三角函数的图像与性质题型归纳总结.docx
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三角函数的图像与性质题型归纳总结
三角函数的图像与性质题型归纳总结
题型归纳及思路提示
题型1已知函数解析式确定函数性质
【思路提示】一般所给函数为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ),A>0,ω>0,要根据
y=sinx,y=cosx的整体性质求解。
一、函数的奇偶性
例
1f(x)
=
sin
(x
)(≤
)是
R
上的偶函数,则
等于(
)
0<
A.0B.C.D.
42
【评注】由ysinx是奇函数,ycosx是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要
结论:
(1)
若y
Asin(x
)是奇函数,则
k
(k
Z);
(2)若y
Asin(x
)是偶函数,则
k
+
(k
Z);
2
(3)若y
Acos(x
)是奇函数,则
k
2
(k
Z);
(4)若y
Acos(x
)是偶函数,则
k
(k
Z);
(5)
若y
Atan(x
)是奇函数,则
k
(k
Z).
2
变式1.已知a
R,函数f(x)
sinx
|a|为奇函数,则a等于()
A.0
B.1
C.1
D.1
变式2.设
R,则“
0”是“f(x)cos(x
)(xR)为偶函数”的(
)
A充分不必要条件
B.必要不充分条
C.充要条件
D.无关条件
变式3.设f(x)
sin(x
),其中
0,则f(x)是偶函数的充要条件是(
)
A.f(0)
1
B.f(0)0
C.f'(0)
1
D.f'(0)0
例2.设f(x)sin(2x
)(x
R),则f(x)是(
)
2
A.最小正周期为
的奇函数
B.最小正周期为
的偶函数
C.最小正周期为
的奇函数
D.最小正周期为
的偶函数
2
2
变式1.若f(x)
sin2x
1(x
R),则f(x)是(
)
A.最小正周期为
的奇函数
B.最小正周期为
的偶函数
C.最小正周期为
2的奇函数
D.最小正周期为
2的偶函数
1
变式2.下列函数中,既在(0,)递增,又是以为周期的偶函数的是()
2
A.ycos2xB.y|sin2x|C.y|cos2x|D.y|sinx|
二、函数的周期性
例3.函数ysin(2x
)cos(2x
)的最小正周期为()
6
6
A.
2
B.
4
C.2
D.
【评注】关于三角函数周期的几个重要结论:
(1)
函数y
Asin(
x
)
b,y
Acos(
x
)
b,y
Atan(
x)
b
的周期分别为
2
2
.
|
||
||
|
(2)
函数y
|Asin(
x
)|,y|Acos(
x
)|,y
|Atan(
x
)|的周期均为.
|
|
(3)
函数y
|Asin(
x
)
b|(b
0),y
|Acos(
x
)b|(b
2
.
0)的周期均为
|
|
变式1.函数y
sin(2x
)
cos(2x
)的最小正周期和最大值分别为
()
6
3
A.
1
B
.
2
.2
1
D
.
2
2
C
变式2.若f(x)
sinx(sinx
cosx),则f(x)的最小正周期是________.
变式3.若f(x)
sin3x
|sin3x|则f(x)是(
)
A.最小正周期为
的周期函数
B.最小正周期为
2
的周期函数
3
3
C.最小正周期为
2的周期函数
D.非周期函数
三、函数的单调性
例4.函数ysin(2x)(x[0,])的递增区间是()
6
A.[0,
]
B.[
12
7
]
C.[
5
]
D.[5,
]
3
12
3
6
6
【评注】求三角函数的单调区间:
若函数y
Asin(
x
)(A
0,
0)则
(1)
函数的递增区间由
2k
2
x
2k
(k
Z)决定;
2
(2)
函数的递减区间由
2k
x
2k
3
Z)决定;
2
(k
2
(3)
若函数y
Asin(
x
)中A
0,
0
,可将函数变为
y
Asin(x)
则
y
Asin(
x
的增区间为原函数的减区间,减区间为原函数的增区间;
)
(4)
对于函数
yAcos(
x
)和y
Atan(
x
)单调性的讨论同上。
2
变式1.函数ysinx
f(x)在[
3]内单调递增,则f(x)可以是()
4
4
A.1
B.cosx
C.sinx
D.
cosx
变式2.若f(x)sin(
x
)(
0)在(
)上单调递增,则
的取值范围是(
)
4
2
A.[1,5]
B.[1,3]
C.(0,1]
D.(0,2]
2
4
2
4
2
变式3.已知函数f(x)
3sinx
cos(
x
)
cos(
x)(
0)
3
3
(1)求f(x)的值域;
(2)若f(x)的最小正周期为
x
[0,
],f(x)的单调递减区间.
2
2
四、函数的对称性(对称轴、对称中心)
例5.函数y
sin(2x
)图象的对称轴方程可能是
()
3
A.x
B.x
12
C.x
D.x
6
6
12
【评注】关于三角函数对称性的几个重要结论:
3
(1)
函数
y
sin
的对称轴为
x
k
(k
Z),
对称中心
(k
0)(k
Z);
x
2
(2)
函数y
cos
x的对称轴为
x
k
(k
Z),对称中心
(k
0)(k
Z);
2
(3)
函数y
tan
x无对称轴,对称中心
(k
0)(k
Z);
2
k
(4)
函数
y
Asin(
x
)
的对称轴的求法:
令
x
k
(k
Z),
得
x=
2
(kZ);
b
2
对称中心的求法
:
令
x
k
(k
Z)得x=
k
(k
Z),对称中心为
(k
b)(k
Z);
(5)
函数y
Acos(
x
)
b的对称轴的求法:
令
x
k(k
Z),得x=k
(k
Z);
k
k
2
对称中心的求法
:
令
x
k
(k
Z)得x=
2
(k
Z),对称中心为
(
b)(kZ)
2
变式1.已知函数y
sin(x
)(
0)的最小正周期为
,则f(x)的图象()
3
A.关于点(
0)对称
B.关于直线x
对称
3
4
C.关于点(
0)对称
D.关于直线x
对称
4
3
变式2.函数y
sin(x
)的图象的一个对称中心是
()
4
A.
