小学数学系统复习正.docx
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小学数学系统复习正
第一讲数与代数
一、数的认识
(一)整数
1、整数分2类:
自然数(非负整数):
0、1、2、3、4……
负整数:
……-3,-2,-1。
2、整数的个数是无限的。
没有最小的整数,也没有最大的整数。
自然数是整数的一部分,自然数的个数是无限的,最小的自然数是0,没有最大的自然数。
“1”是自然数最基本的单位。
3、每相邻的两个计算单位之间的进率都是十,这种计数方法叫做十进制计数法。
从右边起,每四个数位一级,数级分别是个级、万级、亿级。
第一位是个位,第五位是万位,第九位是亿位;(10个一是十,10个十是一百,10个一百是一千,10个一千是一万,10个一万是十万,10个十万是一百万,10个一百万是一千万,10个一千万是一亿…)
(二)小数:
分母是10、100、1000……的分数可以用小数表示。
小数点的左边是整数部分,小数点的右边是小数部分。
(小数的个数比整数的个数多得多。
)
1、小数的计数单位是十分之一、百分之一、千分之一…….分别写作0.1、0.01、0.001…..
2、小数部分第一位是十分位,第二位是百分位,第三位是千分位……(…10个千分之一是百分之一,10个百分之一是十分之一,10个十分之一是一)
3、小数按小数部分的位数是否有限分为有限小数和无限小数。
无限小数分为无限不循环小数和无限循环小数。
4、循环小数:
一个数的小数部分,从某一位起,一个数字或者几个数字依次不断重复出现,这样的小数叫做循环小数。
一个循环小数的小数部分,依次不断重复出现的数字,叫做这个小数的循环节。
写循环小数时,可以只写第一个循环节,并在这个循环节的首位和末位上面各记一个圆点。
(三)分数:
一个物体、一些物体等都可以看作一个整体,把这个整体平均分成若干份,这样的一份或几份都可以用分数来表示。
一个整体可以用自然数“1”来表示,通常把它叫做单位“1”。
把单位“1”平均分成若干份,表示其中的一份的数叫分数单位。
一个分数的分母是几,它的分数单位就是几分之一
1、分数分为真分数(
<1,分子小于分母)和假分数(
≥1,分子大于或等于分母)。
带分数实际上就是大于1的假分数的另一种表示形式。
如2
(整数部分和真分数)。
2、最简分数:
分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。
3、把一个分数化成和它相等,但分子和分母都比较小的分数,叫做约分(分子和分母除以公因数)如:
4、把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数,叫做通分(把分母都化成最小公倍数)
(四)百分数:
一个数是另一个数的百分之几叫做百分数,也叫做百分比或百分率。
注意:
分数既可表示一个数,也可以表示两个数比的关系,分数可以带单位;百分数只表示一个数是另一个数的百分比(一种关系),所以不能表示具体数。
百分数不带单位,口算的结果不能是百分数,只能是最简分数、整数或小数。
二、数的读写、改写和比较
(一)数的读写
1、整数部分读法
(1)分级
(2)先读亿级,再读万级,最后读个级。
(3)亿级和万级的数按照个极的方法读。
读完亿级加个“亿”,读完万级加个“万”。
(4)每级末尾不管有几个0都不读,每级中间不管有几个0都只读一个“零”。
2、整数部分写法
(1)分级,圈“万”和“亿”
(2)先写亿级,再写万级,最后写个级。
(3)哪个数位上一个都没有用“0”占位。
3、小数部分:
依次去读写。
(二)数的改写
1、把多位数改写成以“万”或“亿”作单位的数(准确数,用“=”)
(1)以“万”作单位。
在万位后面点上小数点,把小数末尾的0去掉,添上“万”字。
如45000=4.5万
(2)以“亿”作单位。
在亿位后面点上小数点,把小数末尾的0去掉,添上“亿”字。
如450000000=4.5亿
2、求近似数(用约等号“≈”)保留(或精确)到哪一位,就看到它的下一位。
其余的数字无关。
方法:
“四舍五入法”。
是“舍”还是“入”要看省略的尾数部分的最高位是小于5还是等于或大于5。
0、1、2、3、4、(舍去);5、6、7、8、9、(在前一位入1)。
3、小数、分数、百分数互化
(1)小数化分数:
写成分母是10、100、1000…的分数
约分成为最简分数。
如0.48=
=
(2)分数化小数:
