编辑北师大版九年级数学上册第三章教案.docx

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编辑北师大版九年级数学上册第三章教案

第三章平行四边形

§3．1．1平行四边形

（一）

第1课时

一、教学目标

知识与技能：

1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力．

2．能够用综合法证明平行四边形的性质定理

过程与方法：

1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力．

2．能够用综合法证明平行四边形的性质定理以及其他相关结论．

3．体会证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法

情感与态度：

通过利用已有的公理和定理来证明新的结论的过程，使学生从中领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神

二、教学重难点：

教学重点：

平行四边形的性质定理的证明．

教学难点：

探索、寻求性质定理的证明过程．

三、教学内容

Ⅰ．巧设现实情景，引入新课

任意作一个四边形，依次连接它四边的中点，你能得到一个怎样的四边形?

你的结论对所有的四边形都成立吗?

任意的一个四边形，依次连接其四边的中点，所得到的四边形是平行四边形．

对于所有的四边形，此结论都成立．

Ⅱ．讲授新课

定义：

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．它既是性质，又是判定．

如图：

∵MN//QP，NP//MQ，∴四边形MNPQ是平行四边形．

反过来，

∵四边形MNPQ是平行四边形，∴MN//PQ，NP//MQ．

平行四边形除了具有两组对边分别平行这一特殊性质外，还有什么特殊性质?

1.平行四边形的对边相等．

2.平行四边形的邻角互补．

3.平行四边形的对角相等．

4.平行四边形的对角线互相平分．

5.夹在两条平行线间的平行线段相等．

证明“平行四边形的对边相等”

命题的题设是：

平行四边形，其结论是：

平行四边形的对边相等．

图形如下：

已知：

四边形ABCD是平行四边形，求证：

AB＝CD，BC＝DA．

证明：

连接AC．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，BC//DA．∴∠1＝∠2，∠3=∠4．

∵AC＝CA，∴△ABC≌△CDA．∴AB＝CD，BC＝DA．

定理：

平行四边形的对边相等．

以后就可以直接应用：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，BC＝DA．

证明“平行四边形的对角相等”，

已知：

四边形ABCD是平行四边形，求证：

∠B＝∠D，∠A=∠C

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB//CD，BC//DA．

∴∠B+∠C＝180°，∠C+∠D＝180°．

∴∠B=∠D

同理可证：

∠A＝∠C

证明：

等腰梯形在同一底上的两个角相等．

如下图，已知在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC．

求证：

∠B＝∠C，∠A＝∠D．

证明：

如下图，过点D作DE//AB，交BC于点E，则∠1＝∠B．

∵AD//BC，DE//AB，

∴四边形ABED是平行四边形，

∴AB=DE，（平行四边形的对边相等）

∵AB=DC，

∴DC＝DE，

∴∠1=∠C，

∴∠B＝∠C，

∵∠A+∠B=180°，∠ADC+∠C=180°，

∴∠A＝∠ADC．

证明：

同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．

如下图，已知在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=∠C

求证：

AB＝CD．

证明：

过点D作DE//AB，交BC于点E.

则∠1＝∠B．

∵AD//BC，AB//DE，

∴四边形ABED是平行四边形，

∴AB＝DE．

∵∠B＝∠C，

∴∠1＝∠C，

∴DE＝DC，

∴AB＝DC．

Ⅲ．课堂检测

（一）课本P74，随堂练习1、2

1．证明；平行四边形的对角线互相平分．

如下图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．

求证：

OA=OC，OB=OD．

证明：

∵在平行四边形ABCD中，AB//CD，

∴∠1＝∠4，∠2=∠3．

又∵AB=CD，

∴△OAB≌△OCD，

∴OA＝OC，OB＝OD．

Ⅳ．课时小结

本节课我们主要利用前面学过的公理和定理来证明了平行四边形的性质定理及等腰梯形的性质定理、判定定理．

Ⅴ．课后作业

（一）课本P74习题3．11、2

（二）1．预习内容：

课本P75～P76．

2．预习提纲：

（1）回忆平行四边形的判别条件．

（2）如何利用公理或定理来证明平行四边形的判别条件?

Ⅵ．板书设计

Ⅶ．教学后记

§3．1．2平行四边形

（二）

一、教学目标：

知识与技能：

1．推理论证能力的培养．

2．能够用综合法证明平行四边形的判定定理.

