中考专题三角函数.docx
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中考专题三角函数.docx
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中考专题三角函数
1.(2013.郑州一测)钓鱼岛自古就是中国的领土,中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测.一日,中国一艘海监船从A点沿正北方向巡航,其航线距钓鱼岛(设M,N为该岛的东西两端点)最近距离为12海里(即MC=12海里).在A点测得岛屿的西端点M在点A的东北方向;航行4海里后到达B点,测得岛屿的东端点N在点B的北偏东60°方向,(其中N,M,C在同一条直线上),求钓鱼岛东西两端点MN之间的距离.
2.(2013.郑州二测)如图,某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明,启智求真”的宣传牌CD、小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°,沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°.已知山坡AB的坡度i=1:
,AB=10米,AE=15米,求这块宣传牌CD的高度.(测角器的高度忽略不计,结果精确到0.1米.参考数据:
≈1.414,
≈1.732)
3.(2013河南实验中学最后一模)如图,大楼AB高16米,远处有一塔CD,某人在楼底B处测得塔顶的仰角为38.5°,爬到楼顶A处测得塔顶的仰角为22°,求塔高CD及大楼与塔之间的距离BD的长.(参考数据:
sin22°≈0.37,cos22°≈0.93,tan22°≈0.40,sin38.5°≈0.62,cos38.5°≈0.78,tan38.5°≈0.80)
4.(2013.郑州外国语三测)已知:
如图,斜坡AP的坡度为1∶2.4,坡长AP为26米,在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC,在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°,在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°.
求:
(1)坡顶A到地面PQ的距离;
(2)古塔BC的高度(结果精确到1米).
(参考数据:
sin76°≈0.97,cos76°≈0.24,tan76°≈4.01)
5.(2013.新乡二调)如图,AE是位于公路边的电线杆,为了使拉线CDE不影响汽车的正常行驶,电力部门在公路的另一边竖立了一根水泥撑杆BD,用于撑起拉线.已知公路的宽AB为8米,电线杆AE的高为12米,水泥撑杆BD高为6米,拉线CD与水平线AC的夹角为67.4°.求拉线CDE的总长L(A、B、C三点在同一直线上,电线杆、水泥杆的大小忽略不计).
(参考数据:
sin67.4°≈
,cos67.4°≈
,tan67.4°≈
)
6.(2013.焦作二测)如图,某校教学楼AB的后面有一建筑物CD,当光线与地面的夹角是22°时,教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE;而当光线与地面的夹角是45°时,教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离(B、F、C在一条直线上).求教学楼AB的高度.(参考数据:
sin22°≈
,cos22°≈
,tan22°≈
)
7.(2013.开封二模)某校学生去春游,在风景区看到一棵汉柏树,不知这棵汉柏树有多高,下面是两位同学的一段对话:
小明:
我站在此处看树顶仰角为45°.
小华:
我站在此处看树顶仰角为30°.
小明:
我们的身高都是1.6m.
小华:
我们相距20m.
请你根据这两位同学的对话,计算这棵汉柏树的高度.
(参考数据:
≈1.414,
≈1.732,结果精确到0.1m)
8.(13年安阳一模)图1是安装在房间墙壁上的壁挂式空调,图2是安装该空调的侧面示意图,空调风叶AF是绕点A由上往下旋转扫风的,安装时要求:
当风叶恰好吹到床的外边沿,此时风叶与竖直线的夹角α为48°,空调底部BC垂直于墙面CD,AB=0.02米,BC=0.1米,床铺长DE=2米,求安装的空调底部位置距离床的高度CD是多少米?
)(结果精确到0.1米)
9.(2013.洛阳中招模拟)如图,为了开发利用海洋资源,某勘测飞机欲测量一岛屿两端A、B的距离,飞机在距海平面垂直高度为100米的点C处测得端点A的俯角为60°,然后沿着平行于AB的方向水平飞行了1000米,在点D测得端点B的俯角为45°,求岛屿两端A、B的距离(结果精确到0.1米,参考数据:
≈1.73,
≈1.41)
10.(2012.洛阳二模)如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图,已知真空集热管与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心O,支架CD与水平面AE垂直,AB=150厘米,∠BAC=30°,另一根辅助支架DE=76厘米,∠CED=60°.
