最新人教版高中数学必修2第四章《圆的标准方程》教案3.docx
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最新人教版高中数学必修2第四章《圆的标准方程》教案3
示范教案
教学分析
本节内容是学习圆的起始课,由于圆是学生比较熟悉的曲线,在初中已学习了圆的几何性质,所以学习本节的难度不大.教材利用两点间距离公式推导出了圆的标准方程,并讨论了点与圆的位置关系.在教学中,应引导学生自己探究,避免教师直接给出圆的标准方程.
三维目标
1.使学生掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程,能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径,进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力.
2.会用待定系数法求圆的标准方程,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,形成用代数方法处理几何问题的能力,从而激发学生学习数学的热情和兴趣,培养学生分析、概括的思维能力.
重点难点
教学重点:
圆的标准方程.
教学难点:
会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程.
课时安排
1课时
导入新课
设计1.如左下图,已知隧道的截面是半径为4m的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶.一辆宽为2.7m,高为3m的货车能不能安全驶入这个隧道?
如右上图,以某一截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径AB所在直线为x轴,建立直角坐标系,问题可以转化为求圆上的点的纵坐标,这就需要建立圆的方程.为此我们学习圆的标准方程.
设计2.同学们,我们知道直线可以用一个方程表示,那么,圆可以用一个方程表示吗?
圆的方程怎样来求呢?
这就是本堂课的主要内容,教师板书本节课题:
圆的标准方程.
推进新课
讨论结果:
(1)平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.定点是圆心,定长是圆的半径.
(2)只要圆心和半径确定了,就可以确定一个圆.
(3)如果点M在⊙C上,则|CM|=r,反之,如果|CM|=r,则点M在⊙C上.如下图所示.
由两点间的距离公式,得x,y满足的等式,
=r.
两边平方,得
(x-a)2+(y-b)2=r2.①
显然,⊙C上任意一点M的坐标(x,y)适合方程①;如果平面上一点M的坐标(x,y)适合方程①,可得|CM|=r,则点M在⊙C上.因此方程①是以点C(a,b)为圆心,r为半径的圆的方程,叫做圆的标准方程.
特别地,如果圆心在坐标原点(如下图),这时a=0,b=0,圆的标准方程就是
x2+y2=r2.
(4)容易看出,如果点M1(x1,y1)在圆外,则点到圆心的距离大于圆的半径r,即
(x1-a)2+(y1-b)2>r2.
如果点M2(x2,y2)在圆内,则点到圆心的距离小于圆的半径r,即
(x2-a)2+(y2-b)2 如果点M3(x3,y3)在圆上,则点到圆心的距离等于圆的半径r,即 (x3-a)2+(y3-b)2=r2. 思路1 例1根据下列条件,求圆的方程: (1)圆心在点C(-2,1),并过点A(2,-2); (2)圆心在点C(1,3),并与直线3x-4y-6=0相切; (3)过点(0,1)和点(2,1),半径为. 分析: 圆心和半径是圆的两要素,只要确定圆心坐标和半径就可以写出圆的方程. 解: (1)所求圆的半径 r=|CA|==5. 因为圆的圆心为(-2,1),所以所求圆的方程为 (x+2)2+(y-1)2=25. (2)因为直线3x-4y-6=0是所求圆的切线,所以圆心(1,3)到这条直线的距离等于半径,根据点到直线的距离公式,有 r===3. 所以,所求圆的方程为 (x-1)2+(y-3)2=9. (3)设圆心坐标为(a,b),则圆的方程为 (x-a)2+(y-b)2=5. 已知圆过点(0,1),(2,1),代入圆的方程,得 解得或 因此,所求圆的方程为 (x-1)2+(y+1)2=5,或(x-1)2+(y-3)2=5. 点评: 求圆的方程时,关键是确定圆心坐标和半径. 变式训练 1.求以C(4,-6)为圆心,半径等于3的圆的方程. 解: 将圆心C(4,-6)、半径等于3代入圆的标准方程,可得所求圆的方程为(x-4)2+(y+6)2=9. 2.已知两点M1(4,9)和M2(6,3).求以M1M2为直径的圆的方程. 解: 根据已知条件,圆心C(a,b)是M1M2的中点, 那么它的坐标为a==5,b==6. 根据两点间距离公式,得圆的半径r=|CM1|==. 因此,所求圆的方程是(x-5)2+(y-6)2=10. 