一般情况 :
分子÷分母(如果分母中除了2和5以外,不含有其他
质因数,这个分数就能化成有限小数;如果分母中含有2和5以外的质因数,这个分数就不
能化成有限小数。
) 如:
=4÷5=0.8
特殊方法:
分母通分为10、100、1000的数(如2×5=1020×5=10024×5=10050×2=100125×8=1000200×5=1000)再化小数。
如:
=
=0.8
(3)小数化百分数:
小数点右移两位,添百分号。
如:
0.374=37.4%
(4)百分数化小数:
小数点左移两位,去百分号。
如:
196%=1.96
(5)分数化百分数:
把分数先变成小数(除不尽就要保留3位小数,算到小数第四位。
),再化百分数。
如
=0.8=80%
(6)百分数化分数:
把百分数写成分母是100的分数,再约成最简分数。
如:
37%=
=
4、数的大小比较
(1)整数和小数比较
先比较整数部分的数位,数位多的,数就大。
如果数位相同,先比较最高位,最高位相同再看下一位…
(2)分数比较
分母相同,分子大分数大
分子相同,分母小,分数大。
根据需要把分数进行通分和约分,再比较。
三、倍数和因数(倍数和因数是相互间的关系,所以2是12的因数,12是2的倍数,不能说成2是因数,12是倍数)
1、一个数最小的因数是1,最大的因数是本身。
因数的个数是有限的;一个数最小的倍数是本身,没有最大的倍数。
倍数的个数是无限的。
2、2、5、3的倍数特征
(1)个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。
自然数中,是2的倍数的数叫做偶数(0也是偶数),不是2的倍数的数叫做奇数。
(2)个位上是0或5的数都是5的倍数。
(3)一个数个位上的数的和是3的倍数,这个数是3的倍数。
3、按因数个数分,非0自然数分为质数、合数和1三类。
只有1和本身两个因数(20以内有2、3、5、7、11、13、17、19共8个)叫做质数;除了1和本身还有别的因数叫做合数;1既不是质数也不是合数。
最小的质数是2,最小的合数是4。
4、公因数只有1的两个数,叫做互质数。
相邻的两个数一定是互质数(如:
9、10);两个都是质数的一定是互质数(如:
5、13)
5、求最大公因数和最小公倍数都可以用不完全列举法,最好的方法是短除法。
(每次都用最小的质数去除)
(1)36分解质因数:
36=2×2×2×3×3
(2)48分解质因数:
48=2×2×2×3×4
(3)36和48的最大公因数:
2×2×3=12
(4)36和48的最小公倍数:
2×2×3×3×4=144
①互质数(相邻的或两个都是质数):
最大公因数是1,最小公倍数是两数之积。
②倍数关系:
最大公因数是小数。
最小公倍数是大数。
四、性质与规律
1、除法、分数和比的关系(除数、分母和后项都不能为0)
(1)商不变性质:
被除数和除数同时乘(或除以)相同的数(0除外),商不变。
(2)分数的基本性质:
分数的分子和分母同时乘(或除以)相同的数(0除外),分数的大小不变。
(3)小数的基本性质:
小数的末尾添上“0”或去掉“0”,小数的大小不
变。
注意:
0.3=0.30=0.300也就是
(4)比的基本性质:
比的前项和后项同时乘(或除以)相同的数(0除外),比值不变。
2、比例的基本基本性质:
在比例里,两个外项的积等于两个内项的积。
3、积的变化规律:
一个因数不变,另一个因数乘(或除以)几,积也乘(或除以)几。
4、小数点的移动引起小数的大小变化。
(1)小数点向右移,小数扩大。
小数点右移一位,小数就扩大到原数的10倍。
小数点右移两位,小数就扩大到原数的100倍。
小数点右移三位,小数就扩大到原数的1000倍。
(2)小数点向左移,小数缩小。
小数点左移一位,小数就缩小到原数的
。
小数点向左移动两位,小数就缩小到原数的
。
小数点向左移动三位,小数就缩小到原数的
。
5、乘法:
(1)一个数乘大于1的数,积比原来的数大。
(2)一个数乘小于1的数,积比原来的数小。
(3)一个数乘等于1的数,积等于原来的数。
除法:
(1)一个数除以大于1的数,商比被除数小。
(2)一个数除以小于1的数,商比被除数大。
(3)一个数除以等于1的数,商等于被除数。
五、四则运算的意义和计算方法
1、四则运算:
加法、减法、乘法和除法
2、计算方法
(1)整数和小数的加减法:
相同数位对齐,从低位算起,满十进一(或退一当十),小数部分的数位不够,要补0再算.
