学年东莞八年级上期末考试数学总复习含详解.docx
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学年东莞八年级上期末考试数学总复习含详解
2018-2019学年东莞市八年级(上)期末考试数学总复习
重点专题
证明三角形全等的常见题型
全等三角形是初中几何的重要内容之一,全等三角形的学习是几何入门最关键的一步,这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习。
而一些初学的同学,虽然学习了几种判定三角形全等的公理和推论,但往往仍不知如何根据已知条件证明两个三角形全等。
在辅导时可以抓住以下几种证明三角形全等的常见题型,进行分析。
一、已知一边与其一邻角对应相等
1.证已知角的另一边对应相等,再用SAS证全等。
例1已知:
如图1,点E、F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.求证:
AF=DE。
2.证已知边的另一邻角对应相等,再用ASA证全等。
例2已知:
如图2,D是△ABC的边AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB。
求证:
AE=CE。
3.证已知边的对角对应相等,再用AAS证全等。
例3(同例2).
证明∵FC∥AB(已知),
∴∠A=∠ECF(两直线平行,内错角相等).
在△ADE和△CFE中,
∴△ADE≌△CFE(AAS).
∴AE=CE(全等三角形对应边相等)。
二、已知两边对应相等
1.证两已知边的夹角对应相等,再用SAS证等。
例4已知:
如图3,AD=AE,点D、E在BCBD=CE,∠1=∠2。
求证:
△ABD≌△ACE.
2.证第三边对应相等,再用SSS证全等。
例5已知:
如图4,点A、C、B、D在同一直线AC=BD,AM=CN,BM=DN。
求证:
AM∥CN,BM∥DN。
三、已知两角对应相等
1.证两已知角的夹边对应相等,再用ASA证全等。
例6已知:
如图5,点B、F、C、E在同一条直线上,FB=CE,∠B=∠E,∠ACB=∠DFE.求证:
AB=DE,AC=DF.
2.证一已知角的对边对应相等,再用AAS证全等。
例7已知:
如图6,AB、CD交于点O,E、F为AB上两点,OA=OB,OE=OF,∠A=∠B,∠ACE=∠BDF.求证:
△ACE≌△BDF.
四、已知一边与其对角对应相等,则可证另一角对应相等,再利用AAS证全等
例8已知:
如图7,在△ABC中,B、D、E、C在一条直线上,AD=AE,∠B=∠C.
证:
△ABD≌△ACE.
运用全等三角形证题的基本思路
运用全等三角形能够证明若干与线段或角有关的几何问题.那么如何证明两个三角形全等呢?
一般来说,应根据题设条件,结合图形寻求边或角相等,使之逐步逼近某一判定公理或定理,其基本思路有:
一、有两边对应相等,则寻求夹角或第三边对应相等.
例1已知:
如图1,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2,求证:
BD=CE.
例2已知:
如图2,AB=DF,AC=DE,BE=FC,求证:
AB∥DF.
二、有两角对应相等,则寻求夹边或任一等角的对边对应相等.
例3已知:
如图3,AB∥CD,AD∥BC.求证:
AB=CD,AD=BC.
例4已知:
如图4,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:
BE=CD.
三、有一边和该边的对角对应相等,则寻求另一角对应相等.
例5已知:
如图5,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线MN经过点A,BD⊥MN,CE⊥MN,垂足为D、E.求证:
BD=AE.
四、有一边和该边的邻角对应相等,则寻求夹等角的另一边对应相等,或另一角对应相等.
例6已知:
如图6,△ABC中,∠ACB=90°,∠CBA=45°,E是AC上一点,延长BC到D,使CD=CE.求证:
BF⊥AD.
例7已知:
如图7,AB=AC,∠B=∠C,∠1=∠2,求证:
AD=AE.
五、对于直角三角形来讲,则优先考虑运用“斜边、直角边公理”,当此路不通时,再回到上述思路中去.
例8已知:
如图8,AD⊥DB,BC⊥CC,AC=BD,求证:
AD=BC.
六、对于运用全等三角形证明的结论一次不到位时,则可反复运用上述思路进行证明.
例9已知:
如图9,AB=DE,AF=CD,EF=BC,∠A=∠D,求证:
BF∥CE.
例10已知:
如图10,在△ABC和△DBC中,∠1=∠2,∠3=∠4,P是BC上任意一点.求证:
PA=PD.
2018-2019学年东莞市八年级(上)期末考试数学复习
重点专题
证明三角形全等的常见题型
全等三角形是初中几何的重要内容之一,全等三角形的学习是几何入门最关键的一步,这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习。
而一些初学的同学,虽然学习了几种判定三角形全等的公理和推论,但往往仍不知如何根据已知条件证明两个三角形全等。
在辅导时可以抓住以下几种证明三角形全等的常见题型,进行分析。
一、已知一边与其一邻角对应相等
1.证已知角的另一边对应相等,再用SAS证全等。
例1已知:
如图1,点E、F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.求证:
AF=DE。
证明∵BE=CF(已知),∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE。
在△ABF和△DCE中,
∴△ABF≌△DCE(SAS)。
∴AF=DE(全等三角形对应边相等)。
2.证已知边的另一邻角对应相等,再用ASA证全等。
例2已知:
如图2,D是△ABC的边AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB。
求证:
AE=CE。
证明∵FC∥AB(已知),∴∠ADE=∠CFE(两直线平行,内错角相等)。
在△ADE和△CFE中,
∴△ADE≌△CFE(ASA).
