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圆的切线的证明方法
圆的切线的证明方法
天津四中杨建成
平面内直线和圆存在着三种位置关系,即直线和圆相离、直线和圆相切、直线和圆相交,这三种位置关系中最重要的是直线和圆相切。
那么怎样证明直线和圆相切呢?
证明直线是圆的切线大体上有三种方法:
⑴和圆只有一个公共点的直线是圆的切线;
⑵到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;
⑶经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
其中⑴是切线的定义,它是从直线与圆的交点的角度来判断直线和圆的位置关系;⑵是从圆心到直线的距离d与圆的半径r的数量关系的角度来判断;⑶是根据切线的判定定理进行判断。
⑵和⑶都是由⑴推演出来的。
在几何证明中,常用的是最后一种方法,具体的证法有两种:
①当直线与圆有一个公共点时,把圆心和这个公共点连结起来,证明直线垂直于这条半径,简称为“连半径,证垂直”;②当直线和圆的公共点没有明确时,可过圆心作直线的垂线,再证圆心到直线的距离等于半径,简称为“作垂直,证半径”。
例1.如图,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC平行于弦AD,求证CD是⊙O的切线。
[分析]:
因直线CD与⊙O有公共点D,故应采用“连半径,证垂直”的方法。
[证明]:
连结OD
∵OC∥AD∴∠COB=∠DAO,∠COD=∠ADO
∵OA=OD∴∠DAO=∠ADO
∴∠COB=∠COD
在△DOC和△BOC中
∵OD=OB,∠COD=∠COB
OC=OC
∴△DOC≌△BOC
∴∠CDO=∠CBO
∵AB是⊙O的直径,BC是切线
∴∠CBO=90°
∴∠CDO=90°
∵OD是⊙O的半径
∴CD是⊙O的切线
例2.如图,已知两个同心圆O中,大圆的弦AB、CD相等,且AB与小圆相切于点E,求证:
CD是小圆的切线。
[分析]:
因直线CD与⊙O无公共点,故应采用“作垂直,证半径”的方法。
[证明]:
连结OE,过O点作OF⊥CD于F
∵AB与小圆相切于点E
∴OE⊥AB∴AE=BE,CF=DF
∵AB=CD∴AE=CF
在Rt△AEO和Rt△CFO中
∵OA=OC,AE=CF
∴Rt△AEO≌Rt△CFO
∴OE=OF
∴CD是小圆的切线
例3.如图,已知在△ABC中,CD是AB上的高,且CD=1/2AB,E、F分别是AC、BC的中点,求证:
以EF为直径的⊙O与AB相切。
[分析]:
因直线AB与⊙O无公共点,故应采用“作垂直,证半径”的方法。
[证明]:
过O点作OH⊥AB于H
∵E、F分别为AC、BC的中点
∴EF∥AB,且EF=1/2AB
∴G点为CD的中点,OH=GD=1/2CD
∵CD=1/2AB∴EF=CD
∴OH=1/2EF
∴AB为⊙O的切线
例4.如图,已知AB是⊙O的直径,线段AF与⊙O相切于点A,D是AF的中点,BF交⊙O于E点,过B点的切线与DE的延长线交于C点,求证:
CD与⊙O相切。
[分析]:
因直线CD与⊙O有公共点E,故应采用“连半径,证垂直”的方法。
[证法一]:
如图4-1,连结OE、AE
∵AB是⊙O的直径
∴AE⊥BF
∵D是AF的中点
∴DA=DF=DE
∴∠DEA=∠DAE
∵OA=OE∴∠OAE=∠OEA
∵AB是⊙O的直径,AF是⊙O的切线
∴∠DAE+∠OAE=90°
∴∠DEA+∠OEA=90°
∵OE是⊙O的半径
∴CD与⊙O相切于E
[证法二]:
如图4-2,连结OE、AE、OD
∵AB是⊙O的直径
∴AE⊥BF
∵D是AF的中点
∴DA=DE=1/2AF
在△OED和△OAD中
∵DE=DA,OD=OD,OE=OA
∴在△OED≌△OAD
∴∠OED=∠OAD
∵AB是⊙O的直径,AF是⊙O的切线∴∠OAD=90°
∴∠OED=90°
∵OE是⊙O的半径
∴CD与⊙O相切于E
[点评]:
证法一是利用了等式的性质证明∠OED=∠OAD=90°,证法二是利用了全等三角形的对应角相等证明∠OED=∠OAD=90°
例5.如图,已知直角梯形ABCD中∠A=∠B=90°,AD∥BC,E为AB上一点,ED平分∠ADC,CE平分∠BCD,试问⑴以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系?
