广东省珠海等六校届高三第三次联考数学文试题含答案.docx
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广东省珠海等六校届高三第三次联考数学文试题含答案
广东省珠海等六校2018届高三第三次联考数学文试题含答案;;
2018届广东省六校第三次联考;;
文科数学;
第Ⅰ卷(共60分);
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.;;
1.函数
的定义域为();
A.
B.
C.
D.
2.如果复数
(其中
为虚数单位,
为实数)的实部和虚部互为相反数,那么
等于();;
A.-6B.
C.
D.2
3.高考结束后,同学聚会上,某同学从《爱你一万年》,《非你莫属》,《两只老虎》,《单身情歌》四首歌中选出两首歌进行表演,则《爱你一万年》未选取的概率为()
A.
B.
C.
D.
4.圆
关于直线
对称的圆的方程是();;
A.
B.
C.
D.
5.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是3,则正视图中的
的值是;;()
A.2B.
C.
D.3
6.已知
,则
();
A.
B.
C.
D.
7.实数
满足
,且
的最大值不小于1,则实数
的取值范围是;()
A.
B.
C.
D.
8.函数
的导函数
在区间
上的图象大致是();;
A.
B.
C.
D.
9.三棱锥
中,
平面
且
是边长为
的等边三角形,则该三棱锥外接球的表面,积为();;
A.
B.
C.
D.
10.自主招生联盟成行于2009年清华大学等五校联考,主要包括“北约”联盟,“华约”联盟,“卓越”联盟和“京派”联盟,在调查某高中学校高三学生自主招生报考的情况,得到如下结果:
①报考“北约”联盟的学生,都没报考“华约”联盟②报考“华约”联盟的学生,也报考了“京派”联盟
③报考“卓越”联盟的学生,都没报考“京派”联盟斯不报考“卓越”联盟的学生,就报考“华约”联盟
根据上述调查结果,下列结论错误的是()
A.没有同时报考“华约”和“卓越”联盟的学生B.报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多C.报考“北约”联盟的考生也报考了“卓越”联盟D.报考“京派”联盟的考生也报考了“北约”联盟
11.设
,则
的大小关系为()
A.
B.
C.
D.
12.已知双曲线
,点
为
的左焦点,点
为
上位于第一象限内的点,
关于原点的对称点为
,且满足
,若
,则
的离心率为()
A.
B.
C.2D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.若向量
满足
,则向量
与
的夹角等于.
14.执行如图所示的程序框图,则输出
的结果为.
15.已知函数
在点
处的切线方程为
,则函数
在点
处的切线方程为.
16.已知平面四边形
为凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在直线,其余各边均在此直线的同侧),且
,则平面四边形
面积的最大值为.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知数列
的前
项和为
,且满足
(1)求数列
的通项公式;
(2)设
,求数列
的前
项和
.
18.如图,在三棱柱
中,侧棱
底面
为
的中点,
.
(1)求证:
平面
;
(2)求四棱锥
的体积.
19.随着社会的发展,终身学习成为必要,工人知识要更新,学习培训必不可少,现某工厂有工人1000名,其中250名工人参加短期培训(称为
类工人),另外750名工人参加过长期培训(称为
类工人),从该工厂的工人中共抽查了100名工人,调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数)得到
类工人生产能力的茎叶图(左图),
类工人生产能力的频率分布直方图(右图).
(1)问
类、
类工人各抽查了多少工人,并求出直方图中的
;
(2)求
类工人生产能力的中位数,并估计
类工人生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)若规定生产能力在
内为能力优秀,由以上统计数据在答题卡上完成下面的
列联表,并判断是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下,认为生产能力与培训时间长短有关.
能力与培训时间列联表
短期培训
长期培训
合计
能力优秀
能力不优秀
合计
参考数据:
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式:
,其中
.
20.已知动点
到定点
的距离比
到定直线
的距离小1.
(1)求点
的轨迹
的方程;
(2)过点
任意作互相垂直的两条直线
和
,分别交曲线
于点
和
.设线段
的中点分别为
,求证:
直线
恒过一个定点.
21.已知函数
(其中
且
为常数).