过程与方法：

1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力．

2．能够用综合法证明平行四边形的判定定理．

3．体会在证明过程中所运用的类比、转化、归纳等数学思想方法

情感与态度：

1．通过猜想、证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．

2．体会在解决问题的过程中，如何与他人合作交流

二、教学重难点：

教学重点：

平行四边形的判定定理．

教学难点：

探索、寻找判定定理．

三、教学内容：

I．巧设现实情景，引入新课

练习

如上图；

（1）若四边形ABCD是平行四边形，则∠A＝，∠B=；

（2）若四边形ABCD是平行四边形，则AB=，BC＝；

（3）若四边形ABCD是平行四边形，则ABCD；

（4）若平行ABCD的对角线AC、BD交于点O，则OA＝，OB=.

Ⅱ．讲授新课

定理：

两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

定理：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

定理：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

定理：

对角线互相平分的四边形是平行四边形．

证明：

如图中的四边形MNOP是平行四边形．

解：

在Rt△MON中，OM2+ON2＝MN2．即42+（x-5）2＝（x-3）2．

整理，得4x＝32，解得x=8．

从而可得：

ON=3，MN＝5，PM＝3．所以MN＝PO，PM＝ON．

因此，四边形MNOP是平行四边形．

Ⅲ．课堂检测

（一）课本P76随堂练习2、3．

2．如下图，已知在//四边形ABCD中，BF＝DE．

求证：

四边形AFCE是平行四边形．

证明：

在ABCD中，AB＝CD,AB//CD．∵BF＝DE，∴AF＝CE．

∴四边形AFCE是平行四边形．

（也可以证：

AE＝CF，CE＝AF；或证：

AE//CF；或证明对角相等）

3．如图，已知在//四边形ABCD中，∠ABC的平分线与AD相交于点P．

求证：

PD+CD＝BC．

证明：

过点P作PE//AB，交BC于点E，则∠1＝∠3．在ABCD中，AB//CD，BC//AD，则PE//CD．∴四边形PDCE是平行四边形，∴PD＝CE，DC＝PE．∵BP平分∠ABC，∴∠1=∠2，∴∠3＝∠2，∴PE＝BE．∴PD+CD＝CE+PE=CE+BE＝BC．即PD+CD=BC．

（二）看课本P75～P76，然后小结．

Ⅳ．课时小结

本节课我们主要探讨并证明了平行四边形的判定定理、课本以“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”和“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这两个定理为主，以其他两个为辅，但我们都要掌握，并且在解题过程中应灵活应用．

Ⅴ．课后作业

（一）课本P77习题3．22

（二）1．预习内容：

课本P78～P80．

2．预习提纲：

（1）三角形的中位线的定义．

（2）三角形中位线的性质定理及其证明．

Ⅵ．板书设计

Ⅶ．教学后记

§3．1．3平行四边形（三）

一、教学目标：

知识与技能：

1．了解三角形的中位线的定义．

2．会证明三角形中位线定理

过程与方法：

1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力．

2．能够用综合法证明三角形的中位线定理．

3．体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法。

情感与态度：

通过学生动手操作、观察、实验，完成了自主探索、猜想与证明这一全过程，让学生真正体验知识的发生和发展过程，培养了学生的创新思维能力。

二、教学要点

教学重点：

三角形中位线定理的证明

教学难点：

三角形中位线定理的证明．

三、教学内容

I．巧设现实情景，引入新课

任意作一个四边形．依次连接它各边的中点，这时我们得到一个怎样的四边形呢?

顺次连接不同的四边形各边中点，所得到的均是平行四边形．

Ⅱ．讲授新课

三角形的中位线

连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线．

注意：

三角形的中位线与三角形的中线不同．如下图：

BD是△ABC的中线，而MN是△ABC的中位线．

如下图，连接每两边的中点，看上去就得到了四个全等的三角形．

你认为他的方法对吗?

你能设法验证一下吗?