∴AE=CE(全等三角形对应边相等)
3.证已知边的对角对应相等,再用AAS证全等。
例3(同例2).
证明∵FC∥AB(已知),
∴∠A=∠ECF(两直线平行,内错角相等).
在△ADE和△CFE中,
∴△ADE≌△CFE(AAS).
∴AE=CE(全等三角形对应边相等)。
二、已知两边对应相等
1.证两已知边的夹角对应相等,再用SAS证等。
例4已知:
如图3,AD=AE,点D、E在BCBD=CE,∠1=∠2。
求证:
△ABD≌△ACE.
证明∵∠1=∠2(已知),
∠ADB=180°-∠1,
∠AEC=180°-∠2(邻补角定义),
∴∠ADB=∠AEC,
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
2.证第三边对应相等,再用SSS证全等。
例5已知:
如图4,点A、C、B、D在同一直线AC=BD,AM=CN,BM=DN。
求证:
AM∥CN,BM∥DN。
证明∵AC=BD(已知)∴AC+BC+BC,
即AB=CD.
在△ABM和△CDN中,
∴△ABM≌△CDN(SSS)
∴∠A=∠NCD,∠ABM=∠D(全等三角应角相等),
∴AM∥CN,BM∥DN(同位角相等,两直行)。
三、已知两角对应相等
1.证两已知角的夹边对应相等,再用ASA证全等。
例6已知:
如图5,点B、F、C、E在同一条直线上,FB=CE,∠B=∠E,∠ACB=∠DFE.求证:
AB=DE,AC=DF.
证明∵FB=CE(已知)
∴FB+FC=CE+FC,即BC=EF,
∴△ABC≌△DEF(ASA).
∴△AB=DE,AC=DF(全等三角形对应边相等)
2.证一已知角的对边对应相等,再用AAS证全等。
例7已知:
如图6,AB、CD交于点O,E、F为AB上两点,OA=OB,OE=OF,∠A=∠B,∠ACE=∠BDF.求证:
△ACE≌△BDF.
证明∵OA=OB,OE=OF已知),∴OA-OE=OB-OF,即AE=BF,
在△ACE和△BDF中,
∴△ACE≌△BDF(AAS).
四、已知一边与其对角对应相等,则可证另一角对应相等,再利用AAS证全等
例8已知:
如图7,在△ABC中,B、D、E、C在一条直线上,AD=AE,∠B=∠C.
证:
△ABD≌△ACE.
证明∵AD=AE(已知)
∴∠1=∠2(等边对等角),
∵∠ADB=∠180°-∠1,
∠AEC=180°-∠2(邻补角定义),
∴∠ADB=∠AEC,
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(AAS).
运用全等三角形证题的基本思路
运用全等三角形能够证明若干与线段或角有关的几何问题.那么如何证明两个三角形全等呢?
一般来说,应根据题设条件,结合图形寻求边或角相等,使之逐步逼近某一判定公理或定理,其基本思路有:
一、有两边对应相等,则寻求夹角或第三边对应相等.
例1已知:
如图1,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2,求证:
BD=CE.
分析:
要证明BD=CE,只要证明△ABD≌△ACE.因为已知条件已给出了有两边对应相等,所以只需证明这两边的夹角也相等,即∠BAD=∠CAE.而根据图形和已知条件“∠1=∠2”,即可获证.
证明:
∵∠1=∠2,
∴∠1+∠BAC=∠2+∠BAC,即∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS),故BD=CE.
例2已知:
如图2,AB=DF,AC=DE,BE=FC,求证:
AB∥DF.
分析:
要证明AB∥DF,只要证明∠B=∠F,由于∠B、∠F分别在△ABC和△DFE中,这就要证明△ABC≌△DFE,因为已知条件给出了两边对应相等,所以可证明两个三角形的第三条边对应相等,即BC=FE,而根据图形和已知条件“BE=FC”,即可获证.
证明:
∵BE=FC,
∴BE+EC=FC+CE,即BC=FE.
在△ABC和△DFE中,
∴△ABC≌△DFE(SSS),
∴∠B=∠F,故AB∥DF.
二、有两角对应相等,则寻求夹边或任一等角的对边对应相等.
例3已知:
如图3,AB∥CD,AD∥BC.求证:
AB=CD,AD=BC.
分析:
要证明AB=CD,AD=BC,只要连结AC,证明△ABC≌△CDA,因为已知条件告诉AB∥CD,AD∥BC,这就等于告诉∠1=∠2,∠3=∠4,而AC又是它们的夹边,则问题获证.