(
0)
B
.
3
0)
C
.
(
3
D
.
(
0)
(
4
0)
4
2
变式3.函数f(x)
sin2x
cos2x的图象中,相邻两条对称轴之间的距离是
__________.
5
5
变式4.若函数y
sinx
3cosx的图象向右平移a个单位(a0)后的图象关于y轴对称,则
的最小值是(
)
a
A.
7
B.
C.
D.
6
2
6
3
五、三角函数性质的综合
【思路提示】三角函数的性质(奇偶性、周期性、单调性、对称性)中,对称性尤为重要;
()对称性
奇偶性:
若函数
的图象关于
y
轴对称,则
f(x)
是偶函数;
1
f(x)
若函数
的图象关于原点对称,则
f(x)
是奇函数;
f(x)
(2)
对称性
周期性:
相邻两条对称轴之间的距离为
T;相邻两个对称中心的距离为
T;
T;
2
2
相邻的对称中心与对称轴之间的距离为
4
(3)
对称性
单调性:
在相邻的对称轴之间,函数
f(x)单调;
特殊的,若
f(x)
Asin(
x),A
,
函数
在
[1,
2]
上单调,且
0[1,2
]
0
0f(x)
设
max{|
1|,
2},则T
。
4
4
例
6.
设
f(x)
asin2xbcos2x,ab
0,
若
f(x)
f()
对任
x
成立
则
R,
6
(1)f(11)
0;
(2)f(7)
f();(3)f(x)不具奇偶性;
12
10
5
(4)
的单调递增区间是
[k
k
2
;
f(x)
](k
Z)
6
3
(5)
存在经过点
的直线与函数
的图象不相交.
(a,b)
f(x)
以上结论中正确的是
.
例7.已知函数f(x)4cos(x)sin
x
cos(2x)(
0)
6
3
]为增函数,求
的最大值.
(1)求f(x)的值域;
(2)若f(x)在区间[
2
2
变式1.已知函数f(x)2sinx(0),若f(x)在[,2]上递增,求的取值范围.
43
5
例8.若f(x)sin(x)(
0),f(
)f()且在(,
)上有最小值无最大值,则=______.
3
6
3
6
3
题型2根据条件确定解析式
方向一:
“知图求式”,即已知三角函数的部分图象,求函数解析式。
【思路提示】
由图象求得y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式一般不唯一,只有限定
φ的取值范围,才
能得到唯一解。
依据五点法原理,点的序号与式子的关系是:
第一点(即图象上升时与横轴
的交点)为x
0,第二点(即图象最高点)为
x
,第三点(即图象下降时
2
3
与横轴的交点)为
x
,第四点(即图象最低点)为
x
,第五点(即图
2
象上升时与横轴的交点)为
x
2
.。
例9.函数f(x)
Asin(2x
)(A,
R)部分图象如下图所示,则f(0)
()
A.
1
C.
3
3
B.1
D.
2
2
变式1.函数f(x)
Asin(x
)(A0,0)部分图象如下图所示,则f(0)________.
6
变式2.f(x)Acos(x)部分图象如下图所示,f()2,则f(0)________.
23
例10.已知函数f(x)Asin(x)(A0,0,||)部分图象如下图所示,求f(x)的解析式。
变式1.已知f(x)cos2(x
)(
,为常数),如果存在正整数
和实数
使得函数
f(x)的图象如图所示(图象经过点(
1,0)),求
的值.
y
1
2
O
1x
7
方向二:
知性质(如奇偶性、单调性、对称性、最值)求函数解析式。
3
例11.已知函数f(x)sin(x)(0,0)为R上的偶函数,点(,0)是其一对称中心,4
且函数在[0,]上单调,求函数f(x)的解析式。
2
变式1.已知函数f(x)4sin(x)(0,0)图象的相邻两条对称轴的距离为,
23
且经过点(0,2),求函数f(x)的解析式。
8
题型3:
函数的值域(最值)
【思路提示】求三角函数的最值,通常要利用正、余弦函数的有界性,一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理:
(1)y
asinx
bat
b,sinx
t[
1,1];
(2)y
asinx
bcosx
c
a2
b2
sin(x
)c,tan
b;
asin2x
at2
a
(3)y
bsinx
c
bt
c,sinx
t
[
1,1];
y
acos2x
bsinx
c
at2
bt
(a
c),sinx
t
[1,1];
y
acos2x
bsinx
c
2at2
bt
(a
c),sinx
t
[
1,1];
(4)y
acosxsinx
b(sinx
cosx)
c
at2
1
bt
(a
c),sinx
cosx
t[
2,2];
2
y
acosxsinxb(sinxcosx)c
1
t2
bt
(a
c),sinxcosxt
[
2,2];
a
2
(5)y
asinx
b与y
asinx
b根据正、余弦函数的有界性,既可用分析法求最值,也可
csinx
d
ccosx
d
用不等式法求最值,更可用数形结合法求最值,但都必须要注意
sinx、cosx的范围。
例12.函数f(x)
sinxcosx的最小值是(
)
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- 三角函数 图像 性质 题型 归纳 总结