(1)求垂直支架CD的长度;(结果保留根号)
(2)求水箱半径OD的长度.(结果保留三个有效数字,参考数据:
(
≈1.414,
≈1.73)
11.(2012•洛阳一模)某输气管道途径A、B、C地.如图,其中C地在A地北偏东45°方向,C在B地北偏西60°方向,B地在A地北偏东75°方向.A、C两地相距2000米.
(1)问输气管道从A地沿A→B→C到C地的路程大约是多少?
(2)若输气管道改造为从A地沿A→C→B到B地,可节约路程多少米?
(最后结果保留整数,参考数据:
≈1.732,
≈1.414)
12.(2012.安阳模拟)人民公园有一座人工假山.在社会实践活动中,数学老师要求同学们利用所学的知识测量假山的宽度AB.小红将假山前左侧找到的一棵树根部定为点C,又在假山前确定一点P,经目测PC∥AB,并测量出∠CPA=45°,∠CPB=150°,PA=100米,请你帮小红计算出假山的宽度AB约为多少米.(结果精确到O.1米:
参考数据:
(
=1.414,
≈1.732,
≈2.449)
13.(2011.安阳模拟)如图,流经某市的一条河流的两岸互相平行,河岸l1上有一排观赏灯,已知相邻两灯之间的距离AB=60米,某人在河岸l2的C处测得∠ACE=60°,然后沿河岸向右走了140米到达D处,测得∠BDE=30°.求河流
的宽度AE(结果保留三个有效数字,参考数据:
≈1.414,
≈1.732)
14.(2012.开封一模)某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景.如图,游轮出发点A与望海楼B的距离为300m,在A处测得望海楼B位于A的北偏东30°方向,游轮沿正北方向行驶一段时间后到达C,在C处测得望海楼B位于C的北偏东60°方向,求此时游轮与望海楼之间的距离BC(
取1.73,结果保留整数).
15.(2012.开封二模)一艘轮船自西向东航行,在A处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C,继续向东航行60海里到达B处,测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°方向上.之后,轮船继续向东航行多少海里,距离小岛C最近?
(参考数据:
sin21.3°≈
,,tan21.3°≈
,,sin63.5°≈
,tan63.5°≈2)
16.(2012.周口二模)在一次数学活动课上,老师带领学生去测一条南北流向的河宽,如图所示,某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C,测得C在A北偏西31°的方向上,沿河岸向北前行20米到达B处,测得C在B北偏西45°的方向上,请你根据以上数据,帮助该同学计算出这条河的宽度.(参考数值:
tan31°≈
,sin31°≈
)
17.(2012.漯河堰城实验中学一模)要在宽为28m的海堤公路的路边安装路灯,路灯的灯臂长为3m,且与灯柱成120°(如图所示),路灯采用圆锥形灯罩,灯罩的轴线与灯臂垂直.当灯罩的轴线通过公路路面的中线时,照明效果最理想.问:
应设计多高的灯柱,才能取得最理想的照明效果(精确到0.01m,
≈1.732)
18.(2012.漯河郾城实验中学三模)张华和李明是一对爱动脑筋的好朋友,星期天两人相约去公园玩,被一座古色古香的亭子吸引了注意力.高兴之余他们想用如下方法测量亭子的高度:
张华蹲在地上,李明站在张华和亭子之间,两人适当调整自己的位置,当亭子的顶部M,李明的头顶B及张华的眼睛A.恰在一条直线上时,两人分别标定自己的位置C、D,然后测出两人之间的距离CD=1.25m,与楼之间的距离DN=15m(C、D、N在一条直线上),李明的身高1.8m,张华蹲在地上观测时,眼睛到地面的距离AC=0.9m,试
问能根据以上数据求出亭子的高度吗?
试求之(保留到0.1米)
19.(2013.鹤壁二模)已知,如图,在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC,数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°,然后他们沿着坡度为1:
2.4的斜坡AP攀行了26米,在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°.求:
(1)坡顶A到地面PO的距离;
(2)古塔BC的高度(结果精确到1米).