证明:
连结AC,∵AB∥CD,AD∥BC,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
在△ABC和△CDA中,
∴△ABC≌△CDA(ASA),故AB=CD,AD=BC.
例4已知:
如图4,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:
BE=CD.
分析:
要证明BE=CD,只要证明△BCE≌△CBD,在这两个三角形中,∠1=∠2,∠3=∠4,而∠1的对边是BC,∠2的
对边是CB,且有BC=CB,则问题获证.
证明:
在△BCE和△CBD中,
∴△BCE≌△CBD(AAS)
故BE=CD.
三、有一边和该边的对角对应相等,则寻求另一角对应相等.
例5已知:
如图5,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线MN经过点A,BD⊥MN,CE⊥MN,垂足为D、E.求证:
BD=AE.
分析:
要证明BD=AE,只要证明△ABD≌△CAE,现有条件是一边和该边的对角对应相等,则还需再证明另一角对应相等,而不难发现∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,所以∠1=∠3,则问题获证.
证明:
∵BD⊥MN,CE⊥MN,
∴∠ADB=∠CEA=90°,
而∠BAC=90°,∴∠1+∠2=90°.
∵∠2+∠3=90°.
∴∠1=∠3.
在△ADB和△CEA中,
∴△ADB≌△CEA(AAS),故BD=AE.
四、有一边和该边的邻角对应相等,则寻求夹等角的另一边对应相等,或另一角对应相等.
例6已知:
如图6,△ABC中,∠ACB=90°,∠CBA=45°,E是AC上一点,延长BC到D,使CD=CE.求证:
BF⊥AD.
分析:
要证明BF⊥AD.只要证明∠1+∠2=90°,这时∠AFE=90°,又∠3+∠4=90°,∠2=∠3,那么只需证明∠1=∠4,这时只要证明△ACD≌△BCE,在这两个三角形中,已知有一边和该边的邻角对应相等,只要证明CA=CB,此时条件中有∠CBA=45°,可得到CA=CB,则问题获证.
证明:
∵∠ACB=90°,∠CBA=45°,
∴CA=CB.
在△ACD和△BCE中,
∴△ACD≌△BCE(SAS).
∴∠1=∠4.
∵∠4+∠3=90°,∠3=∠2.
∴∠1+∠2=90°,故BF⊥AD.
例7已知:
如图7,AB=AC,∠B=∠C,∠1=∠2,求证:
AD=AE.
分析:
要证明AD=AE,只要证明△ABD≌△ACE,由已知条件知,有一边和该边的邻角对应相等,只要再证明另一角对应相等,此时有∠1=∠2,可得∠BAD=∠CAE,则问题获证.
证明:
∵∠1=∠2.
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE,
∴∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(ASA),故AD=AE.
五、对于直角三角形来讲,则优先考虑运用“斜边、直角边公理”,当此路不通时,再回到上述思路中去.
例8已知:
如图8,AD⊥DB,BC⊥CC,AC=BD,求证:
AD=BC.
分析:
要证明AD=BC,只要证明△ADB≌△BCA,而这两个三角形是直角三角形,可考虑运用“斜边、直角边公理”证明,此时由题设条件AC=BD,结合图形AB=BA,则问题获证.
证明:
∵AD⊥DB,BC⊥CA,
∴△ADB和△BCA都是直角三角形,
在Rt△ADB和Rt△BCA中,
∴Rt△ADB≌Rt△BCA(HL),故AD=BC.
六、对于运用全等三角形证明的结论一次不到位时,则可反复运用上述思路进行证明.
例9已知:
如图9,AB=DE,AF=CD,EF=BC,∠A=∠D,求证:
BF∥CE.
分析:
要证明BF∥CE,只要考虑证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”,这需要根据已知条件和图形特点,先进行比较,再作选择,由于图中没有现成的“同位角”和“内错角”,但添加辅助线后易得“内错角”(连结BE或CF);另一方面,若考虑“同旁内角”,则要证“互补”,而由已知条件较易证得△ABF≌△DEC,估计进而证明角“相等”比证明角“互补”容易,所以可优先考虑证明“内错角相等”,即连结BE,设法证明∠FBE=∠CEB,这又需证明△BEF≌△EBC,这样问题就解决了,请读者完成这一证明.
例10已知:
如图10,在△ABC和△DBC中,∠1=∠2,∠3=∠4,P是BC上任意一点.求证:
PA=PD.
分析:
要证明PA=PD,只要证明△ABP≌△DBP,在这两个三角形中,由条件才知道一边和该边的邻角对应相等,由图形知,还必须证明AB=BD,这又需证明△ABC≌△DBC,而由∠1=∠2,∠3=∠4,BC=BC,则问题解决了,请读者完成这一证明.
综上数例所述,运用全等三角形处理几何证明问题,要灵活运用题设条件,结合待证结论,对照图形,从不同角度去试探,不要怕碰壁,要善于分析,总结规律,辅之适量练习,才能不断提高运用全等三角形的证题能力.
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