应用数理统计吴翊李永乐假设检验课后作业参考答案.docx
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应用数理统计吴翊李永乐假设检验课后作业参考答案
第三章假设检验
课后作业参考答案
3.1某电器元件平均电阻值一直保持2.64Q,今测得采用新工艺生产36个元件的平均电阻值为2.61Qo假设在正常条件卞,电阻值服从正态分布,而且新工艺不改变电阻值的标准偏差。
已知改变工艺前的标准差为0.06Q,问新工艺对产品的电阻值是否有显著影响?
(G=0.01)
解:
⑴提出假设H°:
“=2・64,H「〃h2・64
(2)构造统计量u=士孕=24—2.64=_3b。
/亦0.06/6
(3)否定域V=\u Ua>= (4)给定显著性水平a=0.01时,临界值ua=-2.575,ua=2.575 —1—— (5)U 3.2一种元件,要求其使用寿命不低于1000(小时),现在从一批这种元件中随机抽取25件,测得其寿命平均值为950(小时)。 已知这种元件寿命服从标准差b=100(小时)的正态分布,试在显著水平0.05F确定这批元件是否合格。 解: 提出假设: 1000,<1000 构造统计量: 此问题情形属于u检验,故用统计量: 此题中X=950cto=1OOn=25//0=1000 代入上式得: 拒绝域: v={|i】|>心 本题中: q=0.05u095=1.64 即,同〉%拒绝原假设 .•.认为在置信水平0.05下这批元件不合格。 3.3某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布N(“,b‘),其中b=40(Rg/c沪)。 现从一批这种钢索的容量为9的一个子样测得断裂强度平均值为戸,与以往正常生产时的“相比,乂较“人20(住/。 用)°设总体方差不变,问在a=0.01K能否认为这批钢索质量显著提高? 解: (1)提出假设Hj.p=%H「・“° (2)构造统计屋12篇=1.5 ⑶否定域《= (4)给定显著性水平a=0.01时,临界值坷=2.33 (5)u<11,_0,在否定域之外,故接受原假设,认为这批钢索质量没有显著提高。 3.4某批矿砂的五个样品中银含量经测定为(%): 3.253.273.243.263.24 设测定值服从正态分布,问在&=0.01下能否接受假设,这批矿砂的银含量为3.25? 提出假设: Ho./<=“0=3.25比: A丰“。 构造统计量: 本题属于k未知的情形,可用t检验,即取检验统计量为: LX_“o 本题中,1=3.252,S=0.0117,n=5 代入上式得: 否定域为: V=4t>t—> 1 本题中,a=0・0y(4)=4.6041 ・・・接受认为这批矿砂的線含量为3.25。 3.5确定某种溶液中的水分,它的10个测定值戸=0.452%,S=0.035%,设总体为正态分布N(//,ct2),试在水平5%检验假设: (/)H0: //>0.5%H「“VO・5% (〃)H°9»0.04%H]yv0.0.4% ⑴构造统计量: 本文中<7未知,可用/检验。 取检验统计量为X-//O sA/TT 本题中,乂=0.452%S=O.O35% 代入上式得: 0.452%-0.5% t二「=-4.1143 0.035%/V10-l 拒绝域为: V二1)} 本题中,67=0.0511=10 *95(9)=1.8331<忖=4.1143 •••拒绝(“)构造统计量: “未知,可选择统计量 .11S2r=— 本题中,S=0.035%11=10(r0=0.04% 代入上式得: 否定域为: V={z2>Z1ta(n-l)} 本题中, 总5-1)=加95(9)=16.919 •••才v总(〃-1) •••接受H。 3・6使用A(电学法)与E(混合法)两种方法来研究冰的潜热,样品都是-0.72P的冰块,下 列数据是每克冰从-0.72P变成(TC水的过程中吸收的热量(卡/克); 79.97,80.05,80.03,80.02,80.00,80.02 方法B: 80.02,79.94,79.97,79.98,79.97,80.03,79.95,79.97 假设每种方法测得的数据都服从正态分布,且他们的方差相等。 检验: 两种方法的总体 均值相等。 (g=0・05) 解: —]2-13 X=一工X,=80.020&Y=—工乙=79.9788 13,•=! 8,-=1 =5.4xlO_4,S;=i^(y.-y)2=8.6xl0-4 "8台 ⑴提出假设Ho: “1=H]: “1H“2 (3)否定域 (4)给定显著性水平a=0.05时,临界值 ta(①+佝一2)=g.975(19)=2.0930 1—— 2 (5)t>t&(耳+几-2),样本点在否定域内,故拒绝原假设,认为两种方法的总体均值不 1—~ 相等。 3.7今有两台机床加工同一种零件,分别取6个及9个零件侧其口径,数据记为 X\,X,…X©及X,…岭,计算得 6699 工X,=2046工=6978.93,工匕=307.