中考数学专题复习实际应用问题.docx
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中考数学专题复习实际应用问题
实际应用问题
【专题点拨】
实际应用问题是以贴近现实生活中的话题为背景,运用方程与不等式、函数与不等式等来解决的一类实际生活中的问题,这类问题往往文字信息量大,背景复杂,要求学生具有较强的阅读、收集信息及建立模型的能力,从而解决问题.
【解题策略】
实际应用问题解决的关键是理解题意,从中找出等量关系、不等关系或函数关系,建立数学模型来解决,当信息量较大,可以借助图表等方式帮助理解.
【典例解析】
类型一:
方程或不等式的应用题
例题1:
(2016·青海西宁·10分)青海新闻网讯:
2016年2月21日,西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用.市政府今年投资了112万元,建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车.今后将逐年增加投资,用于建设新站点、配置公共自行车.预计2018年将投资340.5万元,新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车.
(1)请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元?
(2)请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率.
【考点】一元二次方程的应用;二元一次方程组的应用.
【解析】
(1)分别利用投资了112万元,建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车以及投资340.5万元,新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车进而得出等式求出答案;
(2)利用2016年配置720辆公共自行车,结合增长率为x,进而表示出2018年配置公共自行车数量,得出等式求出答案.
【解答】解:
(1)设每个站点造价x万元,自行车单价为y万元.根据题意可得:
解得:
答:
每个站点造价为1万元,自行车单价为0.1万元.
(2)设2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为a.
根据题意可得:
720(1+a)2=2205
解此方程:
(1+a)2=
,
即:
,
(不符合题意,舍去)
答:
2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为75%.
变式训练1:
(2016·山东省济宁市·3分)某地2014年为做好“精准扶贫”,授入资金1280万元用于一滴安置,并规划投入资金逐年增加,2016年在2014年的基础上增加投入资金1600万元.
(1)从2014年到2016年,该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少?
(2)在2016年异地安置的具体实施中,该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励,规定前1000户(含第1000户)每户每天奖励8元,1000户以后每户每天补助5元,按租房400天计算,试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励?
类型二:
方程与函数的应用题
例题2:
(2016广西南宁)在南宁市地铁1号线某段工程建设中,甲队单独完成这项工程需要150天,甲队单独施工30天后增加乙队,两队又共同工作了15天,共完成总工程的
.
(1)求乙队单独完成这项工程需要多少天?
(2)为了加快工程进度,甲、乙两队各自提高工作效率,提高后乙队的工作效率是
,甲队的工作效率是乙队的m倍(1≤m≤2),若两队合作40天完成剩余的工程,请写出a关于m的函数关系式,并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍?
【考点】一次函数的应用;分式方程的应用.
【解析】
(1)设乙队单独完成这项工程需要x天,根据题意得方程即可得到结论;
(2)根据题意得(
+
)×40=
,即可得到a=60m+60,根据一次函数的性质得到
=
,即可得到结论.
【解答】解:
(1)设乙队单独完成这项工程需要x天,
根据题意得
×(30+15)+
×15=
,
解得:
x=450,
经检验x=450是方程的根,
答:
乙队单独完成这项工程需要450天;
(2)根据题意得(
+
)×40=
,
∴a=60m+60,
∵60>0,
∴a随m的增大增大,
∴当m=1时,
最大,
∴
=
,
∴
÷
=7.5倍,
答:
乙队的最大工作效率是原来的7.5倍
【点评】此题考查了一次函数的实际应用.分式方程的应用,解题的关键是理解题意,能根据题意求得函数解析式,注意数形结合与方程思想的应用.
变式训练2:
(2016·浙江省绍兴市·8分)根据卫生防疫部门要求,游泳池必须定期换水,清洗.某游泳池周五早上8:
00打开排水孔开始排水,排水孔的排水速度保持不变,期间因清洗游泳池需要暂停排水,游泳池的水在11:
30全部排完.游泳池内的水量Q(m2)和开始排水后的时间t(h)之间的函数图象如图所示,根据图象解答下列问题:
(1)暂停排水需要多少时间?
排水孔排水速度是多少?
(2)当2≤t≤3.5时,求Q关于t的函数表达式.
类型三:
方程、不等式和函数的综合应用题
例题3:
(2016·湖北随州·9分)九年级(3)班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天(1≤x≤90,且x为整数)的售价与销售量的相关信息如下.已知商品的进价为30元/件,设该商品的售价为y(单位:
元/件),每天的销售量为p(单位:
件),每天的销售利润为w(单位:
元).
时间x(天)
1
30
60
90
每天销售量p(件)
198
140
80
20
(1)求出w与x的函数关系式;
(2)问销售该商品第几天时,当天的销售利润最大?
并求出最大利润;
(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天的销售利润不低于5600元?
请直接写出结果.
【考点】二次函数的应用;一元一次不等式的应用.
【解析】
(1)当0≤x≤50时,设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b,由点的坐标利用待定系数法即可求出此时y关于x的函数关系式,根据图形可得出当50<x≤90时,y=90.再结合给定表格,设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n,套入数据利用待定系数法即可求出p关于x的函数关系式,根据销售利润=单件利润×销售数量即可得出w关于x的函数关系式;
(2)根据w关于x的函数关系式,分段考虑其最值问题.当0≤x≤50时,结合二次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值;当50<x≤90时,根据一次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值,两个最大值作比较即可得出结论;
(3)令w≥5600,可得出关于x的一元二次不等式和一元一次不等式,解不等式即可得出x的取值范围,由此即可得出结论.
