数学.docx

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数学

【例题】将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？

【分析】题中有两个“相等关系”，即鸡与笼的总数是不变的，由此可得：

（1）鸡的总数＝“每笼放4只时，笼中鸡的总数”+1＝“（当每笼放5只鸡时的笼的总数﹣1）”×5；

（2）笼的总数＝（鸡的总数－1）÷4（每个笼中放4只）=鸡的总数÷5（每个笼中放5只）＋1.

【解答】

法一：

设笼的总数为x个，依题意，得：

4x+1=5（x﹣1），解得x=6，

当x=6时，4x+1=25．

答：

鸡的总数为25只，共有6个笼．

法二：

设鸡的总数为y个，依题意，得：

解得y=25，

当y=25时，y/5+1=6.

……

【反思】此类问题一般均有两种解法，“相等关系”易找，列好相应的数量关系就不难得到方程。

【练习】学校安排学生住宿，若每室住8人，则有12人无法安排；若每室住9人，可空出2个房间．这个学校的住宿生有多少人？

宿舍有多少房间？

 （答案下期找）

【原题呈现】用“*”定义一种运算：

对于任意有理数a和b，规定a*b=b2－ab－3．如：

2*3=32－2×3－3=0.

（1）求－5*（﹣3）的值；

       两边合并同类项，得：

       －3－12a=16a－16

       移项，合并，得：

       　－28a=－13

       所以a＝13/28.

【例题】某厂一车间有64人，二车间有56人．现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半．问需从第一车间调多少人到第二车间？

【分析】此类问题建议用以下类似列表形式方法分析，不易出错。

【解答】设需从第一车间调x人到第二车间，依题意，得：

64﹣x=0.5（56+x），解得x=24；

答：

需从第一车间调24人到第二车间．

【反思】有关“调配”问题的解法关键是读懂题目的意思，通过“列表”方式，再找到其中的“相等”关系，可较快且准确列出相应的方程。

【练习】有23人在甲处劳动，17人在乙处劳动，现调20人去支援，使在甲处劳动人数是在乙处劳动的人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？

（答案下期找）

 七上培优系列（48）练习答案

【原题呈现】学校安排学生住宿，若每室住8人，则有12人无法安排；若每室住9人，可空出2个房间．这个学校的住宿生有多少人？

宿舍有多少房间？

【分析】解题思路与例题类似。

【解答】

法一：

设宿舍有x间房，依题意，得：

8x+12=9（x﹣2），解得x=30，

∴当x=30时，8x+12=252．

答：

这个学校的住宿生有252人，宿舍有30个房间．

法二：

设该学校的住宿生有y人，依题意，得：

∴当y=252时，（y－12）/8=30．

…….

【例题】将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时完成，乙独做需4小时完成.现甲先做30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？

【分析】工程问题，工作量未告知，可将工作量当作整体“1”，若设设甲、乙一起做还需x小时才能完成工作，则其相应的“相等关系”为：

甲做30分钟（1/2小时）的工作量+甲乙合作x小时的工作量=1（完成任务）。

再由“甲独做需6小时完成，乙独做需4小时完成”得到甲、乙的工作效率分别为1/6或1/4，根据“工作量＝工作效率×工作时间”，将相关数值代入即可相应的方程，从而得出答案．

【解答】设甲、乙一起做还需x小时才能完成工作．依题意，得：

答：

甲、乙一起做还需2小时12分才能完成工作．

【反思】工程相关问题，若工作量没有明确的情况下，经常把它当作整体1，再利用“工作量＝工作效率×工作时间”找出其“相等关系”，从而列出方程，进而得到正确答案。

【练习】整理一批图书，由一个人做要40小时完成．现计划由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？

（答案下期找）

七上培优系列（49）练习答案

【原题呈现】有23人在甲处劳动，17人在乙处劳动，现调20人去支援，使在甲处劳动人数是在乙处劳动的人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？

【分析】图表分析如下：

【解答】设调到甲处x人，则调到乙处（20﹣x）人，依题意得：

23+x=2[17+（20﹣x）]，解得：

x=17．

当x=17时，20﹣x=3．

答：

应调往甲处17人，乙处3人．

【反思】有关“调配”问题的解题关键是读懂题意，通过“列表”方式，再找到其中的“相等”关系，可较快且准确列出相应的方程。

例题】平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为50%；乙种商品每件进价50元，售价80元

（1）甲种商品每件进价为　　元，每件乙种商品利润率为　　　　.

