初二数学上册角平分线的性质与判定.docx
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初二数学上册角平分线的性质与判定
第六节角平分线的性质与判定
中考考点分析
在教材中的地位
重点、难点
角平分线的性质与判定在考试中常出现在综合题中,需要学生根据实际情况作辅助线来帮助分析。
角平分线的性质在教材中位于全等三角形章节的最后一节,角平分线的三种常用辅助线的作法涉及全等三角形的5个判定,角平分线的性质能够帮助学生简化书写步骤。
角平分线的判定为学生提供了另一种证明角相等的方法。
理解并熟练掌握角平分线的性质与角平分线的判定。
通过角平分线的三种常用辅助线的训练,熟悉推理证明的思路方法和书写格式,培养和提高逻辑思维能力。
讲点1角平分线的性质
例1如图,AD是△ABC的平分线,DE⊥AB交AB于点E,DF⊥AC交AC于点F,若S
=7,DE=2,AB=4,则AC的值为()(2013,硚口区期中)
A.4B.3C.6D.5
题意分析根据角平分线性质可得DE=DF,AD将△ABC的面积分成两部分,DE,DF分别为这两部分的高,巧妙地求出AC的长。
解答过程:
解题后的思考:
练1.1如图,已知△ABC中,AB=10,BC=15,CA=20,若点O是△ABC内角平分线的交点,则△ABO,△BCO,△CAO的面积比是________________。
练1.2如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点E在BD上,连接AE,CE,DF⊥AE,DG⊥CE,垂足分别是F,G,求证:
DF=DG。
(2013,江汉区期中)
讲点2角平分线的判定
例2如图,已知BE=CF,BF⊥AC于点F,CE⊥AB于点E,BF和CE交于点D。
求证:
AD平分∠BAC.
题意分析要证AD平分∠BAC,若证得DE=DF,问题就可以解决,因此先证DE=DF。
证明两个角相等除了利用平行线截得的同位角和内错角、全等三角形的对应角、等腰三角形两底角之外,角平分线的判定也是常用方法,应注意灵活掌握。
解答过程:
解题后的思考:
练2.1如图,在△ABC中,AC=AB,点D在BC上,若DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,DF⊥DE,求证:
AD⊥BC。
练2.2如图,PB,PC分别是△ABC的外角平分线,它们相交于点P,求证:
点P在∠A的平分线上。
讲点3三角形角平分线交于一点
例3如图是一块三角形形状的草坪,记为△ABC,现要再草坪内建一凉亭,使凉亭到草坪三条边的距离都相等,那么凉亭的位置应选在()(2014,江汉区期中)
A.△ABC的三条中线的交点B.△ABC的三边的垂直平分线的交点
C.△ABC的角平分线的交点D.△ABC的三边高所在直线的交点
题意分析三角形三条角平分线交于一点,这个点到三边的距离相等。
解答过程:
解题后的思考:
练3.1已知△ABC中,AB=10,AC=6,BC=8,若三条内角平分线交于点O,OG⊥AB于G,则AG的长度为_____________。
(2013,江岸区期中)
练3.2如图,直线a,b,c表示三条相互交叉环湖而建的公路,现在建立一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有()(2013,武昌区七校联考)
A.1个B.2个C.3个D.4个
讲点4利用角平分线截长补短
例4如图,已知四边形ABCD中,BA>BC,DA=DC,BD平分∠ABC,请你猜想∠A与∠C的数量关系,并证明你的猜想。
(2014,武昌区七校联考)
题意分析过D向BA,BC引垂线,进而找到三角形全等,得到∠A与∠C的数量关系。
解答过程:
解题后的思考:
练4.1如图,AD∥BC,DC⊥AD,AE平分∠BAD,且E是DC的中点,问:
AD+BC与AB之间有何关系?