【解答】解:
(1)当0≤x≤50时,设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b(k、b为常数且k≠0),
∵y=kx+b经过点(0,40)、(50,90),
∴
,解得:
,
∴售价y与时间x的函数关系式为y=x+40;
当50<x≤90时,y=90.
∴售价y与时间x的函数关系式为y=
.
由书记可知每天的销售量p与时间x成一次函数关系,
设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n(m、n为常数,且m≠0),
∵p=mx+n过点(60,80)、(30,140),
∴
,解得:
,
∴p=﹣2x+200(0≤x≤90,且x为整数),
当0≤x≤50时,w=(y﹣30)•p=(x+40﹣30)(﹣2x+200)=﹣2x2+180x+2000;
当50<x≤90时,w=(90﹣30)(﹣2x+200)=﹣120x+12000.
综上所示,每天的销售利润w与时间x的函数关系式是w=
.
(2)当0≤x≤50时,w=﹣2x2+180x+2000=﹣2(x﹣45)2+6050,
∵a=﹣2<0且0≤x≤50,
∴当x=45时,w取最大值,最大值为6050元.
当50<x≤90时,w=﹣120x+12000,
∵k=﹣120<0,w随x增大而减小,
∴当x=50时,w取最大值,最大值为6000元.
∵6050>6000,
∴当x=45时,w最大,最大值为6050元.
即销售第45天时,当天获得的销售利润最大,最大利润是6050元.
(3)当0≤x≤50时,令w=﹣2x2+180x+2000≥5600,即﹣2x2+180x﹣3600≥0,
解得:
30≤x≤50,
50﹣30+1=21(天);
当50<x≤90时,令w=﹣120x+12000≥5600,即﹣120x+6400≥0,
解得:
50<x≤53
,
∵x为整数,
∴50<x≤53,
53﹣50=3(天).
综上可知:
21+3=24(天),
故该商品在销售过程中,共有24天每天的销售利润不低于5600元.
变式训练3:
(2016·湖北武汉·10分)某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售,每年产销x件.已知产销两种产品的有关信息如下表:
产品
每件售价(万元)
每件成本(万元)
每年其他费用(万元)
每年最大产销量(件)
甲
6
a
20
200
乙
20
10
40+0.05x2
80
其中a为常数,且3≤a≤5.
(1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元,直接写出y1、y2与x的函数关系式;
(2)分别求出产销两种产品的最大年利润;
(3)为获得最大年利润,该公司应该选择产销哪种产品?
请说明理由.
类型四:
一次函数与反比例函数的综合应用题
例题4:
(2016·青海西宁·2分)如图,一次函数y=x+m的图象与反比例函数y=
的图象交于A,B两点,且与x轴交于点C,点A的坐标为(2,1).
(1)求m及k的值;
(2)求点C的坐标,并结合图象写出不等式组0<x+m≤
的解集.
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.
【解析】
(1)把点A坐标代入一次函数y=x+m与反比例函数y=
,分别求得m及k的值;
(2)令直线解析式的函数值为0,即可得出x的值,从而得出点C坐标,根据图象即可得出不等式组0<x+m≤
的解集.
【解答】解:
(1)由题意可得:
点A(2,1)在函数y=x+m的图象上,
∴2+m=1即m=﹣1,
∵A(2,1)在反比例函数
的图象上,
∴
,
∴k=2;
(2)∵一次函数解析式为y=x﹣1,令y=0,得x=1,
∴点C的坐标是(1,0),
由图象可知不等式组0<x+m≤
的解集为1<x≤2.
变式训练4:
(2016·重庆市B卷·10分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A,B两点,与x轴交于点C,与y轴交于点D,点B的坐标是(m,﹣4),连接AO,AO=5,sin∠AOC=.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)连接OB,求△AOB的面积.
类型五:
一次函数与二次函数的综合应用题
例题5:
(2016·辽宁丹东·12分)如图,抛物线y=ax2+bx过A(4,0),B(1,3)两点,点C、B关于抛物线的对称轴对称,过点B作直线BH⊥x轴,交x轴于点H.
(1)求抛物线的表达式;
(2)直接写出点C的坐标,并求出△ABC的面积;
(3)点P是抛物线上一动点,且位于第四象限,当△ABP的面积为6时,求出点P的坐标;
(4)若点M在直线BH上运动,点N在x轴上运动,当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时,请直接写出此时△CMN的面积.
【考点】二次函数综合题.
【解析】
(1)利用待定系数法求二次函数的表达式;
(2)根据二次函数的对称轴x=2写出点C的坐标为(3,3),根据面积公式求△ABC的面积;
(3)因为点P是抛物线上一动点,且位于第四象限,设出点P的坐标(m,﹣m2+4m),利用差表示△ABP的面积,列式计算求出m的值,写出点P的坐标;
(4)分别以点C、M、N为直角顶点分三类进行讨论,利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的长,利用面积公式进行计算.
【解答】解:
(1)把点A(4,0),B(1,3)代入抛物线y=ax2+bx
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