&工罗=15280.173 1=1i=i1=1(=1 假设零件的II径服从正态分布,给定显著性水平<7=0.05,问是否可认为这两台机床加工 零件II径的方法无显著性差异? 解: =0.357 s;=—£x「一=o.345,s;=-Yr/-y"□曰・n/=i (1)提出假设Hj・员=cr;,KHg⑵构造统计十號赍=3 (3)否定域 v=< F<化(心一1,从一1) >5 ■J F>F&(心一1,耳一1) >= 〉Fa(/Ji-—1) 1-— 1——*> — (4)给定显著性水平a=0.05时,临界值 Fa(©-L«2-1)=^0.975(5$)=4.821—— (5)F 1——r 件11径的方差无显著性影响。 3.8用重量法和比色法两种方法测定平炉炉渣中S/O? 的含量,得如下结果 重量法: n=5次测量,壬=20.5%,S】=0.206% 比色法: n=5次测量,P=21.3%,S2=0.358% 假设两种分析法结果都服从正态分布,问 (1)两种分析方法的精度(b)是否相同? (it)两种分析方法的均值(“)是否相同? (a=0.01) 解: (i) 提出原假设: H°: q=6HjqHq 对此可采用统计量 比(q-l)S; 在H。 下,F〜F(耳-1,$-1),我们可取否定域为 v=bn鸟一1) F>F』勺一1—1) 13J 1— 9 J— 此时P(V|H°)二a=0.01 本题中,厲=5,{=20.5%,5=0.206% 厲=5,y=21.3%,5=0.358% 代入上式得: =0.3311 F—比(冬_1)S;_5*(5_1)*(0・206%严-n2(/^-1)5;_5*(5-1)*(0.358%)2 (X-Y) +n2S; 其中S: 二丄±(X厂X)2s;二丄t(y-F)2 “2>=1 在H。 成立时,/服从自由度为厲+n2-2的/分布o否定域为: v=^|t|>ra((®+"2-2))• 1_2 此时P(V|H0)= 本题中,4=5,殳=20.5%,5=0.206% 耳=5,y=21.3%,S】=0.358% 代入上式得: L阿兀」乂_刃 VV阳+乍; _p*5*(5+5-2)*(20.5%-21.3%) V5+5J5*(0.20&%严+5*(0.358%严 =-3.8737 ta(W1+«2~2)=t0995(8)=3.3554 1-一 2 •・・/〉t(厲+“2-2) 1 2拒绝检,即差距显著。 3.9设总体X〜•…乙§为样本,考虑如下检验问题: Ho.“=0H]: 〃=一1 ⑴试证下述三个检验(否定域)犯第一类错误的概率同为<7=0.05 Vx={2X<-1.645} V2={1.50<2晨2.125} V3={2X<-1.96或2灵>1.96} (11)通过计算他们犯第二类错误的概率,说明哪个检验最好? 解: 玖V3|H0)=l-P^|2X|<1.96|=2(1—①(1.96))=0.05 (li) 犯第二类错误的概率 0二p{x-v|6} %: A=p{2X>-1.645|//=-1| —>0.355=1-0(0.355)=0.36 V2: /72=1-p{1.50<2X<2.125|//=-1} ■ =l-P<^3.50<—<4.125> CT =1-0(4.125)+0(3.50) =1 匕: 03=p{|2牛1.96”=_1} =P<^0.04<—<3.96 二①(3・96)-①(0.04) =0.99996092-0.516=0.48396092 ・・・\: 出现第二类错误的概率最小,即V;最好。 3.10一骰子投掷了120次,得到下列结果: 点数 1 2 3 4 5 6 出现次数 23 26 21 20 15 15 问这个骰子是否均匀? (a=0.05) 解: 本题原假设为: H。 : £=2i=l,2,…,6 6 这里2120,口匕=20 本题釆用的统计量为PearsonF统计量 代入数据为: 1=1 /乙(k-1)二加956)=11-071 由于才<羞打(妄1)所以接受H。 即认为这个是均匀的。 3.11某电话站在一小时内接到电话用户的呼唤次数按每分钟记录的如卜•表: 呼吸次数 0 1 2 3 4 5 6 >=7 频数 8 16 17 10 6 2 1 0 试问这个分布能看作为泊松分布吗? (Q二0.05) 解: 检验冋题为: H「-P(x=k)=^-参数为2k\ 已知2的最大似然估计 -a81610 2=X=n=0*——+1*——+•…+6*——+7*——+••・=260606060 £=P{X=0}=-^-=宀0.1353 -2 P2=P^X=]}=—=2*宀0.2707 1! 22p-2 P5=P{X=2}=-—=2*宀0.2707 2'严 乙=p{X=3}=—r=1.5*严=0.2030 P5=P^X=4}= 24严 4! E=P{X=6}= P6=P{X=5}=— 15 0.0361 弐二=厶宀0.0120 6! 