(2)整数与小数的乘法:
2个因数的末位对齐(因数末位是0的除外,利用积的变化规律,在最后计算结果添0),用第二个因数每位上的数分别乘第一个因数,所得的积的末位对齐那位上的数,再把它们相加。
最后根据需要添“0”或小数点的移动。
(3)整数与小数的除法;根据小数点移动的规律,把除数和被除数同时扩大,使到除数变成整数。
然后根据除数是整数的方法做。
注意
商的最高位在哪里
每次余下的数必须比除数小
哪一位不够商1,用0占位
商的小数点和被除数的小数点对齐
被除数和除数同时扩大后,商不变,余数要缩小。
(4)分数加减法:
分数通分为相同分母,分母不变,分子相加减,再化简为最简分数。
(5)分数乘除法:
除以一个非0的数也就是乘它的倒数。
分数乘除法都可以写成分数乘法,然后先约分,再分子乘分子,分母乘分母。
乘积是1的两个数互为倒数。
分子和分母交换位置。
整数的倒数分母是整数,分子是1。
0没有倒数。
1的倒数就是1。
3、四则运算中各部分间的关系(利用关系进行验算):
加法:
加数+加数=和和-加数=加数
减法:
被减数-减数=差被减数-差=减数减数+差=被减数
乘法:
因数×因数=积积÷因数=因数
除法:
被除数÷除数=商被除数÷商=除数商×除数=被除数
被除数÷除数=商…余数(被除数-余数)÷商=除数商×除数+余数=被除数
4、估算(把数看做整十整百整千的数,便于口算。
用约等号“≈”)
如:
38+43≈802008-199≈180038×43≈16004480÷89≈50
5、四则混和运算
(1)运算符号:
+、-×、÷()[]
次序:
第一级
第二级
(2)在没有括号的算式里,如果只有加、减法或者只有乘、除法,都要从左往右按顺序计算;(同级运算)
(3)有乘、除法和加、减法,要先算乘、除法。
(两级计算)
(4)算式里有括号的,要先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算括号外面的。
(5)没参加计算的要照抄,有些算式可以同时脱式计算。
6、0与1在四则运算中特性:
a+0=aa-0=aa-a=0a×0=0a×1=aa÷1=a0÷a=01÷a=
7、简便算法。
1)交换律加法交换律a+b=b+a2)结合律加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)
乘法交换律a×b=b×a乘法结合律(a×b)×c=a×(b×c)
3)乘法分配律(a+b)×c=a×c+b×c4)性质减法性质:
a-b-c=a-(b+c)
(a-b)×c=a×c-b×c除法性质:
a÷b÷c=a÷(b×c)
5)带符号搬家(只在同级运算中使用)
6)添(去)括号的使用(只在同级运算中使用):
括号前面是+和×,括号里面不变号;括号前面是-和÷,括号里面要变相反的符号。
(+和-互变,×和÷互变)
六、解决问题
1、基本的11种数量关系
(1)“一共、还剩、原来…”部分数+部分数=总数总数-部分数=部分数
(2)“…比…多(少)…”小数+相差数=大数大数-小数=相差数大数-相差数=小数
(3)相同加数“每”每份数×份数=总数总数÷每份数=份数总数÷份数=每份数
价钱:
单价×数量=总价总价÷单价=数量总价÷数量=单价
行程:
速度×时间=路程路程÷速度=时间路程÷时间=速度
工作:
工效×时间=工总工总÷工效=时间工总÷时间=工效
(4)“…是…的…倍”1倍数×倍数=几倍数几倍数÷1倍数=倍数几倍数÷倍数=1倍数
2、分数和百分数应用题的解题方法。
(1)找含有分数(或百分数)的关键句。
从句子中找到单位“1”的量。
单位“1”的量不以数的大小来区别,而是以它的位置决定的。
如:
红花的朵数是黄花的20%;红花的朵数比黄花少20%;红花的朵数是黄花的百分之几?