(参考数据:
sin76°≈0.97,cos76°≈0.24,tan76°≈4.01
20.(2011.鹤壁一模)小明想知道湖中两个小亭A、B之间的距离,他在与小亭A、B位于同一水平面且东西走向的湖边小道l上某一观测点M处,测得亭A在点M的北偏东30°,亭B在点M的北偏东60°,当小明由点M沿小道l向东走60米时,到达点N处,此时测得亭A恰好位于点N的正北方向,继续向东走30米时到达点Q处,此时亭B恰好位于点Q的正北方向,根据以上测量数据,请你帮助小明计算湖中两个小亭A、B之间的距离
.
21.(2013.洛阳二模)如图是某地地质科考队在海拔高度CE为5000米的雪山进行科学研究,已知科考队的营地B在海拔1000米处,峰顶为C点,坡面BC的坡角∠CBF=45°,坡面AB的坡角∠BAE=30°,一名队员在B处测得从C处开始有雪崩发生,雪崩在坡面BC上平均速度为每秒80米.
(1)求雪崩到达营地B的时间.
(2)如果坡面AB上安全点D的海拔高度为700米,科考队迅速撤离到安全点D,若雪崩在坡面AB上平均速度为每秒30米,科考队的速度至少为多少?
(说明:
(1)
(2)的计算结果精确到0.1米,参考数据:
≈1.414,
=1.732)
22.(2013.洛阳外国语二模).如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是边AB的中点,BE⊥CD,垂足为点E.己知AC=15,cosA=
(1)求线段CD的长;
(2)求sin∠DBE的值.
23.(2013.洛阳外国语一模)如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE=40cm,EF=20cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5m,CD=8m,则树高AB多少米?
24,(2013.洛阳外国语一模)如图,甲楼AB的高度为123m,自甲楼楼顶A处,测得乙楼顶端C处的仰角为45°,测得乙楼底部D处的俯角为30°,求乙楼CD的高度(结果精确到0.1m,
取1.73)
25,(2013.洛阳凌志一模)如图,港口B在港口A的西北方向,上午8时,一艘轮船从港口A出发,以15海里∕时的速度向正北方向航行,同时一艘快艇从港口B出发也向正北方向航行,上午10时轮船到达D处,同时快艇到达C处,测得C处在D处得北偏西30°的方向上,且C、D两地相距100海里,求快艇每小时航行多少海里?
(结果精确到0.1海里∕时,参考数据:
≈1.41,
≈1.73)
26,(2013.平顶山二模)图,AE是位于公路边的电线杆,为了使拉线CDE不影响汽车的正常行驶,电力部门在公路的另一边竖立了一根水泥撑杆BD,用于撑起拉线.已知公路的宽AB为8米,电线杆AE的高为12米,水泥撑杆BD高为6米,拉线CD与水平线AC的夹角为67.4°.求拉线CDE的总长L(A、B、C三点在同一直线上,电线杆、水泥杆的大小忽略不计).(参考数据:
sin67.4°≈
,,cos67.4°≈
,,tan67.4°≈
)
27.(2012.平顶山一模)如图,某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度.已知在离地面1500m,高度C处的飞机,测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°,求隧道AB的长.
28.(2011.商丘五模)在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,且AB=1,BC=2,tan∠ADC=2;对角线相交于O点,等腰直角三角板的直角顶点落在梯形的顶点C上,使三角板绕点C旋转.
(1)当三角板旋转到图1的位置时,猜想DE与BF的数量关系,并加以证明;
(2)在
(1)问条件下,若BE:
CE=1:
2,∠BEC=135°,求sin∠BFE的值;
(3)当三角板的一边CF与梯形对角线AC重合时,作DH⊥PE于H,如图2,若OF=
时,求PE及DH的长
29.(2011.商丘七模)已知,如图,正方形ABCD,菱形EFGP,点E、F、G分别在AB、AD、CD上,延长DC,PH⊥DC于H.
(1)求证:
GH=AE;
(2)若菱形EFGP的周长为20cm,cos∠AFE=
,FD=2,求△PGC的面积.