45 P3=P{X>1}=1^P{X<6}=0 2_§(/? .-npf_(8-60*0.1353)2(16_60*0.2707)(1-60*0.0120)' 7一召—np.60*0.1353—+—60*0.2707—+…+—60*0.0120 二0.6145由于力二/k-l)二加95(5)=11.071 ••-力y(k-i) 接受H。 即分布可以看作为泊松分布。 3.12检查产品质量时,每次抽取10个来检查,共抽取100次,记录每10个产品中的次品 数如下表: 次品数 0 1 2 3 4 5 6 ... 10 频数 35 40 18 5 1 1 0 ... 0 试问生产过程中出现次品的概率能否看作是不变的,即次品数X是否服从二项分布? (G=0.1) 解: 提出假设p(x=k)=c”(i_py 参数p的极大似然估计为: p=(0x35+lx40+---+10x0)/1000=0.1 厶=p(X=0)=09°=0.3487 片=p(X=1)=C;oO.llO.99=0.3874 P2=P(X=2)=C^0.120.98=0.1937 p,=p(X=3)=C^0.130.97=0.0574 P4=P(X=4)=C^0.140.96=0.0112 P5=P(X=5)=C^0.150.95=0.0015 P6=P(X=6)=C^oO.l6O.94=0.0001 p7=p3=p9=p10.o 才=£(—〃/汀=50734 x'-a(^-1)=Zo.9(6)=10.645,u-1)>z2,故在置性水平a=0.1下接受H°,认为 测得他们的直径为(单位: mm) 次品数服从二项分布。 15.0 15.8 15.2 15.1 15.9 14.7 14.8 15.5 15.6 15.3 15.1 15.3 15.0 15.6 15.7 14.8 14.5 14.2 14.9 14.9 15.2 15.0 15.3 15.6 15.1 14.9 14.2 14.6 15.8 15.2 15.9 15.2 15.0 14.9 14.8 14.5 15.1 15.5 15.5 15.1 15.1 15.0 15.3 14.7 14.5 15.5 15.0 14.7 14.6 14.2 3.13从一批滚珠中随机抽取了50个, 是否可认为这批滚珠直径服从正态分布? (&=0.05) 解: 设X为滚球的直径,其分布函数为尸(x),则检验问题为 比/⑴二①(口) (7 在H。 成立的条件下,参数〃,o■'的最大似然估计为〃二15.078,*=0.1833 14.6-15.078n1231 p{=C>()=①(-1.1163)=0.1321 10.4282 =^14-8-15.078 -0.4282 )-0(4.1163)=0(-0.6492)一①(-1.1163)=0.1260 ^15.1-15.078 30.4282 )-①(-0.6492)=0(0.0514)-0(-0.6492)=0.2624 15.4-15.078 ~~0.4282- )-0(-0.6492)=①(0.7520)-0(0.0514)=0.2535 P5=1-必一p2-“3-]儿=0.2260 壮p(kml)二九Q)二5.991 v总=5.991接受H。 认为滚珠直径服从正态分布。 ■ 1 (_q) 叫 Pl (叫- W 1 (0J4.6) 6 0.1321 6.6061 0.0556 2 [14.6J4.8) 5 0.1260 6.2976 0.2674 3 [14.8,15.1) 13 0.2624 13.1209 0.0011 4 [15.1,15.4) 14 0.2535 12.6752 0.1385 5 [15.4,-wo) 12 0.2260 11.3003 0.0433 0.5059 表3J3 吸烟 不吸烟 患慢性支气管炎 43 13 56 未患慢性支气管炎 162 121 283 205 134 339 患病率 21 9.7 16.5 3.14调查339名50岁以上吸烟习惯于患慢性支气管炎病的关系,得下表: 试问吸烟者与不吸烟者的慢性支气管炎患病率是否有所不同? (Q=0.01) 解: Hq: 吸烟考与不吸烟者的慢性支气管炎患病率相同 H「吸烟者与不吸烟者的慢性支气管炎患病率不同对每个对象考察两个指标,X一一是否吸烟,Y一一是否患病 X的取值: 吸烟,不吸烟: Y的取值: 患病,不患病 要研究吸烟与患慢性支气管炎病是否有关,这是一个r=s=2的二元列联表 =13,/? ^=162,=121,=56,/? 1=205,/? -,=283,/? 7=134 nLnAn2n.2 认为吸烟者的慢性 对于a=0.01,查表Z2i-a(l)=Z^ (1)=6.6352,所以拒绝 支气管炎病患病率较高。 3.15卜列为某种药治疗感冒效果的3*3列联表。 、年龄疗 儿童 成年 老年 显著 58 38 32 128 一般 28 44 45 117 较差 23 18 14 55 109 100 91 300 试问疗效与年龄是否有关(a=0.05)? 