例2求过点A(6,0),B(1,5),且圆心在直线l: 2x-7y+8=0上的圆的方程(如下图). 分析: 由题意得,圆心在线段AB的垂直平分线m上,又在直线l上,所以圆心是直线m与l的交点.将直线l和m的方程联立,解方程组,可以求出圆心坐标,再由圆心和圆上一点的坐标可以求出圆的半径. 解法一: 直线AB的斜率 k==-1, 所以AB的垂直平分线m的斜率为1. AB的中点的横坐标和纵坐标分别为 x==,y==, 因此,直线m的方程为 y-=1(x-), 即x-y-1=0. 又圆心在直线l上,所以圆心是直线m与直线l的交点.解方程组 得 所以圆心坐标为C(3,2),又半径r=|CA|=,则所求圆的方程是 (x-3)2+(y-2)2=13. 解法二: 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.由题意,得 解得 所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=13. 点评: 解法一是利用圆的几何性质,求出圆心坐标和半径,直接写出圆的方程,此法称为直接法.解法二是设出圆的标准方程,列方程解出圆心坐标和半径,此法称为待定系数法. 变式训练 1.2008山东高考,文11若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是( ) A.(x-3)2+(y-)2=1 B.(x-2)2+(y-1)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1D.(x-)2+(y-1)2=1 解析: 设圆心C(a,b),由条件可得b=1,=1,解得a=2或a=-. ∵圆心在第一象限.∴a=2. ∴圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.∴选B. 答案: B 2.△ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程. 分析: 从圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2入手,要确定圆的标准方程,可用待定系数法确定a、b、r三个参数.另外可利用直线AB与AC垂直平分线的交点确定圆心,从而得半径,圆的方程可求. 解法一: 设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,因为A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆上,它们的坐标都满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2,于是 解此方程组得 所以△ABC的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25. 解法二: 线段AB的中点坐标为(6,-1),斜率为-2,所以线段AB的垂直平分线的方程为y+1=(x-6),即x-2y-8=0.① 同理,线段AC的中点坐标为(,-),斜率为3,所以线段AC的垂直平分线的方程为y+=-(x-),即x+3y+7=0.② 解由①②组成的方程组得x=2,y=-3, 所以圆心坐标为(2,-3),半径r==5, 所以△ABC的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25. 例3赵州桥的跨度是37.02m,圆拱高约为7.2m,求这座圆拱桥的拱圆方程(精确到0.01m). 解: 左下图是拱桥的示意图.以AB的中点为原点,x轴通过AB建立直角坐标系.如右下图. 根据已知条件,B,C的坐标分别为(18.51,0),(0,7.2),设圆心的坐标为(0,b),则圆的方程为 x2+(y-b)2=r2. 下面用待定系数法求b和r2的值. 因为B,C都在圆上,所以它们的坐标都满足这个方程,于是得到方程组 解得 因此,圆拱桥的拱圆的方程近似为 x2+(y+20.19)2=750.21. 点评: 解决本题的关键是建立适当的直角坐标系.本题中由于圆心位置不确定,所以建立坐标系时,以AB的中点为原点能使圆心位置落在坐标轴上. 变式训练 1.已知圆的方程为(x-3)2+(y-4)2=25.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( ) A.10 B.20 C.30 D.40 解析: 圆心记作M(3,4),半径为5.记E(3,5). 则过E(3,5)的最长弦AC为圆的直径,最短弦BD的中点为E. 如下图所示,SABCD=AC·BD=×10×2×=20. 答案: B 2.下图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,在建造时每隔4m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长度(精确到0.01m). 