这里都是黄花的朵数是单位“1”的量。
(2)若单位“1”已知,用乘法计算;若单位“1”未知,用除法计算。
(3)方法:
求甲数的几分之几(百分之几)是多少?
用乘法:
甲数×
已知甲数的几分之几(百分之几)是乙数,求甲数。
用除法:
乙数÷
已知甲数比乙数多(或少)几分之几(百分之几),求甲数。
用乘法:
乙数×
已知甲数比乙数多(或少)几分之几(百分之几),求乙数。
用除法:
甲数÷
求甲数是乙数的几分之几(百分之几)?
用除法:
甲数÷乙数
求甲数比乙数多(或少)几分之几(百分之几)?
用除法:
甲乙的相差数÷乙数
3、求百分率(如:
达标率、发芽率、合格率、出勤率……)要用分数形式×100%
如;达标率=×100%(注意:
求百分之几用除法做,不需要乘百分号)
4、打折:
几折就是表示十分之几,也就是百分之几十。
(如6折就是十分之六或60%)
5、缴纳的税款叫做应纳税额,应纳税额与各种收入(销售额、营业额…..)的比率叫做税率。
应纳税额=应纳税所得额×税率
6、利息与本金的比值叫做利率。
(这里指的是年利息和年利率)
利息=本金×利率×时间利息税=利息×税率取回的钱=本金+利息
假如需要纳利息税5%取回的钱=本金+利息×(1-5%)或取回的钱=本金+利息-利息税
七、式与方程
1、用字母或含有字母的式子可以表示数,也可以表示数量关系、运算定律和计算公式。
22、在含有字母的式子里,字母中间的乘号可以记作“.”,也可以省略不写(如:
a×b=a.b=ab)。
省略乘号时要把数写在字母前面。
(如:
a×3=3a)
3、方程的概念
(1)含有未知数的等式,叫做方程。
(所有的方程都是等式,但等式却不全是方程。
)
(2)使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。
(如:
x=3是方程的解)。
求方程解的过程叫做解方程。
(必须有“解”字)
(3)天平平衡原理:
等式两边同时加上或减去相同的数,等式不变。
等式两边同时乘或除以相同的数(0除外),等式不变。
4、列方程解决问题的关键:
找准等量关系。
(1)充分利用表示等量关系的关键词语
(2)利用常见的数量关系式。
如:
…比…的2倍多4(注意:
X不带单位)
八、常见的量
长度单位、面积单位、体积和容积单位、质量单位、时间单位和人民币单位
1、长度、面积和体积单位及进率
长度单位
(相邻进率10)
面积单位
(相邻进率100)
体积和容积单位
(相邻进率1000)
1厘米=10毫米
1分米=10厘米
1米=10分米
1千米=1000米
1平方厘米=100平方毫米
1平方分米=100平方厘米
1平方米=100平方分米
1公顷=10000平方米
1平方千米=100公顷
1平方千米=1000000平方米
1立方厘米=1000立方毫米=1毫升
1立方分米=1000立方厘米=1升
1立方米=1000立方分米=1方