并证明。
⑵以CD为直径的圆与AB又有怎样的位置关系?
并证明。
[分析]:
⑴取AB的中点E,过E点作EF⊥CD于F,如果EF=AE,那么以AB为直径的圆与边CD相切,这就是“作垂直,证半径”。
⑵的证明方法是在⑴得到AE=BE的基础上,作梯形的中位线EG,即要证明EG为圆的半径又要证明EG⊥AB。
[证明]:
⑴以AB为直径的圆与边CD相切。
如图5-1,过E点作EF⊥CD于F
∵DE平分∠ADC,DA⊥AE,EF⊥CD∴EA=EF
同理可证,EF=EB
∴EA=EB=EF=1/2AB
∵EF⊥CD,且FE=1/2AB
∴以AB为直径的圆与边CD相切
⑵以CD为直径的圆与边AB相切
如图5-2,过E点作EF⊥CD于F,过E点作EG∥BC交CD于G点。
在△EAD与△EFD中
∵∠A=∠EFD=90°
∠ADE=∠FDE,DE=DE
(下转6版)
如何证明圆的切线垂直于圆的半径
用反证法。
设圆O的一条半径是OA,直线l与圆切于A。
假设直线l不垂直于OA,
过O作OM垂直l于M
因为直线l不垂直于OA,所以三角形OMA是直角三角形,
所以OA>OM(直角三角形斜边大于直角边)
即圆心到直线l的距离小于圆半径,即直线l于圆相交,与假设矛盾,所以OA垂直于l
即
圆的切线垂直于圆的半径
圆的切线性质定理是“圆的切线垂直于过切点的半径”及其推论“经过圆心(或切点)且垂直于切线的直线必经过切点(或圆心)”.
于是,切线具有如下性质:
(1)切线与圆只有一个公共点;
(2)切线与圆心的距离等于圆的半径;
(3)切线垂直于过切点的半径;
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点;
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心.
从上述5条性质知道:
性质
(1)是切线的定义;性质
(2)是切线判定方法的逆定理;性质(3)、(4)、(5)是切线性质定理及其推论,其中性质
(2)、(3)应用较多.
在应用切线性质定理时,如果只有切线,没有半径,要添加辅助线——就是连接过切点的半径,则此半径必垂直于切线.
应用切线的性质能解决几何计算与证明中的有关问题.
(1)利用切线性质计算线段的长度
两个圆相交于A,B两点,半径分别为3和4,若两个圆在A点的切线互相垂直,求两个圆圆心的距离。
两个圆在A点的切线互相垂直,也就是过A点的两个半径互相垂直,所以两个半径,圆心距组成的是直角三角形
所以圆心距是根号下(3^2+4^2)=5
回答人的补充2009-10-1710:
47因为过直线上一点与已知直线垂直的直线只有一条,切线垂直与半径,而两切线垂直,所以切线就是另一圆的半径
回答人的补充2009-10-1710:
42半径和切线在切点处垂直,而两条切线也在切点处垂直,过一点有且只有一条直线和已知直线垂直,所以两条半径是互相垂直的,根据勾股定理得5
(两个圆在A点的切线互相垂直,即过A点的两个半径互相垂直)
圆O1和圆O2相交于A,B两点,过点A作圆O1的切线交圆O2于点E,连接EB并延长交圆O1于点
15
[标签:
o2,切线]
圆O1和圆O2相交于A,B两点,过点A作圆O1的切线交圆O2于点E,连接EB并延长交圆O1于点C,直线CA交圆O2于点D
1,当D与A不重合时,EA=ED是否成立?