解: 建立坐标系如图,圆心在y轴上,由题意,得P(0,4),B(10,0). 设圆的方程为x2+(y-b)2=r2,因为点P(0,4)和B(10,0)在圆上, 所以解得 所以这个圆的方程是x2+(y+10.5)2=14.52. 设点P2(-2,y0),由题意y0>0,代入圆方程,得(-2)2+(y0+10.5)2=14.52, 解得y0=-10.5≈14.36-10.5=3.86(m). 即支柱A2P2的长度约为3.86m. 思路2 例4圆(x-1)2+(y+2)2=9关于直线x-y=0对称的圆的标准方程是________. 解析: 圆心(1,-2)关于直线x-y=0的对称点是(-2,1),则对称圆的方程是(x+2)2+(y-1)2=9. 答案: (x+2)2+(y-1)2=9 点评: 圆关于点或直线对称的圆,其半径不变,只是圆心位置发生了变化.本题利用点关于直线对称点求得对称圆的圆心. 变式训练 1.圆x2+(y+3)2=7关于原点对称的圆的方程是________. 答案: x2+(y-3)2=7 2.圆x2+y2=4与圆(x-a)2+y2=4关于直线x=6对称,则a=________. 答案: 12 3.直线l与圆(x+1)2+(y-2)2=5-a(a<3)相交于两点A,B,弦AB的中点为(0,1),则直线l的方程为________. 解析: 圆心为(-1,2). 弦中点与圆心连线的斜率为=-1, 由圆的性质知,弦AB所在直线即l的斜率为k=1. 故l的方程为x-y+1=0. 答案: x-y+1=0 例5写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判断点M1(5,-7),M2(-5,-1)是否在这个圆上. 解: 圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25. ∵(5-2)2+(-7+3)2=25, ∴点M1在圆上. ∵(-5-2)2+(-1+3)2=53>25, ∴点M2在圆外. 点评: 本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程,然后给一个点,判断该点与圆的关系,这里体现了坐标法的思想,根据圆的坐标及半径写方程——从几何到代数;根据坐标满足方程来看点在不在圆上——从代数到几何. 变式训练 1.经过圆(x+1)2+y2=1的圆心C,且与直线x+y=0垂直的直线方程是________. 解析: 圆心(-1,0). 与直线x+y=0垂直的直线斜率为1, ∴所求的方程为y=x+1. 答案: x-y+1=0 2.已知两点P1(4,9)和P2(6,3),求以P1P2为直径的圆的方程,并判断点M(6,9), Q(5,3)是在圆上、圆外,还是圆内? 解: 由已知条件可得圆心坐标为C(5,6),半径为r=|P1P2|==.所以以P1P2为直径的圆的方程为(x-5)2+(y-6)2=10.因为|CM|===r,|CQ|==3<=r, ∴点M在圆上,点Q在圆内. 1.已知圆C与圆(x-1)2+y2=1关于直线y=-x对称,则圆C的方程是( ) A.(x-1)2+y2=1B.x2+y2=1 C.x2+(y+1)2=1D.x2+(y-1)2=1 解析: 圆C与圆(x-1)2+y2=1关于直线y=-x对称,其半径不变,只求出圆心即可,而关于直线y=-x对称,则横、纵坐标交换位置,并取相反数,由圆(x-1)2+y2=1的圆心为(1,0),知对称的圆心为(0,-1). 答案: C 2.以点(2,-1)为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为( ) A.(x-2)2+(y+1)2=3B.(x+2)2+(y-1)2=3 C.(x-2)2+(y+1)2=9D.(x+2)2+(y-1)2=9 解析: r==3. 答案: C 3.已知直线5x+12y+a=0与圆x2-2x+y2=0相切,则a的值为________. 解析: 圆的方程可化为(x-1)2+y2=1,所以圆心坐标为(1,0),半径为1.由已知可得=1|5+a|=13,所以a的值为-18或8. 答案: -18或8 4.已知圆(x-2)2+y2=8的圆心是点P,则点P到直线x-y-1=0的距离是________. 解析: 由已知得圆心为P(2,0),由点P到直线距离公式,得d==. 答案: 5.已知圆C: (x+1)2+(y+)2=4+(a为实数)上任意一点关于直线l: x-y+2=0的对称点都在圆C上,则a=__________. 解析: 圆心C(-1,-)由题意知圆心C在直线l上即-1++2=0,解得a=-2. 答案: -2 6.已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线l: x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程. 