我把三角形及各边的中点用字母表示出来，然后再剪切、重叠，发现了：

△AEF≌△EBD≌△FDC≌△DFE．找到对应边、对应角后，得到了：

EF＝BC，EF//BC；DE=BC．DE//AC；DF=AB，DF//AB．

角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．

如下图，已知DE是△ABC的中位线．

求证：

DE//BC，DE=1/2BC．

分析：

要证明一条线段等于另一条线段的一半，可将较短的线段延长一倍，或者截取较长线段的一半等等．

由于本题中有中点，所以可将中位线延长一倍．即延长DE到F，使EF＝DE．然后连结CF，这样△ADE与△CFE显然是全等的．再证四边形DBCF是平行四边形，命题即得证．

证明：

延长DE至F，使EF＝DE，连结CF．（如下图）

∵AE＝CE，∠AED＝∠CEF，

∴△ADE≌△CFE，

∴AD＝CF，∠ADE＝∠F，

∴BD//CF，

∵AD＝BD，∴BD＝CF．

∴四边形BCFD是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

∴DF//BC，DF＝BC，

∴DE//BC，DE＝1/2BC．

定理：

三角形的中位线平行于第三边．且等于第三边的一半．

应用时可这样书写：

∵DE是△ABC的中位线，∴DE//BC，DE=BC．

做一做

如下图，任意作一个四边形，并将其四边的中点依次连接起来，得到一个新的四边形，这个新四边形的形状有什么特征?

请你证明你的结论，并与同伴进行交流．

这个新四边形的形状是平行四边形．

证明：

连结AC．

∵E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，

∴EF//AC，EF＝AC，

GH//AC，GH＝AC，

∴EF//GH，EF＝GH，

∴四边形EFGH是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

Ⅲ．课堂练习

（一）课本P80随堂练习1

1．如下图，A、B两地被池溏隔开，在没有任何测量工具的情况下，小明通过下面的方法估测出了A、B间的距离：

先在AB外选一点C，然后步测出AC、BC的中点M、N，并测出了MN的长，由此他就知道了A、B间的距离．你能说说其中的道理吗?

答案：

因为MN是△ABC的中位线，因此：

MN=AB，即AB=2MN．

Ⅳ．课时小结

这节课我们主要探讨了三角形的中位线的定义及其性质．

三角形的中位线定理：

∵点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE//BC，DE=BC．

该定理提供了一种证明直线平行和线段数量关系的新方法．应用这个定理时，关键是找出（或构造出）符合定理条件的基本图形．

注意：

中位线定理中有两个结论：

一是平行关系，二是数量关系，应用时应根据需要选用相应的结论．

Ⅴ．课后作业

（一）课本P83习题3．31、2、3、4

（二）1.预习内容：

课本P84～P85

Ⅵ．板书设计

Ⅶ．教学后记

§3．2.1特殊平行四边形

（一）

第4课时

一、教学目标：

1.知识与技能：

能用综合法来证明矩形的性质定理和

判定定理以及相关结论;能运用矩形的性质进行简单的证明与计算

2.过程与方法：

经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力;进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用;体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法．

3.情感、态度与价值观：

通过学习矩形的性质，让学生从矩形与平行四边形的区别与联系中，体会特殊与一般的关系，渗透集合的思想，培养学生的辩证唯物主义观念．

二、教学要点：

1.教学重点：

矩形的性质的证明．

2.教学难点：

矩形的性质的证明以及它与平行四边形的从属关系

三、教学内容

Ⅰ.创设情境，引发探究

1、平行四边形的性质：

对边平行且相等；对角相等邻角互补；对角线互相平分。

2、平行四边形的判定：

A.从边看：

两组对边分别平行；两组对边分别相等；

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

B.从角看：

两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

C.从对角线看：

对角线互相平分

特殊的平行四边形有哪些?

还记得它们与平行四边形的关系吗?

能用一张图来表示它们之间的关系吗?

（有一个角是直角的平行四边形是矩形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；而有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形．由此看来，矩形、菱形、正方形都是平行四边形，它们都是有特殊性质的平行四边形．正方形不仅是特殊的平行四边形，而且也是特殊的矩形、特殊的菱形．所以可用下图来表示它们之间的关系：

）

它们既然是平行四边形，就具有平行四边形的性质．又因为它们是特殊的平行四边形，所以它们又具有各自的独特性质．

今天我们先来研究矩形的特殊性质．

Ⅱ.探究新知、学习新课

矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．

已知矩形ABCD，求证：

AC＝DB．

证明：

在矩形ABCD中，

∵∠ABC＝∠DCB＝90°，（矩形的四个角都是直角）

AB＝DC，（平行四边形的对边相等）

BC＝CB，∴△ABC≌DCB．∴AC=DB．

定理：

矩形的四个角都是直角．矩形的对角线相等．

数学语言表达：

∵矩形ABCD，

∴∠A=∠B＝∠C=∠D＝90°．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC＝DB．

例题：

证明：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

如图，已知BE是Rt△ABC的斜边AC上的中线．

求证：

BE＝1/2AC．

分析：

要证明这个结论，可构造辅助图形——矩形，所以可以过点A作BC的平行线，也可以延长BE到D，使DE=BE，然后证明四边形ABCD是矩形．再利用“矩形的对角线相等且互相平分”即可证明结论．