2,当D与A重合时,
,
(唯一的.)回答:
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2010-02-2209:
52
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解:
连结AB,过B做AB⊥FG交⊙O1于F,交⊙O2于G
连结AG
连结AF并延长交⊙O2于H
连结EH
∵AB⊥FG,∴∠ABF=90为直角∴AF为直径,同理AG为直径
AE为⊙O1切线
∴O1A⊥AE
∴AH⊥AE
∴∠HAE=90
∴HE为直径
又∠HAD=∠CAF
∠CAF=∠CBA=∠EBG
∠EBG=∠EAG
又O2A=O2E
∴∠HAD=∠HEA
∴E平分弧AD
∴EH垂直平分AD
∴AE=DE
有AB两个圆,A圆半径为4厘米,B圆半径为6厘米,如果B圆不动,A沿着B圆圆周滚动,当A到原点时,A的自身转动多少圈
分析:
A走过的总长度应该是B的周长
B的周长=2×6π=12πcm
A的周长=2×4π=8πcm
所以A要滚动12π/8π=1.5圈
已知圆o1与圆o2相交于A,B两点,圆o1的切线AC交圆o2于点c,直线EF过点B交圆o于点E,交圆o2于F
1.若直线EF交弦AC于点D时(如图10)求证AE平行于CF2若直线EF交弦AC于点D时(如图2),求证DA*DF=DC*DE
2.3若直线EF交弦AC的反向延长线于点D(图3自作),判断
(1),
(2)的结论是否成立?
并证明你的结论
1、连接AB
1、连接AB
即∠AEB=∠BAC(弦切角的定义)
∠CFB=∠BAC(同弧所对圆周角相等)
∴∠AEB=∠CFB
∴AE∥CF
2、连接AB,CF
∠AEB=∠BAC(弦切角的定义)
∠CFD=∠BAC(同弧所对圆周角相等)
∴∠AEB=∠CFD(圆内接四边形的一个外角等于它的内对角)
即∠AED=∠CFD
又∵∠ADE=∠CDF
∴△ADE∽△CDF
∴AD/CD=DE/DF
∴DA*DF=DC*DE
3、
成立
连接AB,AE,CF
∵∠DAE=∠ABE(弦切角的定义)
∵∠ACF=∠ABE((⊙O2)圆内接四边形的一个外角等于它的内对角
∴∠DAE=∠ACF
∴AE∥CF
∴△ADE∽△CDF(平行线分三角形相似)
∴AD/CD=DE/DF
∴DA*DF=DC*DE
如何证明圆的切线垂直于圆的半径?
用反证法。
设圆O的一条半径是OA,直线l与圆切于A。
假设直线l不垂直于OA,
过O作OM垂直l于M
因为直线l不垂直于OA,所以三角形OMA是直角三角形,
所以OA>OM(直角三角形斜边大于直角边)
即圆心到直线l的距离小于圆半径,即直线l于圆相交,与假设矛盾,所以OA垂直于l
即
圆的切线垂直于圆的半径
9、AB为半圆O的直径,C为半圆弧的三等分点,PC与PB为半圆O的切线,若AB=2a,问PA=?
10、已知C是以AB为直径的半圆O上一点,CH⊥AB,直线AC与过B点的切线相交于点D,E为CH中点,连AE并延长交BD于点F,直线AB延长线于点G。
求证:
CG是⊙O的切线。
分析或解答:
9、先做图,连接OC这样OB=OC因为C在三等分点处,故角BOC为120度。
而角POB为60度,根据三角涵数,得PB=根号3a三角形PAB为直角三角形,由勾股定理可得PA为根号7a.
10、∵AB是直径,∴∠ACB=90°∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO∴∠OCF=90°,∴CG是⊙O的切线
或:
∵CH⊥AB,DB⊥AB
∴CH∥BD
∵E是CH中点
∴F是BD中点
∵DCB=90°
∴CF=BF=FD
∴FCB=FBC
回答人的补充2009-06-0602:
35如果不明白∵E是CH中点∴F是BD中点
可以这么想CE/CF=AE/AF,EH/BF=AE/AF
CE/CF=EH/BF,∵CE=EH,∴CF=BF
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