（2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲种商品多少件？

（3）在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如下的优惠促销活动：

    按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？

【详细解析】

（1）分析：

设甲的进价为x元/件，根据“（甲）利润率（为50%）＝（售价－进价）/进价”或“售价－进价＝进价×利润率”，可得到方程：

60－x＝50%·x；解得即可.而乙的利润率，则可直接利用“（甲）利润率＝（售价－进价）/进价”求得.详细解答如下：

【解答】设甲的进价为x元/件，则60－x＝50%·x，解得：

x=40．所以甲的进价为40元/件；乙商品的利润率为（80﹣50）÷50=60%．

（2）分析：

设购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50﹣x）件，根据“甲种商品的总进价+乙种商品的总进价＝2100元”，不难列出方程，解之即可.详细解答如下：

【解答】设购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50﹣x）件，依题意，得：

40x+50（50﹣x）=2100，解得：

x=40．

答：

购进甲商品40件，乙商品10件．

（3）分析：

直接求出所购买的件数，相应较烦，可以先求出打折前应付的款，相应方便，同时因504＞450元，所以享受到优惠，但具体是属于何种情况优惠暂不明了，因此要分两种情况讨论：

（设小华打折前应付款为y元，）

①当打折前购物金额超过450元，但不超过600元时，此时应付款09y元，得方程为：

0.9y=504；

②当打折前购物金额超过600元时，此时应付款分为两部分：

600元应付的款+超过600元部分应付的款=504，从而得到方程：

600×0.82+（y﹣600）×0.3=504.详细过程如下：

【解答】设小华打折前应付款为y元，

      ①当打折前购物金额超过450元，但不超过600元时，依题意，得：

0.9y=504，解得：

y=560，

560÷80=7（件），

      ②当打折前购物金额超过600元时，600×0.82+（y﹣600）×0.3=504，解得：

y=640，

640÷80=8（件），

      综上所述，可得小华在该商场购买乙种商品件7件或8件．

【反思】在不明确为何种优惠的情况时，应注意分类讨论．

【练习】为发展校园足球运动，某县城区四校决定联合购买一批足球运动装备，市场调查发现：

甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：

每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：

若购买队服超过80套，则购买足球打八折．

（1）求每套队服和每个足球的价格是多少？

（2）若城区四校联合购买100套队服和a个足球，请用含a的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用；

（3）假如你是本次购买任务的负责人，你认为到哪家商场购买比较合算？

七上培优系列（50）练习答案

【原题呈现】整理一批图书，由一个人做要40小时完成．现计划由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？

【分析】解题思路类似于便，其相等关系是：

这部分人（先安排的人数）4小时的工作+增加2人后8小时的工作=全部工作（当作“整体1”）．

【解答】设应先安排x人工作，依题意，得：

答：

应先安排2人工作．

【例题】小明每天早上要在7：

50之前赶到距家1000米的学校上学，一天，小明以80米/分的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带语文课本，于是爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他．

（1）爸爸追上小明用了多长时间？

（2）追上小明时，距离学校还有多远？

【分析】设小明爸爸追上小明用了x分钟，依题意，知：

小明比爸爸多走了5分钟，因追上，所以他们所走的路程相同。

即相等关系是：

小明走的路程（含前5分钟）＝小明他爸走的路程.由示意图，不难得到第二问答案.

       如下图示：

详细解答过程如下：

【解答】

（1）设小明爸爸追上小明用了x分钟，依题意，得：

80（x+5）=180x，解得：

x=4.

答：

小明爸爸追上小明用了4分钟．

（2）小明此时已经行走的路程为：

180×4=720米，所以追上小明时，距离学校的距离为1000﹣720=280米．

答：

追上小明时，距离学校还有280米.