证明：

过点A作BC的平行线与BE的延长线交于点D，连接CD．（如图）

则∠DAE＝∠BCE．

∵BE是Rt△ABC的斜边AC上的中线，∴AE＝EC．又∵∠AED＝∠CEB，∴△AED≌△CEB．∴AD＝BC．∵AD//BC．∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形．∴AC=BD，BE＝ED＝

BD．∴BE＝

AC．

我们通过推理进一步得证了这个结论是正确的．那么我们以后就可直接应用了．

∵BE是Rt△ABC的AC上的中线，∴BE＝

AC．

[例题]如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD＝120°，AB＝2．5cm．求矩形对角线的长．

解∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，且OA＝OC＝

AC，OB＝OD＝

BD．（矩形的对角线相等且互相平分）∴OA＝OB．∵∠AOD＝120°，∴AOB＝60°．∴OA=OB＝AB．∴AC＝2OA＝2×2．5＝5（cm）．

已知一个四边形是矩形，那么就会得到一些相应的性质，如果要判定一个四边形是矩形，那除了根据定义判定外，还有没有其他的方法呢?

下面我们通过做练习来证明矩形的判定定理．

已知一个四边形是矩形，那么就会得到一些相应的性质，如果要判定一个四边形是矩形，那除了根据定义判定外，还有没有其他的方法呢?

下面我们通过做练习来证明矩形的判定定理．

Ⅲ.课堂检测

（一）课本P85随堂练习1

1．证明：

有三个角是直角的四边形是矩形．

已知：

在四边形ABCD中，∠A＝∠B=∠C＝90°．求证：

四边形ABCD是矩形．

证明：

∵∠A＝∠B=90°，∴∠A+∠B=180°．∴AD//BC．同理可证：

AB//CD．∴四边形ABCD是平行四边形．∵∠A=90°，∴//四边形ABCD是矩形．

Ⅳ.归纳提炼：

1、定义、性质及推论、判定2、应用

Ⅴ.课后作业课本P86随堂练习1课本P87,习题3．42、3

Ⅵ.板书设计

Ⅶ.教学后记

§3．2.2特殊平行四边形

（二）

第5课时

一、教学目标：

1.知识与技能：

能够用综合法证明菱形、正方形的性质定理和判定定理.

2.过程与方法：

经历猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理论证能力；进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用；体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法．

3.情感与态度通过组织学生进行推理过程的活动，培养学生抽象概括、合情推理的能力以及积极探索客观真理的科学态度

二、教学要点：

1.教学重点：

菱形的性质及判定定理的证明

2.教学难点：

菱形的性质及判定定理的证明

三、教学内容：

Ⅰ.菱形的性质

定义：

有一组邻边相等的平行四边形是菱形．

（因为菱形是特殊的平行四边形，所以它不仅具有平行四边形的所有性质，而且具有它本身独特的性质．即对边平行；四条边都相等；对角相等对角线互相平分、垂直，并且每条对角线平分一组对角，菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形．）

菱形的这些性质是我们通过猜想，验证得到的，这节课我们就来证明菱形的这些性质．

定理一：

菱形的四条边相等．

已知：

四边形ABCD是菱形，

求证：

AB＝BC＝CD＝DA．

证明：

（由学生独立完成）

定理二：

菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线都平分一组对角。

已知在菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如图．

求证：

AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCDBD平分∠ABC和∠ADC．

证明：

∵四边形ABCD是菱形．∴AB＝AD．（菱形的四条边都相等），OB＝OD．（菱形的对角线互相平分），∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，（等腰三角形三线合一），∴AC平分∠BCD，同理BD平分∠ABC，BD平分∠ABC和∠ADC．

[例题]如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，

求：

（1）对角线AC的长度；

（2）菱形ABCD的面积．

解：

（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴∠AOD＝90°，（菱形的对角线互相垂直）

OD=BD=×10=5（cm）．（菱形的对角线互相平分）

∴OA＝＝12（cm）．∴AC＝2OA＝2×12＝24（cm）．（菱形的对角线互相平分）

（2）菱形ABCD的面积＝△ABD的面积+△CBD的面积＝2×△ABD的面积＝2×BD×OA＝2××10×12=120（cm2）．

同学们再来看例题的图形，你还会发现什么呢?

