初一数学几何证明题答案.docx
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初一数学几何证明题答案
初一典型几何证明题
1、已知:
AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求AD
解:
延长AD到E,使AD=DE
∵D是BC中点
A
∴BD=DC
在△ACD和△BDE中
AD=DE
∠BDE=∠ADC
BC
D
BD=DC
∴△ACD≌△BDE
∴AC=BE=2
∵在△ABE中
AB-BE<AE<AB+BE
∵AB=4
即4-2<2AD<4+2
1<AD<3
∴AD=2
2、已知:
BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证:
∠1=∠2
A
2
1
BE
CFD
证明:
连接BF和EF
∵BC=ED,CF=DF∠,BCF=∠EDF
∴△BCF≌△EDF(S.A.S)
第1页共22页
∴BF=EF,∠CBF=∠DEF
连接BE
在△BEF中,BF=EF
∴∠EBF=∠BEF。
∵∠ABC=∠AED。
∴∠ABE=∠AEB。
∴AB=AE。
在△ABF和△AEF中
AB=AE,BF=EF,
∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF
∴△ABF≌△AEF。
∴∠BAF=∠EAF(∠1=∠2)。
3、已知:
∠1=∠2,CD=D,EEF//AB,求证:
EF=AC
A
2
1
F
C
D
E
B
过C作CG∥EF交AD的延长线于点G
CG∥EF,可得,∠EFD=CGD
DE=DC
∠FDE=∠GDC(对顶角)
∴△EFD≌△CGD
EF=CG
∠CGD=∠EFD
又,EF∥AB
∴,∠EFD=∠1
∠1=∠2
∴∠CGD=∠2
∴△AGC为等腰三角形,
AC=CG
又EF=CG
∴EF=AC
4、已知:
AD平分∠BAC,AC=AB+B,D求证:
∠B=2∠C
A
第2页共22页
证明:
延长AB取点E,使AE=AC,连接DE
∵AD平分∠BAC
∴∠EAD=∠CAD
∵AE=AC,AD=AD
∴△AED≌△ACD(SAS)
∴∠E=∠C
∵AC=AB+BD
∴AE=AB+BD
∵AE=AB+BE
∴BD=BE
∴∠BDE=∠E
∵∠ABC=∠E+∠BDE
∴∠ABC=2∠E
∴∠ABC=2∠C
5、已知:
AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:
AE=AD+BE
证明:
在AE上取F,使EF=EB,连接CF
∵CE⊥AB
∴∠CEB=∠CEF=90°
∵EB=EF,CE=CE,
第3页共22页
∴△CEB≌△CEF
∴∠B=∠CFE
∵∠B+∠D=180°,∠CFE+∠CFA=180°
∴∠D=∠CFA
∵AC平分∠BAD
∴∠DAC=∠FAC
∵AC=AC
∴△ADC≌△AFC(SAS)
∴AD=AF
∴AE=AF+FE=AD+BE
6、如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD上。
求
证:
BC=AB+D。
C又∵∠DCE=∠FCE
在BC上截取BF=AB,连接EFCE平分∠BCD
∵BE平分∠ABCCE=CE
∴∠ABE=∠FBE∴⊿DCE≌⊿FCE(AAS)
又∵BE=BE∴CD=CF
∴⊿ABE≌⊿FBE(SAS)∴BC=BF+CF=AB+CD
∴∠A=∠BFE
∵AB//CD
∴∠A+∠D=180o
∵∠BFE+∠CFE=180o
∴∠D=∠CFE
7.P是∠BAC平分线AD上一点,AC>AB,求证:
PC-PB 在AC上取点E,∴PC<(AC-AE)+PB 使AE=AB。 ∴PC-PB<AC-AB。 ∵AE=AB AP=AP C ∠EAP=∠BAE, ∴△EAP≌△BAP A PD ∴PE=PB。 PC<EC+PE B 第4页共22页 8.已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE,求证: AC-AB=2BE 证明: ∴点E一定在直线BD上, 在AC上取一点D,使得角DBC=角C在等腰三角形ABD中,AB=AD,AE垂直BD ∵∠ABC=3∠C∴点E也是BD的中点 ∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=∠3C-∠C=2∠C;∴BD=2BE ∵∠ADB=∠C+∠DBC=∠2C;∵BD=CD=AC-AB ∴AB=AD∴AC-AB=2BE ∴AC–AB=AC-AD=CD=BD 在等腰三角形ABD中,AE是角BAD的角平 分线, ∴AE垂直BD ∵BE⊥AE 9.如图,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证: AD⊥BC. 解: 延长AD至BC于点E, ∵BD=DC∴△BDC是等腰三角形 ∴∠DBC=∠DCB 又∵∠1=∠2∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2 即∠ABC=∠ACB ∴△ABC是等腰三角形 ∴AB=AC 在△ABD和△ACD中 AB=AC ∠1=∠2 BD=DC ∴△ABD和△ACD是全等三角形(边角边) ∴∠BAD=∠CAD ∴AE是△ABC的中垂线 ∴AE⊥BC ∴AD⊥BC 10.如图,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B为垂足,AB交OM于点N. 