2、质量单位及进率(相邻进率1000)
1吨=1000千克1千克=1000克
3、时间单位和进率
(1)一年有12个月,平年365天,闰年366天。
7个大月:
1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月,每月31天。
4个小月:
4月、6月、9月、11月,每月30天。
平年二月28天,闰年二月29天。
每年二月都有28天,只有闰年二月才有29天。
一个星期有7天,平年365÷7=52(个)……1(天)
闰年366÷7=52(个)……2(天)
(2)闰年一般是4的倍数,整百年份的必须是400的倍数。
(如:
1900不是闰年)
(3)一天有24小时,时针刚好走两圈。
从0时到24时的计时法叫做24时计时法。
一般分为凌晨、上午、中午、下午、晚上。
如:
下午3时=3+12=15时21时=21-12=晚上9时
(4)开始时间+经过时间=结束时间
结束时间-经过时间=开始时间结束时间-开始时间=经过时间
(5)1世纪=100年1年=12月1星期=7天1日=24时1时=60分1分=60秒
4、人民币单位及进率(相邻进率10)
1元=10角1角=10分
5、换算方法:
(1)小数点向右移动
(2)小数点向左移动
九、比和比例
1、比和比例的联系和区别
比
比例
意义
表示两个数相除
表示两个比相等的式子
各部分名称
9:
6=
(或1.5)
前项比号后项比值
9:
6=3:
2
内项
外项
基本
性质
比的基本性质
比例的基本性质
化简比的根据
解比例的根据
2、求比值和化简比
(1)化简比(关系):
比表示两个数相除。
运用比的基本性质,把两个数的比化成最简整数比(前项和后项的最大公因数是1)。
结果仍然是一个比。
整数比:
前项和后项同时除以最大公因数
分数比:
前项和后项同时乘最小公倍数。
小数比:
前项和后项同时乘10(或100、1000)变成整数,再同时除以最大公因数
(2)比值(结果):
表示一个数。
把“:
”换成“÷”,用除法计算,求出最简分数、整数或小数。
3、正比例和反比例的联系和区别。
正比例
反比例
相同点
都是两种相关联的量,一种量变化随着另一种量变化。
不同点
1、变化方向相同
2、相对应的每两个数的比值(商)是一定的
3、关系式:
4、图像:
呈直线上升趋势
1、变化方向相反
2、相对应的每两个数的乘积(积)是一定的
3、关系式:
4、图象:
一条曲线
4、判断正反比例的方法(一找二看三判断)
(1)分析数量关系,找两个相关联的量。
(2)看它们之间的关系是商一定(变化方向相同),还是积一定(变化方向相反)(3)正确判断:
商一定.成正比例;积一定,成反正比例;如果积和商都不是定量,不成比例。
正比例:
反比例:
5、按比例分配(各部分占总数的几分之几,用乘法做。
)
如:
甲是乙的
,和是70,求各是多少?