（菱形ABCD被对角线AC、BD分成四个全等的直角三角形．

这四个全等直角三角形的斜边是菱形的边，两条直角边又是菱形的对角线的一半．每个直角三角形的底和高分别是两条对角线的一半，而菱形的面积正好是这四个直角三角形的面积的和，所以由此推出：

菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半．即菱形ABCD的面积＝4×△AOB的面积—4××BD×AC＝×BD×AC．

如果菱形的两条对角线长分别是a、b，则菱形的面积为S=a•b．

Ⅱ.随堂检测

已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积。

怎样判别一个平行四边形是菱形?

请证明你的结论．

Ⅲ.菱形的判定

我们可以用定义来判别．即有一组邻边相等的平行四边形是菱形．

定理三：

四条边都相等的四边形是菱形．

定理四：

对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

已知：

在□四边形ABCD中，对角线AC⊥BD．

求证：

□四边形ABCD是菱形．

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形。

∴OB＝OD．（平行四边形的对角线互相平分）∵AC⊥BD，垂足为O，

∴AB＝AD．（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）

∴□四边形ABCD是菱形．

这样就得到了菱形的判定定理：

对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

Ⅳ.随堂检测

课本P88，随堂练习1．

1．证明：

四条边都相等的四边形是菱形．

已知：

在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA

求证：

四边形ABCD是菱形．

证明：

∵AB＝CD，BC＝DA，

∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC

∴四边形ABCD是菱形．

Ⅴ.板书设计

Ⅵ.教学后记

§3．2.3特殊平行四边形

（二）

第6课时

一、教学目标

1.知识与技能：

能够用综合法证明依次连接正方形（矩形、菱形、平行四边形）各边中点得到正方形（菱形、矩形、平行四边形）和概括出一般结论；经历连接四边形各边中点所的图形的证明，能用三角形中位线及平行四边形、特殊平行四边形的定理证明相关结论

2.过程与方法：

通过探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理论证能力；通过探索过程,使学生掌握和理解探索结论的方法

3.情感与态度：

通过学生活动,培养学生主动探索的学习习惯；通过探究活动,体会知识间的内在联系和类比转化、归纳、概括的思想方法。

二、教学要点

1.教学重点：

用综合法证明和探索结论的方法。

2.教学难点：

综合法证明。

三、教学内容：

1.情景创设、引发探究

学生在经过七年级和八年级的数学学习，已经形成了较强的探究能力，也具有一定的猜想归纳能力，能够通过自身的探索和认识得出正确的结论。

在定理的处理上，应该能够通过“探索——发现——猜想——证明”这一过程很好的完成。

正方形的性质学生已有所了解，这里的重点是要严格证明它们，能用平行四边形及特殊平行四边形的定理证明相关题目。

2.议一议：

依次连接正方形各边中点能得到一个怎样的图形呢？

先猜一猜，再证明。

教学设计：

给学生空间自主证明，这个题目综合应用到三角形中位线定理、平行四边形及特殊平行四边形的定理，可以进一步训练学生的逻辑推理能力。

（１）依次连接菱形或矩形四边的中点能得到一个什么图形？

先猜一猜，再证明。

（２）依次连接平行四边形四边的中点呢？

（３）依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状与哪些线段有关系？

有怎样的关系？

3.随堂检测：

如图，ABCDXA表示一条环形高速公路，Ｘ表示一座水库，Ｂ、Ｃ表示两个大市镇。

已知ABCD是一个正方形，XAD是一个等边三角形。

假设政府要铺设两条输水管XB和XC,从水库向B、C两个市镇供水，那么这两条水管的夹角（即∠ＢＸＣ）是多少度？

教学设计：

小组合作，讨论探索计算思路。

由小组代表发言说明计算思路。

P９4、１、

4.归纳提炼：

本节课你有什么收获？

你有什么困惑？

你有什么新的发现？

5.作业布置：

习题　P94　１、2

6.板书设计

7..教学后记

回顾与思考

（一）

第7课时

一、教学目标

1.知识与技能：

回顾综合法证明平行四边形、矩形、菱形和正方形等有关的性质定理和判定定理的过程，并会灵活应用性质与判定解决问题

2.过程与方法：

通过回顾与思考，进一步培养学生的推理论证能力，培养学生归纳，整理所学知识的能力，并进一步体会证明过程中所运用的归纳、转化等数学思想方法

3.情感与态度：