全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案B卷.docx
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全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案B卷
2008年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案(B卷)
说明:
1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题只设6分和0分两档,填空题只设9分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次.
2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中5分为一个档次,不要增加其他中间档次.
一、选择题(本题满分36分,每小题6分)
1.函数
在
上的最小值是(B)
A.3B.2C.1D.0
[解]当
时,
,因此
,当且仅当
时上式取等号.而此方程有解
,因此
在
上的最小值为2.
2.设
,
,若
,则实数
的取值范围为(A)
A.
B.
C.
D.
[解]因
有两个实根
,
,
故
等价于
且
,即
且
,
解之得
.
3.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为
,乙在每局中获胜的概率为
,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数
的期望
为 (C)
A.
B.
C.
D.
[解法一]依题意知,
的所有可能值为2,4,6.
设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为
.
若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有
,
,
,
故
.
[解法二]依题意知,
的所有可能值为2,4,6.
令
表示甲在第
局比赛中获胜,则
表示乙在第
局比赛中获胜.
由独立性与互不相容性得
,
,
,
故
.
4.若三个棱长均为整数(单位:
cm)的正方体的表面积之和为564cm2,则这三个正方体的体积之和为(D)
A.586cm3 B.586cm3或564cm3
C.764cm3 D.764cm3或586cm3
[解]设这三个正方体的棱长分别为
,则有
,
,不妨设
,从而
,
.故
.
只能取9,8,7,6.
若
,则
,易知
,
,得一组解
.
若
,则
,
.但
,
,从而
或5.若
,则
无解,若
,则
无解.此时无解.
若
,则
,有唯一解
,
.
若
,则
,此时
,
.故
,但
,故
,此时
无解.
综上,共有两组解
或
体积为
cm3或
cm3.
5.方程组
的有理数解
的个数为(C)
A.4B.3C.2D.1
[解]若
,则
解得
或
若
,则由
得
.①
由
得
.②
将②代入
得
.③
由①得
,代入③化简得
.
易知
无有理数根,故
,由①得
,由②得
,与
矛盾,故该方程组共有两组有理数解
或
6.设
的内角
所对的边
成等比数列,则
的取值范围是
(B)
A.
B.
C.
D.
[解]设
的公比为
,则
,而
.
因此,只需求
的取值范围.
因
成等比数列,最大边只能是
或
,因此
要构成三角形的三边,必需且只需
且
.即有不等式组
即
解得
从而
,因此所求的取值范围是
.
二、填空题(本题满分54分,每小题9分)
7.设
,其中
为实数,
,
,
,若
,则
17.
[解]由题意知
,
由
得
,
,因此
,
.
因此
.
8.设
的最小值为
,则
.
[解]
,
(1)
时,
当
时取最小值
;
(2)
时,
当
时取最小值1;
(3)
时,
当
时取最小值
.
又
或
时,
的最小值不能为
,
故
,解得
,
(舍去).
9.将24个志愿者名额分配给3个学校,则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 222 种.
[解法一]用4条棍子间的空隙代表3个学校,而用
表示名额.如
表示第一、二、三个学校分别有4,18,2个名额.
若把每个“
”与每个“
”都视为一个位置,由于左右两端必须是“|”,故不同的分配方法相当于
个位置(两端不在内)被2个“|”占领的一种“占位法”.
“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“
”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“|”,故有
种.
又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种.
综上知,满足条件的分配方法共有253-31=222种.
[解法二] 设分配给3个学校的名额数分别为
,则每校至少有一个名额的分法数为不定方程
.
的正整数解的个数,即方程
的非负整数解的个数,它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合:
.
又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种.
综上知,满足条件的分配方法共有253-31=222种.
10.设数列
的前
项和
满足:
,
,则
=
.
[解]
,
即2
=
,
由此得2
.
令
,
(
),
有
,故
,所以
.
因此
.
11.设
是定义在
上的函数,若
,且对任意
,满足
,
,则
=
.
[解法一]由题设条件知
,
因此有
,故
.
[解法二]令
,则
,
,
即
,
故
,
得
是周期为2的周期函数,
所以
.
12.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为
的正四面体容器内可向各个方向自由运动,则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是
.
[解]如答12图1,考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径为
,作平面
//平面
,与小球相切于点
,则小球球心
为正四面体
的中心,
,垂足
为
的中心.
因
,
故
,从而
.
记此时小球与面
的切点为
,连接
,则
.
考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为
)相切时的情况,易知小球在面
上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形,记为
,如答12图2.记正四面体的棱长为
,过
作
于
.
因
,有
,故小三角形的边长
.
小球与面
不能接触到的部分的面积为(如答12图2中阴影部分)
.
又
,
,所以
.
由对称性,且正四面体共4个面,所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为
.
三、解答题(本题满分60分,每小题20分)
13.已知函数
的图像与直线
有且仅有三个交点,交点的横坐标的最大值为
,求证:
.
[证]
的图象与直线
的三个交点如答13图所示,且在
内相切,其切点为
,
.
由于
,
,所以
,即
.
因此
.
14.解不等式
.
[解法一]由
,且
在
上为增函数,故原不等式等价于
.
即
.
分组分解
,
,
所以
,
.
所以
,即
.
故原不等式解集为
.
[解法二]由
,且
在
上为增函数,故原不等式等价于
.
即
,
,
令
,则不等式为
,
显然
在
上为增函数,由此上面不等式等价于
,
即
,解得
,
故原不等式解集为
.
15.如题15图,
是抛物线
上的动点,点
在直线
上,圆
内切于
,求
面积的最小值.
[解]设
,不妨设
.
直线
的方程:
,
化简得
.
又圆心
到
的距离为1,
,
故
,
展开得
,易知
,
故
,
同理有
.
所以
,
,
.
因
是抛物线上的点,有
,即
,则
,
故
,
.
所以
.
当
时,上式取等号,此时
.
因此
的最小值为8.
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