(1)若对于任意的
,都有
成立,求
的取值范围;
(2)在(Ⅰ)的条件下,若方程
在
上有且只有一个实根,求
的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系
中,曲线
的参数方程为
为参数).以坐标原点为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线
的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)若
与
交于
两点,点
的极坐标为
,求
的值.
23.选修4-5:
不等式选讲
设函数
,
.
(Ⅰ)当
时,求不等式
的解集;
(Ⅱ)若
恒成立,求实数
的取值范围.
2018届广东省六校第三次联考
文科数学参考答案与评分标准
一、选择题
1-5:
CCBDD6-10:
CAACD11、12:
AB
二、填空题
13.
14.3015.
16.
三、解答题
17.解:
(1)当
时,
,
当
时,由
得
,
显然当
时上式也适合,
∴
(2)∵
,
∴
.
18.
解:
(1)证明:
连接
,设
与
相较于点
,连接
,
∵四边形
是平行四边形,∴点
为
的中点.
∵
为
的中点,∴
为
的中位线,
∴
.
∵
平面
,
平面
∴
平面
.
(2)解法1:
∵
平面
平面
,
∴平面
平面
,且平面
平面
.
作
垂足为
,则
平面
,
∵
在
中,
∴四棱锥
的体积
.
∴四棱锥
的体积为3.
解法2:
平面
平面
∴
.
∵
∴
.
∵D
∴
平面
.
取
的中点
连接
则
∴
平面
.
三棱柱
的体积为
则
.
而
∴
.∴
.
∴四棱锥
的体积为3.
19.解:
(1)由茎叶图知
类工人中抽查人数为25名,
∴
类工人中应抽查
名.
由频率分布直方图得
,得
.
(2)由茎叶图知
类工人生产能力的中位数为122
由
(1)及频率分布直方图,估计
类工人生产能力的平均数为
(3)由
(1)及所给数据得能力与培训的
列联表,
短期培训
长期培训
合计
能力优秀
8
54
62
能力不优秀
17
21
38
合计
25
75
100
由上表得
因此,可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下,认为生产能力与培训时间长短有关.
20.解:
(1)由题意可知:
动点
到定点
的距离等于
到定直线
的距离,根据抛物线的定义可知,点
的轨迹
是抛物线.
∵
,∴抛物线方程为:
(2)设
两点坐标分别为
,则点
的坐标为
.
由题意可设直线
的方程为
,
由
得
.
.
因为直线
与曲线
于
两点,所以
,
所以点
的坐标为
.
由题知,直线
的斜率为
,同理可得点
的坐标为
.
当
时,有
,此时直线
的斜率
.
所以,直线
的方程为
,
整理得
.
于是,直线
恒过定点
;
当
时,直线
的方程为
,也过点
.
综上所述,直线
恒过定点
.
21.解
(1)
当
时,∵
对于
恒成立,∴
在
上单调递增
∴
,此时命题成立;
当
时,∵
在
上单调递减,在
上单调递增,
∴当
时,有
.这与题设矛盾.
故
的取值范围是
(2)依题意
,设
.
原题即为若
在
上有且只有一个零点,求
的取值范围.
显然函数
与
的单调性是一致的.
①当
时,因为函数
在区间
上递减,
上递增,
所以
在
上的最小值为
,
由于
,要使
在
上有且只有一个零点,
需满足
或
,解得
或
;
②当
时,因为函数
在
上单调递增,0
且
,
所以此时
在
上有且只有一个零点;
③当
时,因为函数
在
上单调递增,在
上单调递减,在
上单调递增,
又因为
,所以当
时,总有
,
∵
∴
,
所以
在
上必有零点,又因为
在
上单调递增,
从而当
时,
在
上有且只有一个零点
综上所述,当
或
或
时,
方程
在
上有且只有一个实根.
22.解:
(1)曲线
的普通方程为
;
曲线
的直角坐标方程为:
.
(2)
的参数方程的标准形式为
(
为参数)代入
得
,
设
是
对应的参数,则
.
∴
.
23.解:
(1)当
时,
所以
或
或
解得
或
或
综上,不等式的解集为
.
(2)
,转化为
令
,
,
时,
,
令
,得
.
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