【反思】本题属于行程关系的应用题，解答本题的关键是分清三个量（路程、速度、时间）之间的已知与未知，找出合适的“相等关系”，：

小明爸爸和小明所行路程相等，列出方程求解．

【练习】小亮和哥哥在离家2千米的同一所学校上学，哥哥以4千米/时的速度步行去学校，小亮因找不到书籍耽误了15分钟，而后骑自行车以12千米/时的速度去追哥哥．

（1）到校前小亮能追上哥哥吗？

（2）如果小亮追上哥哥，此时离学校有多远？

（答案下期找）

七上培优系列（51）练习答案

【原题呈现】为发展校园足球运动，某县城区四校决定联合购买一批足球运动装备，市场调查发现：

甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：

每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：

若购买队服超过80套，则购买足球打八折．

（1）求每套队服和每个足球的价格是多少？

（2）若城区四校联合购买100套队服和a个足球，请用含a的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用；

（3）假如你是本次购买任务的负责人，你认为到哪家商场购买比较合算？

【分析】

（1）相等关系是：

两套队服的总费用＝三个足球的总费用”.

（2）常规列式（用字母表示数），分别根据甲乙的优惠方案列出相应的式子；

（3）利用

（2）式，先求出到两商家优惠相同时足球的个数，再根据题意进行分析求解．

【解答】

（1）设每个足球的定价是x元，则每套队服是（x+50）元，依题意，得：

2（x+50）=3x，解得x=100，x+50=150．

答：

每套队服150元，每个足球100元；

（2）到甲商场购买所花的费用为：

150×100+100（a﹣100/10）=100a+14000（元），到乙商场购买所花的费用为：

150×100+0.8×100•a=80a+15000（元）；

（3）当在两家商场购买一样合算时，有100a+14000=80a+15000，解得a=50．

       所以购买的足球数等于50个时，则在两家商场购买一样合算；购买的足球数多于50个时，则到乙商场购买合算；购买的足球数少于50个时，则到甲商场购买合算.

【例题】甲、乙两人同时从相距25千米的A地去B地，甲骑车乙步行，甲的速度是乙的速度的3倍，甲到达B地停留40分钟，然后从B地返回A地，在途中遇见乙，这时距他们出发的时间恰好3小时，求两人的速度各是多少？

【分析】

（1）可设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为3x千米/时（常法，并注意速度单位，若设甲的速度为x千米/时，显然后续计算麻烦且易错）.

（2）对于“a×b=c”型的问题，总共只有三个量，本题即速度、时间、路程，其中速度为所求的，时间已明确（已知），因此必须根据“路程“关系来找”相等关系，（还可通过画图——如下图示），不难得到：

甲行驶的路程+乙行驶的路程＝两个25千米.（3）列式时，注意两人的行驶时间.

（继续观察动态演示——注意体会不同时间段的运动情况及两车的位置关系）

详细解答过程如下：

【解答】设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为3x千米/小时，依题意，得：

3x（3﹣40/60）+3x=25×2，

解得x=5，当x＝5时，3x=15.

答：

甲的速度为15千米/小时，乙的速度为5千米/小时．

【反思】本题属于行程关系的应用题，解答本题的关键是分清三个量（路程、速度、时间）之间的已知与未知关系，找出合适的“相等关系”。

【练习】由甲地到乙地前三分之二的路是高速公路，后三分之一的路是普通公路，高速公路和普通公路交界处是丙地．A车在高速公路和普通公路的行驶速度都是80千米/时；B车在高速公路上的行驶速度是100千米/时，在普通公路上的行驶速度是70千米/时，A、B两车分别从甲、乙两地同时出发相向行驶，在高速公路上距离丙地40千米处相遇，求甲、乙两地之间的距离是多少？

（答案下期找）

七上培优系列（52）练习答案

【原题呈现】小亮和哥哥在离家2千米的同一所学校上学，哥哥以4千米/时的速度步行去学校，小亮因找不到书籍耽误了15分钟，而后骑自行车以12千米/时的速度去追哥哥．

（1）到校前小亮能追上哥哥吗？

（2）如果小亮追上哥哥，此时离学校有多远？

【分析】与例题的解法类似.设小亮走了x时追上哥哥，求出追上需要的时间，此时要注意：

检查小亮所走的路程与全程比较，若小于全程则说明能追上，否则不能追上（本题能追上）．其中总路程﹣小亮走的路程就是小亮追上哥哥时离学校的距离．

【解答】

（1）设小亮走了x时追上哥哥，依题意，得：

4×15/60+4x=12x.解得x=1/8，

又1/8×12＝1.5＜2.所以小亮能追上哥哥  

（2）∵2﹣1.5=0.5（千米），

答：

小亮追上哥哥时离学校的距离为0.5千米．

【例题】有一些相同的房间需要粉刷，一天3名师傅去粉刷8个房间，结果其中有40m2墙面未来得及刷；同样的时间内5名徒弟粉刷了9个房间的墙面．每名师傅比徒弟一天多刷30m2的墙面．求每个房间需要粉刷的墙面面积；