设X为年龄X严儿童X.=成年X3=老年 解・--3 'Y为疗效£=显著Y厂一般丫3=较差 Ho: Pij=p,*Pii二1,2,3j二1,2,3即X与Y独立 本题选择的统计量为 OAA/582382322282442452 109*128100*12891*128109*117100*11791*117232182142.、 109*55100*5591*55 =13.5862 心((_1)(—1))=加95(4)=9.488•••f>Xia(V-1)G-1))=Zo.95⑷拒绝H。 认为疗效与年龄有关。 3.16自动机床加工轴,从成品中抽取11根,并测得它们直径(单位: mm)如下: 10.5210.41 10.3210.1810.6410.77 10.8210.6710.5910.3810.49 试检验这批零件的直径是否服从正态分布? (a=0.05,用W检验) 解: 为了便于计算,列表如下: 这里11=11。 表3J6 k X⑷ X X(卄灯-Xg) 诃) 1 10.18 10.82 0.64 0.5601 2 10.32 10.77 0.45 0.3315 3 10.38 10.67 0.29 0.2260 4 10.41 10.64 0.23 0.1429 5 10.49 10.59 0.1 0.0695 6 10.52 10.52 0 : 总体服从正态分布H1: 总体不服从正态分布 将观察值按非降次序排列成: X⑴ (2)<••• 本题采用的统计量为: 也I2 W二— Jt=l X(XW-X)2=0.3821 1=1 X=10.5264 i-1 =0.5601*0.64+03315*0.45+0.2260*0.29+0.1429*0.23+0.0695*0.1 =0.6130所以 佃3 Woos=0.85 •••W>% ・・・接受H。 认为这批零件的直径服从正态分布。 3.17用DAgostinoD检验法检验例3.20o 解: Hq: 维尼纶纤度服从正态分布: 维尼纶纤度不服从正态分布 为了便于计算,统计量D的分子可以换成与其相等的形式: 定义统计量: 对于给定的显著性水平a=0.0h查表得 Da=D0995=1.59,Da=Z)0005=-3.57于Q ,认为维尼纶1————1—— 2222 纤度服从正态分布 3 •18用两种材料的灯丝制造灯泡,今分别随机抽取若干个进行寿命试验,其结果如下: 甲(小时): 1610165016801700175017201800 乙(小时): 15801600164016401700 试用秩和检验法检验两种材料制成的灯泡的使用寿命有无显著差异(67=0.05)? 解: 将两组数据按从小到人的次序混合排列如下表所示,其中第一组的数据下边标有横线。 设两个总体的分布函数分別为E(x)与耳(X),它们都是连续函数,但均为未知。 我们要检验的原假设为: H0: F1W=EW 表3J8 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数据 1580 1600 1610 1640 1640 1650 1680 1700 1700 1720 1750 1800 这里1700两组都有,排在第8,第9位置上,它的秩取平均数(8+9)/2=8.5这里 z? i=7>n2=5J取0,即 T二T? =l+2+4+5+&5=20.5从附表13查得Tf=瑞5=22,Tf=T眾=43 T 拒绝认为两种材料制成的灯泡的使用寿命有显著差异。 3.21对20台电子设备进行3000小时寿命试验,共发生12次故障,故障时间为 34043056092013801520 166017702100232023501650 试问在显著水平Q=0.10下,故障爭件是否服从指数分布? 原假设为: Ho: F(x)=F^x-b)=1一x>0 求未知参数加勺极大似然估计值 A1121 解: 0=—工X严一(340+430+…+1650)=1416.67 1212 a按公式F°(X⑴;0)=1-€141667计算X⑴点的分布函数值,在列表计算/值。 ni 耳皿) % %) 340 1 0.2134 0 0.0833 0.2134 0.1300 0.2134 430 1 0.2618 0.0833 0.1667 0.1785 0.0951 0.1785 560 1 0.3265 0.1667 0.2500 0.1599 0.0765 0.1599 920 1 0.4776 0.2500 0.3333 0.2276 0.1443 0.2276 1380 1 0.6225 0.3333 0.4167 0.2891 0.2058 0.2891 1520 1 0.6580 0.4167 0.5000 0
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