分析: (1)利用圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,只要能构造三个方程求出a、b、r便可. (2)确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小. 圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),由于圆心C与A,B两点的距离相等,所以圆心C在线段AB的垂直平分线m上,又圆心C在直线l上,因此圆心C是直线l与直线m的交点,半径长等于|CA|或|CB|. 解法一: 设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,将点A(1,1)和B(2,-2)代入得 又圆心在l: x-y+1=0上, 所以a-b+1=0.联立方程组 解得a=-3,b=-2,r=5. 所以所求的圆的标准方程为(x+3)2+(y+2)2=25. 解法二: 因为A(1,1)和B(2,-2),所以线段AB的中点坐标为(,-),直线AB的斜率为kAB==-3,故线段AB的垂直平分线方程为y+=(x-),即x-3y-3=0.由解得 因此圆心C的坐标为(-3,-2),半径r=|AC|==5,所以所求的圆的方程为(x+3)2+(y+2)2=25. 已知直线l1: mx-y=0,l2: x+my-m-2=0,且l1⊥l2. 求证: 对m∈R,l1与l2的交点P在一个定圆上. 证明: ∵l1与l2分别过定点(0,0)、(2,1),且两直线垂直, ∴l1与l2的交点必在以(0,0)、(2,1)为一条直径的圆上. ∴圆心为(1,),半径为,(x-1)2+(y-)2=()2. 本节课学习了: 1.圆的标准方程. 2.求圆的标准方程的方法: 直接法和待定系数法; 3.判定点与圆的位置关系; 本节练习B 1,2题. 圆是学生比较熟悉的曲线,求圆的标准方程既是本节课的教学重点也是难点,为此本节布设了由浅入深的学习环境,先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系,逐步理解三个参数的重要性,自然形成待定系数法的解题思路,在突出重点的同时突破了难点.利用圆的标准方程由浅入深的解决问题,并通过圆的方程在实际问题中的应用,增强学生应用数学的意识.另外,为了培养学生的理性思维,在例题中,设计了由特殊到一般的学习思路,培养学生的归纳概括能力.在问题的设计中,利用一题多解的探究,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的联系,培养了学生的创新精神,并且使学生的有效思维量加大,随时对所学知识和方法产生有意注意,能力与知识的形成相伴而行,这样的设计不但突出了重点,更使难点的突破水到渠成. 备选习题 1.写出下列各圆的方程; (1)圆心在原点,半径是3; 答案: x2+y2=9. (2)圆心在点C(3,4),半径是; 答案: (x-3)2+(y-4)2=5. 2.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心和半径分别是( ) A.(2,-3)、B.(2,-3)、2 C.(-2,3)、1D.(-2,3)、 答案: A 3.点P(m2,5)与圆x2+y2=24的位置关系是( ) A.在圆外B.在圆内 C.在圆上D.不确定 答案: A 4.直线x-2y-2k=0与2x-y-k=0的交点在圆x2+y2=25上,求k的值. 答案: ±5 5.圆(x-3)2+(y+4)2=1关于直线x+y=0对称的圆的方程是( ) A.(x+3)2+(y-4)2=1 B.(x-4)2+(y+3)2=1 C.(x+4)2+(y-3)2=1 D.(x-3)2+(y-4)2=1 解析: 与圆心(3,-4)关于直线x+y=0对称的点是(4,-3),于是,与已知圆关于直线x+y=0对称的圆的方程是(x-4)2+(y+3)2=1.选B. 答案: B 6.求下列圆的方程: (1)圆心在直线y=-2x上且与直线y=1-x相切于点(2,-1); (2)圆心在点(2,-1),且截直线y=x-1所得弦长为2. 解: (1)设圆心坐标为(a,-2a),由题意知圆与直线y=1-x相切于点(2,-1),所以=,解得a=1.所以所求圆心坐标为(1,-2),半径r==.所以所求圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=2. (2)设圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=r2(r>0),由题意知圆心到直线y=x-1的距离为d==.又直线y=x-1被圆截得弦长为2,所以r2-d2=2,即r=2.所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=4.
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