【分析】本题中有两个“相等关系”，即：

每个房间需要粉刷的墙面面积＝每个房间需要粉刷的墙面面积；根据“每名师傅比徒弟一天多刷30m2的墙面”得到：

每名师傅一天粉刷的墙面面积＝每名徒弟一天粉刷的墙面面积+30．

【解答】

法一：

设每名徒弟一天粉刷的面积为xm2，则每名师傅一天粉刷的面积为（x+30）m2，依题意，得：

[3（x+30）+40]÷8=5x/9，解得：

x=90.

所以每个房间需要粉刷的墙面面积为5×90/9=50m2．

答：

每个房间需要粉刷的墙面面积为50m2．

法二：

设每个房间需要粉刷的墙面面积为ym2,依题意，得：

（8y－40）/3=9y/5+30,解得y=50.

答：

略.

【反思】解题关键是要理解题意，根据题目给出的条件，找出合适的“相等关系”，列出方程组，再求解．

【练习】甲组的4名工人3月份完成的总工作量比此月人均定额的4倍多20件，乙组的5名工人3月份完成的总工作量比此月人均定额的6倍少20件．

（1）如果两组工人实际完成的此月人均工作量相等，那么此月人均定额是多少件？

（2）如果甲组工人实际完成的此月人均工作量比乙组的多2件，则此月人均定额是多少件？

（3）如果甲组工人实际完成的此月人均工作量比乙组的少2件，则此月人均定额是多少件？

（答案下期找）

七上培优系列（53）练习答案

【原题呈现】由甲地到乙地前三分之二的路是高速公路，后三分之一的路是普通公路，高速公路和普通公路交界处是丙地．A车在高速公路和普通公路的行驶速度都是80千米/时；B车在高速公路上的行驶速度是100千米/时，在普通公路上的行驶速度是70千米/时，A、B两车分别从甲、乙两地同时出发相向行驶，在高速公路上距离丙地40千米处相遇，求甲、乙两地之间的距离是多少？

【分析】类似例题的分析。

设甲、乙两地之间的距离是x千米，题中的相等关系是：

当两车相遇时，A车所用的时间＝乙车所用的时间．然后找出各自相应的量，再利用时间＝路程/速度进行列式，从而得到所需的方程.如下图示：

【例题】据电力部门统计，每天8：

00至21：

00是用电的高峰期，简称“峰时”，21：

00至次日8：

00是用电的低谷时期，简称“谷时”，为了缓解供电需求紧张矛盾，某市电力部门于本月初统一换装“峰谷分时”电表，对用电实行“峰谷分时电价”新政策，具体见下表：

（1）小张家上月“峰时”用电50度，“谷时”用电20度，若上月初换表，则相对于换表前小张家的电费是增多了还是减少了？

增多或减少了多少元？

请说明理由．

（2）小张家这个月用电95度，经测算比换表前使用95度电节省了5.9元，问小张家这个月使用“峰时电”和“谷时电”分别是多少度？

【分析】

（1）直接利用表格中的相关数据分别求出换表前后的电费，再进行比较计算即可．

（2）题中“相等关系”为：

换表前95度的电费－换表后的95度电费（“谷时”电费+“峰时电费”）＝5.9元（节省的费用）.设小张家这个月使用“峰时”电是x度，则“谷时”电是（95﹣x）度，依题意列出方程解答即可．

【解答】

（1）换电表前：

0.52×（50+20）=36.4（元），

换电表后：

0.55×50+0.30×20=27.5+6=33.5（元），

33.5﹣36.4=﹣2.9（元）．

答：

若上月初换表，则相对于换表前小张家的电费是节省了2.9元.