练4.2在△ABC中,AD是∠BAC的角平分线,且AB=AC+CD,若∠BAC=60°,则∠ABC的度数为()(2013,汉阳区期中)
A.60°B.45°C.40°D.30°
考点与课堂练习
1.如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=2,则PQ的最小值为()(2011,衢州)
A.1B.2C.3D.4
2.如图,已知点P,D,E分别在OC,OA,OB上,下列推理:
∵OC平分∠AOB,∴PD=PE;
∵OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE;
∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE;
其中正确的个数有()
A.0个B.1个C.2个D.3个
3.如图,AB∥CD,点P到AB,BC,CD的距离都相等,则∠P=_______。
4.如图,∠AOC=∠BOC=15°,DC∥x轴,CB⊥x轴于点B,点D,B的横坐标分别为2
,4+2
,则点C的坐标为______________。
(2013,江岸区期中)
5.如图,在四边形ABCD中,AB=BC,BF是∠ABC的平分线,AF∥DC,连接AC,CF。
求证:
CA是∠DCF的平分线。
(2013,汉阳区期中)
6.如图,F,G是OA上两点,M,N是OB上两点,且FG=MN,S
=S
,试问点P是否在∠AOB的平分线上?
7.如图,已知点P为OC上一点,PD=PE,∠ODP+∠OEP=180°,求证:
OP平分∠AOB。
8.如图,∠C=90°,AC=BC,AD是∠BAC的角平分线,求证:
AC+CD=AB。
9.如图,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α,AD,BE交于点H。
连接CH。
(1)求证:
△ACD≌△BCE;
(2)求证:
CH平分∠AHE;(3)求∠CHE的度数(用含α的式子表示)
10.如图,点O是△ABC两角平分线BM,CN的交点,∠A=60°。
(1)求∠BOC的度数;
(2)求证:
OM=ON;
(3)若OB=OC,求证:
△ABC是等边三角形;
(4)求证:
CM+BN=BC。
11.已知∠MAN,AC平分∠MAN.
(1)在图1中,若∠MAN=120°,∠ABC=∠ADC=90°,求证:
AB+AD=AC;
(2)在图2中,若∠MAN=120°,∠ABC+∠ADC=180°,则
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由。
12.如图,在△ABC中,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点M,∠BCA的邻补角的平分线交AB的延长线于点P,连接MP交BC于点K,求∠AKM的度数。
13.在平面直角坐标系中,A(a,b)在第一象限内,且a,b满足条件b-a=
,AB⊥y轴于B,AC⊥x轴于C。
(1)求△AOC的面积;
(2)如图,E为线段OB上一点,连AE,过A作AF⊥AE交x轴于F,连接EF,ED平分∠OEF交OA于D,过D作DG⊥EF于G,求DG+
EF的值;
(3)如图,D为x轴上一点,AC=CD,E为线段OB上一动点,连接DA,CE,F是线段CE的中点,若BF⊥FK交AD于K,请问∠KBF的大小是否变化?
若不改变,请求其值;若改变,求出变化的范围。
(2013,江岸区期中三校联考)
课后反馈
1.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC交BC于D,DE垂直AB于E,若DE=1.5cm,BD=3cm,则BC=()。
A.3cmB.7.5cmC.6cmD.4.5cm
2.如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=12,BC=15,S
=36,则DE的长是____________,S
=___________。
3.在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,BD:
DC=3:
2,点D到AB的距离为6,则BC的长为()
A.10B.20C.15D.25
4.如图,四边形ABCD中,∠D=∠ABD=90°,点O为BD的中点,且OA平分∠BAC。
(1)求证:
OC平分∠ACD;
(2)求证:
OA⊥OC;
(3)求证:
AB+CD=AC.
5.如图,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,且DB=DC,求证:
BE=CF。
6.如图1,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线,AD,CE相交于点F。
(1)请你判断并写出EF与FD之间的数量关系。
(2)如图2,如果∠ACB不是直角,而
(1)中的其他条件不变,请问,你在
(1)中所得到的结论是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由。
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