30.(2011.商丘十模)如图,在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆,拉线CE和地面成60°角,在离电线杆6米的B处安置测角仪,在A处测得电线杆上C处的仰角为30°,已知测角仪高AB为1.5米,求拉线CE的长(结果保留根号).
31、(2009.河南.20)如图所示,电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2.90m的顶灯.已知梯子由两个相同的矩形面组成,每个矩形面的长都被六条踏板七等分,使用时梯脚的固定跨度为1m.矩形面与地面所成的角α为78°.李师傅的身高为l.78m,当他攀升到头顶距天花板0.05~0.20m时,安装起来比较方便.他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上,请你通过计算判断他安装是否比较方便?
(参考数据:
sin78°≈0.98,cos78°≈0.21,tan78°≈4.70.)
32、(2011.河南.19)如图所示,中原福塔(河南广播电视塔)是世界第—高钢塔.小明所在的课外活动小组在距地面268米高的室外观光层的点D处,测得地面上点B的俯角α为45°,点D到AO的距离DG为10米;从地面上的点B沿BO方向走50米到达点C处,测得塔尖A的仰角β为60°。
请你根据以上数据计算塔高AO,并求出计算结果与实际塔高388米之间的误差.(参考数据:
≈1.732,
≈1.414.结果精确到0.1米)
33、(2012.河南.20)某宾馆为庆祝开业,在楼前悬挂了许多宣传条幅。
如图所示,一条幅从楼顶A处放下,在楼前点C处拉直固定。
小明为了测量此条幅的长度,他先测得楼顶A点的仰角为45°,已知点C到大厦的距离BC=7米,∠ABD=90°.请根据以上数据求条幅的长度(结果保留整数。
参考数据:
tan31°≈0.60,sin31°≈0.52,cos31°≈0.86).
34.(2013.河南.19)我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库,按照工程计划,需对原水库大坝进行混凝土培厚加高,使坝高由原来的162米增加到176.6米,以抬高蓄水位.如图是某一段坝体加高工程的截面示意图,其中原坝体的高为BE,背水坡坡角∠BAE=68°,新坝体的高为DE,背水坡坡角∠DCE=60°.求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC(结果精确到0.1米.参考数据:
sin68°≈0.93,cos68°≈0.37,tan68°≈2.50,
≈1.73).
35、(2013.许昌一模)如图,兰兰站在河岸上的G点,看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来,此时,测得小船C的俯角是∠FDC=30°,若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米,BG=1米,BG平行于AC所在的直线,迎水坡的坡度i=4:
3,坡长AB=10米,求小船C到岸边的距离CA的长?
(参考数据:
,结果保留两位有效数字)
36、(2009•许昌一模)在数学活动课上,九年级
(1)班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度,设计的测量方案及数据如下:
(1)在大树前选择一点A,测得点A看大树顶端C的仰角为30°;
(2)在点A和大树之间选择一点B(A、B、D在同一直线上),测得由点B看大树顶端C的仰角恰好为45°;
(3)量出A、B间的距离为4米.请你根据以上数据求出大树CD的高度.
(精确到0.1,参考数据:
≈1.41
≈1.73)
37、(2013•许昌二模)如图,A、B两座城市相距100千米,现计划要在两座城市之间修筑一条高等级公路(即线段AB).经测量,森林保护区中心P点在A城市的北偏东30°方向,B城市的北偏西45°方向上.已知森林保护区的范围在以P为圆心,50千米为半径的圆形区域内.请问:
计划修筑的这条高等级公路会不会穿越森林保护区?
为什么?
38、(2010•许昌一模)某大学计划为新生配备如图
(1)所示的折叠椅.图
(2)是折叠椅撑开后的侧面示意图,其中椅腿AB和CD的长相等,O是它们的中点.为使折叠椅既舒适又牢固,厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32cm,
∠DOB=100°,那么椅腿的长AB和篷布面的宽AD各应设计为多少cm?
(结果精确到0.1cm)
39、(2012.郑州一模)如图,在航线
的两侧分别有观测点A和B,点A到航线
的距离为2km,点B位于点A北偏东60°方向且与A相距10km处.现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的C处,正沿该航线自西向东航行,5min后该轮船行至点A的正北方向的D处.