（2）设小张家这个月使用“峰时”电是x度，则“谷时”电是（95﹣x）度，依题意，得：

0.55x+0.30（95﹣x）=0.52×95﹣5.9，

解得：

x=60，

当x=60时，95﹣x=95﹣60=35．

答：

小张家这个月使用“峰时”用电60度，谷时用电35度．

【反思】解题关键是要理解题意，找出对应的“相等关系”，再根据题目给出的条件，列出方程，再求解．

【练习】为了鼓励居民节约用水，某市自来水公司按如下方式对每户月用水量进行计费：

当用水量不超过10吨时，每吨的收费标准相同；当用水量超过10吨时，超出10吨的部分每吨收费标准也相同．下表是小明家1﹣4月份用水量和交费情况：

请根据表格中提供的信息，回答以下问题：

（1）若小明家5月份用水量为20吨，则应缴水费多少元？

（2）若小明家6月份交纳水费29元，则小明家6月份用水多少吨？

（答案下期找）

七上培优系列（54）练习答案

【练习】甲组的4名工人3月份完成的总工作量比此月人均定额的4倍多20件，乙组的5名工人3月份完成的总工作量比此月人均定额的6倍少20件．

（1）如果两组工人实际完成的此月人均工作量相等，那么此月人均定额是多少件？

（2）如果甲组工人实际完成的此月人均工作量比乙组的多2件，则此月人均定额是多少件？

（3）如果甲组工人实际完成的此月人均工作量比乙组的少2件，则此月人均定额是多少件？

【分析】设此月人均定额为x件．依题意知：

甲组的4名工人3月份完成的总工作量比此月人均定额的4倍多20件，则甲组的总工作量为（4x+20）件，人均为（4x+20）/4件；乙组的5名工人3月份完成的总工作量比此月人均定额的6倍少20件，乙组的总工作量为（6x﹣20）件，乙组人均为（6x﹣20）/5件．各小题的相等关系分别是：

（1）甲组人均工作量=乙组人均工作量；

（2）甲组人均工作量=乙组人均工作量+2；

（3）甲组人均工作量=乙组人均工作量﹣2．

【解答】设此月人均定额为x件，依题意，得：

（1）（4x+20）/4＝（6x﹣20）/5，解得：

x=45．

所以，此月人均定额是45件；

（2）（4x+20）/4＝（6x﹣20）/5+2，解得：

x=35．

所以，此月人均定额是35件；

（3）（4x+20）/4＝（6x﹣20）/5－2，解得：

x=55．

所以，此月人均定额是55件．

【例题】某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？

【分析】设分配x名工人生产螺母，则（22﹣x）人生产螺钉，由”一个螺钉配两个螺母可知螺母的个数是螺钉个数的2倍”可得出“相等关系”，进一步得到方程.如下图示：

【解答】设分配x名工人生产螺钉，则（22﹣x）人生产螺母，依题意，得：

1200x:

2000（22－x）=1:

2

即2000（22﹣x）=2×1200x，

解得：

x=10，则22﹣x=12.

答：

应安排生产螺钉和螺母的工人10名，12名．

【反思】有关配套问题，用类似于表格的形式找对应式子和相等关系，可较快且准确列出相应的方程。

【练习】雅丽服装厂童装车间有40名工人，缝制一种儿童套装（一件上衣和两条裤子配成一套）．已知1名工人一天可缝制童装上衣3件或裤子4件，问怎样分配工人才能使缝制出来的上衣和裤子恰好配套？

请根据表格中提供的信息，回答以下问题：

（1）若小明家5月份用水量为20吨，则应缴水费多少元？

（2）若小明家6月份交纳水费29元，则小明家6月份用水多少吨？

（答案下期找）

七上培优系列（55）练习答案

【原题呈现】为了鼓励居民节约用水，某市自来水公司按如下方式对每户月用水量进行计费：

当用水量不超过10吨时，每吨的收费标准相同；当用水量超过10吨时，超出10吨的部分每吨收费标准也相同．下表是小明家1﹣4月份用水量和交费情况：

请根据表格中提供的信息，回答以下问题：

（1）若小明家5月份用水量为20吨，则应缴水费多少元？

（2）若小明家6月份交纳水费29元，则小明家6月份用水多少吨？

【分析】

（1）直接利用表中的相关数据列式计算即可；

（2）题中的“相等关系”：

10吨的费用20元+超过部分的费用=29元．

【解答】

（1）小明家5月份的水费是：

10×2+（20﹣10）×3=50元；

（2）因29＞10×2，所以用水量超过10吨，设小明家6月份用水x吨，依题意，得：

10×2+（x﹣10）×3=29，解得：

x=13．

答：

小明家6月份用水13吨．

【反思】正确理解收费标准，找出相应的“相等关系”是解题的关键．