa

12n

1

n

1

a

i1i

．

方法2升阶（或加边）法

11111111

01a11

1

升阶rr1

i

1a00

1

D011a1

n2

i2,3,,n1

10a0

2

0111

a

n

100an

n

1

1111

i1j

1

acc

1j1

an

a1j

1

aaa1

12n

j1,2,,n1aa

ii

1

2

a

n

方法3递推法．将

D改写为

n

1a110

1

D

n

11a10

2

111

a

n

1a11

1

1a10

1

按c拆开

n

11a1

2

+

11a0

2

11111an

1a11

1

a

1

由于

11a1

2

rr

in

i1,,n1

a

2

aaa

12n1

111111

内部资料个人复习资料

线性代数

1a10

1

11a0

2

按c展开

n

aD

nn

1

11an

因此

D=anDn1a1a2an1为递推公式，而D11a1，于是

n

D=anDn1a1a2an1=a1a2an

n

D

1

n

1

aaaa

12n1n

=a1a2an

D

11

n

2

aaaaa

12n2n1n

=

=a1a2an

D

11

1

aaa

12n

=a1a2an

1

111

aaa

12n

内部资料个人复习资料