求证: ∠OAB=∠OBA 证明: ∵OM平分∠POQ ∴∠POM=∠QOM ∵MA⊥OP,MB⊥OQ 第5页共22页 ∴∠MAO=∠MBO=90 ∵OM=OM ∴△AOM≌△BOM(AAS) ∴OA=OB ∵ON=ON ∴△AON≌△BON(SAS) ∴∠OAB=∠OBA,∠ONA=∠ONB ∵∠ONA+∠ONB=180 ∴∠ONA=∠ONB=90 ∴OM⊥AB 11.如图,已知AD∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于 D.求证: AD+BC=AB. P C 证明: E 在AB上取F,使AF=AD,连接EF D ∵AE平分∠DAB ∴∠DAE=∠FAE AB 在⊿ADE和⊿AFE中 AD=AF ∠DAE=∠FAE AE=AE ∴⊿ADE≌⊿AFE(SAS) ∴∠ADE=∠AFE ∵AB//CD ∴∠ADE+∠C=180o ∵∠AFE+∠BFE=180o ∴∠C=∠BFE ∵BE平分∠ABC ∠CBE=∠FBE 在⊿BFE和⊿BCE中 ∠C=∠BFE ∠CBE=∠FBE CE=CE ∴⊿BFE≌⊿BCE(AAS) ∴CB=BF ∴AB=AF+FB=AD+BC 第6页共22页 12.如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,若AB=CD, AF=CE,BD交AC于点M. (1)求证: MB=MD,ME=MF (2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立? 若成 立请给予证明;若不成立请说明理由. (1)证: ∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F, ∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF, 在Rt△DEC和Rt△BFA中, ∵AF=CE,AB=CD, ∴Rt△DEC≌Rt△BFA(HL) ∴DE=BF. 在△DEM和△BFM中 ∠DEM=∠BFM ∠DME=∠BMF DE=BF ∴△DEM≌△BFM(AAS) ∴MB=M,DME=MF (2)证: ∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F, ∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF, 在Rt△DEC和Rt△BFA中, ∵AF=CE,AB=CD, ∴Rt△DEC≌Rt△BFA(HL) ∴DE=BF. 在△DEM和△BFM中 ∠DEM=∠BFM ∠DME=∠BMF DE=BF ∴△DEM≌△BFM(AAS) ∴MB=M,DME=MF 13如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C 第7页共22页 点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F. 求证: BD=2CE. F 证: ∵∠CEB=∠CAB=9°0 ∠ADB=∠CDE A 在△ABD中,∠ABD=180°-∠CAB-∠ADB E 在△CED中,∠DCE=180°-∠CEB-∠CDE D ∴∠ABD=∠DCE BC 在△ABD和△ACF中 ∠DAB=∠CAF AB=AC ∠ABD=∠DCF ∴△ABD≌△ACF(ASA) ∴BD=CF ∵BD是∠ABC的平分线 ∴∠FBE=∠CBE 在△FBE和△CBE中 ∠FBE=∠CBE BE=BE ∠BEF=∠BEC ∴△FBE≌△CBE(ASA) ∴CE=FECF=2CE ∴BD=2CE 13.如图: DF=CE,AD=BC,∠D=∠C。 求证: △AED≌△BFC。 证明: ∵DF=CE, ∴DF-EF=CE-EF, 即DE=C,F EF DC 在△AED和△BFC中, ∵AD=BC,∠D=∠C,DE=CF ∴△AED≌△BFC(SAS) AB 14.如图: AE、BC交于点M,F点在AM上,BE∥CF,BE=CF。 求证: AM是△ABC的中线。 证明: ∵BE‖CF∵BE=CF ∴∠E=∠CFM,∠EBM=∠FCM∴△BEM≌△CFM 第8页共22页 ∴BM=CM A ∴AM是△ABC的中线 F B CM E 15.AB=AC,DB=D,CF是AD的延长线上的一点。 求证: BF=CF 证: 在△ABD与△ACD中 AB=AC∴△FBD≌△FCD(SAS) BD=DC∴BF=FC AD=AD A ∴△ABD≌△ACD(SSS) ∴∠ADB=∠ADC D ∴∠BDF=∠FDC 在△BDF与△FDC中 BC BD=DC ∠BDF=∠FDC F DF=DF 16.如图: AB=CD,AE=DF,CE=FB。 求证: AF=DE。 证: ∵CF=CE+EFAB=CD EB=EF+FB∠ABF=∠DCE 又∵CE=FBBF=CE ∴CF=EB∴△ABF≌△CDE(SAS) 在△CDF与△ABE中∴AF=ED AB=CD A B AE=DF F BE=CF ∴△CDF≌△ABE(SSS) ∴∠DCB=∠ABF E 在△ABF与△CDE中 C D 17.公园里有一条“Z”字形道路ABCD,如图所示,其中AB∥CD,在AB,CD,BC三段路 旁各有一只小石凳E,F,M,且BE=CF,M在BC的中点,试说明三只石凳E,F,M恰好 在一条直线上. 证明: 连接EF∵AB∥CD 第9页共22页 ∴∠B=∠C∴△BEM≌△CFM(SAS) ∵M是BC中点∴CF=BE ∴BM=CM 在△BEM和△CFM中 BE=CF ∠B=∠C BM=CM 18.已知: 如图所示,AB=AD,BC=DC,E、F分别是DC、BC的中点,求证:
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