(1)求观测点B到航线
的距离;
(2)求该轮船航行的速度(结果精确到0.1km/h).(参考数据:
,
,
,
)
41、(2010.郑州一模)蓝军与红军进行军事演习,如图,红军的潜艇从A海港出发,沿正东方向航行,到正东方向由红军控制的海港B处,A、B两港相距200海里,在海港A的北偏东60°方向、海港B的西北方向有一海岛C被蓝军控制,在海岛C周围90海里的区域是蓝军的侦察范围。
问红军的潜艇会不会进入到蓝军的侦察区域内?
海港B是否处于海岛C上的蓝军侦察范围内?
请说明你的理由。
42、(2011.新乡一模)如图,某军港有一雷达站
,军舰
停泊在雷达站
的南偏东
方向36海里处,另一艘军舰
位于军舰
的正西方向,与雷达站
相距
海里.求:
(1)军舰
在雷达站
的什么方向?
(2)两军舰
的距离.(结果保留根号)
43、(2012.焦作二模)如图,教室窗户的高度AF为2.5米,遮阳蓬外端一点D到窗户上椽的距离为AD,某一时刻太阳光从教室窗户射入室内,与地面的夹角∠BPC为30°,PE为窗户的一部分在教室地面所形成的影子且长为
米,试求AD的长度.(结果带根号)
44、(2011.焦作二模)如图,有一段斜坡BC长为10米,坡角∠CBD=12°,为方便残疾人的轮椅车通行,现准备把坡角降为5°。
(1)求坡高CD;
(2)求斜坡新起点A与原起点B的距离(精确到0.1米)。
45、(2011.濮阳一模)如图:
把一张给定大小的矩形卡片ABCD放在宽度为10mm的横格纸中,恰好四个顶点都在横格线上,已知α=25°,求长方形卡片的周长。
(精确到1mm,参考数据:
sin25°≈0,cos25°≈0.9,tan25°≈0.5).
46、(2010.驻马店一模)图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时情景.图2是小明锻炼时上半身由EM位置运动到与地面垂直的EN位置时的示意图.已知BC=0.64米,AD=0.24米,α=18°.(sin18°≈0.31,cos18°≈0.95,tan18°≈0.32)
(1)求AB的长(精确到0.01米);
(2)若测得EN=0.8米,试计算小明头顶由M点运动到N点的路径弧MN的长度(结果保留π)
47.(2012.驻马店二模)综合实践课上,小明所在小组要测量护城河的宽度.如图所示是护城河的一段,两岸ABCD,河岸AB上有一排大树,相邻两棵大树之间的距离均为10米.小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α=36°,然后沿河岸走50米到达N点,测得∠β=72°.请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR(结果保留两位有效数字).
(参考数据:
sin36°≈0.59,cos36°≈0.81,tan36°≈0.73,sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,tan72°≈3.08)
48、(2012.南阳市一模)如图,在小山的东侧A处有一热气球,以每分钟30m的速度沿着仰角为60°的方向上升,20分钟后升到B处,这时气球上的人发现在A的正西方向俯角为45°的C处有一着火点,求气球的升空点A与着火点C的距离(结果保留根号).
49、(2012.南阳市二模)又到了一年中的春游季节,某班学生利用周末到白塔山去参观“晏阳初博物馆”.下面是两位同学的一段对话:
甲:
我站在此处看塔顶仰角为60°;乙:
我站在此处看塔顶仰角为30°;
甲:
我们的身高都是1.5m;乙:
我们相距20m.
请你根据两位同学的对话,计算白塔的高度.(精确到1米)
50、(2011.南阳市一模)如图,原来从A地到它正东方的B地,需要沿折线A→C→D→B到达.现A、B两地新修了一条笔直公路可直接到达.已知C地在A地的东北方向12km处,D地在C地的正东方向且在B地北偏西53°处,则现在从A地到B地可比原来少走了多少里程?
(精确到0.1km,参考数据
=1.41,sin53°≈
,cos53°≈
,tan53°≈
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