甲:
乙=4:
3甲+乙=70
甲:
70×
=40乙:
70×
=30
6、注意:
盐水=盐+水糖水=糖+水稀释液=浓缩液+水
第二讲空间与图形
(一)射线、直线、线段的关系(都是直的)
直线
没有端点
两端无限延长,不可测量
射线
1个端点
一端无限延长不可测量
线段
2个端点
有限的,可测量。
1、从一点出发可以画出无数条射线。
2、过两点只能画一条直线。
(二)角:
从一点引出的两条射线所组成的图形。
1、角的度量。
角的度量单位是“度”,用符号“”表示。
角的大小与角的两边画出的长短没有关系。
要看两条边叉开的大小有关,叉开越大,角越大。
注意:
(1)顶点和量角器的中心重合
(2)角的一条边和0刻度线重合(3)从0度开始数,另一条边和几重合就是几度。
(4)写度数。
2、画角。
(1)画射线。
顶点和量角器的中心重合,射线和0刻度线重合。
(2)从0刻度线开始数,到指定的刻度上点一个点。
(3)从顶点开始,通过刚画的点,画一条射线。
(4)标度数。
3、角的分类。
(从小到大排列)锐角<直角<钝角<平角<周角
0·<锐角<90·直角=90·90·<钝角<180·
平角=180·=2个直角周角=360·=2个平角=4个直角
(三)垂直与平行
1、在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。
相交成直角的两条直线叫互相垂直。
2、从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短,它的长度叫做这点到直线的距离。
平行线之间的距离处处相等。
3、两直线相交,对顶角相等。
1=2
4、画垂线和平行线。
(必须使用三角板,垂线要画垂足。
)
(1)过直线上一点作垂线。
(只有1条)
(2)过直线外一点作垂线。
(只有1条)
(3)过直线外一点作已知直线的平行线。
(只有1条)
5、画长方形的方法(用作垂线或平行线方法)
长方形特征:
(1)两组对边分别平行
(2)相邻的两条边互相垂直。
(四)三角形:
由三条线段围成的图形叫作三角形。
1、从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线,顶点和垂足之间的线段叫三角形的高,这条对边叫做三角形的底。
(任意三角形都有3条高)
2、三角形具有稳定性。
3、三角形任意两边的和大于第三边。
3、分类
(1)按角的不同分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
(2)按边分,有两种特殊三角形:
等腰三角形和等边三角形(正三角形)
(注意:
等边三角形是特殊的等腰三角形。
)
4、任意三角形的内角和是180度。
(1)普通三角形的角:
180-1-2=3
(2)等腰三角形:
顶角=180-底角×2底角=(180-顶角)÷2
(3)等边三角形的角:
180÷3=60
(4)直角三角形的锐角:
90-1=2等腰直角三角形的底角:
90÷2=45
(五)平行四边形和梯形
1、两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
(对边相等,对角相等)
2、只有一组对边平行的四边形叫做梯形。
3、长方形和正方形都是特殊的平行四边形。
正方形是特殊的长方形。
4、平行四边形容易变形。
5、两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
6、从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线,这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高,垂足所在的边叫做平行四边形的底。
7、一般来说,在梯形中长的底叫下底,短的底叫上底。
(上、下底必须在平行边上。
)
8、画高。
(必须用虚线表示,必须画上垂足符号。
)
9、四边形之间的关系。
4个直角4边相等
平行四边形长方形正方形
(两组对边分别平行)
两腰相等
梯形等腰梯形
(只有一组对边平行)
不规则四边形(没有一组对边平行)
(六)周长、面积和体积
1、周长:
封闭图形一周的长度,是它的周长。
2、面积:
物体的表面或封闭图形的大小,就是它们的面积。
3、体积:
物体所占空间的大小,就是它的体积。
4、圆:
(1)相交于圆中心的一点,这一点叫做圆心,用字母O表示。
连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径,用字母r示。
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径,用字母d示。
圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小。
(2)在同一个圆内,有无数条直径和半径。
直径是半径的2倍,半径是直径的一半。
(3)圆周率:
一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数,叫做圆周率,它是个无限不循环小数。
5、所有计算公式
平面图形
长方形
正方形
平行四边形
三角形
梯形
圆形
周长(C)
C=2(a+b)
a=C÷2-b
b=C÷2-a
C=4a
a=C÷4
与长方形的周长计算相似
三条线段之和
四条线段之和
C=πd=2πr
r=C÷π÷2=d÷2
d=C÷πd=2r
面积(S)
S=ab
S=a×a=a2
S=ah
S=ah÷2
S=(a+b)h÷2
S=πr2
立体图形
长方体
正方体
圆柱体
圆锥体
总棱长(L)
L=4(a+b+h)
a=L÷4-b-h
b=L÷4-a-h
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