版高中数学 第一章 立体几何初步 122 空间两条直线的位置关系学案 苏教版必修2.docx
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版高中数学第一章立体几何初步122空间两条直线的位置关系学案苏教版必修2
1.2.2 空间两条直线的位置关系
学习目标
1.了解两条直线的三种位置关系.2.理解异面直线的定义及判定,能判断两条直线是不是异面直线.3.理解公理4和等角定理,并会用公理4证明线线平行.4.理解异面直线所成的角的概念.
知识点一 空间两条直线的位置关系
思考 在同一平面内,两条直线有几种位置关系?
观察下面两个图形,你能找出既不平行又不相交的两条直线吗?
梳理
位置关系
共面情况
公共点个数
相交直线
在____平面内
有且只有__个
平行直线
在____平面内
没有
异面直线
不同在________平面内
没有
知识点二 异面直线的判断
思考 分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗?
梳理 判断异面直线的方法
方法
内容
定义法
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线
定理法
过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过该点的直线是异面直线
反证法
判定两条直线既不平行也不相交,那么这两条直线就是异面直线
知识点三 平行公理(公理4)
思考 在平面内有直线a,b,c,若a∥b,b∥c,则a∥c,该结论在空间中是否成立?
梳理 平行公理
(1)文字表述:
平行于同一条直线的两条直线互相平行.
(2)符号表示:
⇒a∥c.
知识点四 等角定理及异面直线所成的角
思考1 观察图象,在长方体ABCD—A′B′C′D′中,∠ADC与∠A′D′C′,∠ADC与∠D′A′B′的两边分别对应平行,
这两组角的大小关系如何?
思考2 在长方体A1B1C1D1—ABCD中,BC1∥AD1,则“直线BC1与直线BC所成的角”与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等?
梳理
(1)等角定理
如果一个角的两边和另一个角的两边分别________并且方向________,那么这两个角________.
(2)异面直线所成的角
定义
前提
两条异面直线a,b
作法
经过空间任意一点O,作直线a′∥a,b′∥b
结论
我们把a′和b′所成的______________叫做异面直线a,b所成的角
范围
记异面直线a与b所成的角为θ,则________
特殊情况
当θ=________时,异面直线a,b互相垂直,记作________
类型一 公理4与等角定理的应用
例1 如图,已知在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,AD的中点.求证:
(1)四边形MNA1C1是梯形;
(2)∠DNM=∠D1A1C1.
反思与感悟
(1)空间两条直线平行的证明
①定义法:
即证明两条直线在同一平面内且两直线没有公共点.
②利用公理4找到一条直线,使所证的直线都与这条直线平行.
(2)等角定理的结论是相等,在实际应用时,一般是借助于图形判断两角的两边方向是否相同.
跟踪训练1 如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点.求证:
(1)四边形BB1M1M为平行四边形;
(2)∠BMC=∠B1M1C1.
类型二 异面直线的判断
例2
(1)在四棱锥P—ABCD中,各棱所在的直线互为异面的有________对.
(2)如图是一个正方体的展开图,如果将它还原成正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对?
分别是哪几对?
反思与感悟 判定异面直线的方法
(1)定义法:
利用异面直线的定义,说明两条直线不平行,也不相交,即不可能同在同一个平面内.
(2)利用异面直线的判定定理.
(3)反证法:
假设两条直线不是异面直线,根据空间两条直线的位置关系,这两条直线一定共面,即可能相交或平行,然后推出矛盾即可.
跟踪训练2 如图所示,在三棱锥A—BCD中,E,F是棱AD上异于A,D的不同两点,G,H是棱BC上异于B,C的不同两点,给出下列说法:
①AB与CD互为异面直线;
②FH分别与DC,DB互为异面直线;
③EG与FH互为异面直线;
④EG与AB互为异面直线.
其中说法正确的是________.(填序号)
1.若a和b是异面直线,b和c是异面直线,则a和c的位置关系是______________.
2.下列四个结论中错误命题的个数是________.(填序号)
①垂直于同一直线的两条直线互相平行;
②平行于同一直线的两直线平行;
③若直线a,b,c满足a∥b,b⊥c,则a⊥c;
④若直线l1,l2是异面直线,则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线.
3.在三棱锥的所有棱中,互为异面直线的有________对.
4.如图所示,在三棱锥A—BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则当AC,BD满足________时,四边形EFGH为菱形;当AC,BD满足________时,四边形EFGH是正方形.
5.如图所示,已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.
(1)求证:
E,F,G,H四点共面;
(2)若AC⊥BD,求证:
四边形EFGH是矩形.
1.判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义.很多情况下,定义就是一种常用的判定方法.对于异面直线的判断,常用判定定理和反证法.
2.在研究异面直线所成角的大小时,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.将空间问题向平面问题转化,这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径.需要强调的是,两条异面直线所成角的范围为(0°,90°],在解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小.
作异面直线所成的角,可通过多种方法平移产生,主要有三种方法:
①直接平移法(可利用图中已有的平行线);②中位线平移法;③补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行线).
答案精析
问题导学
知识点一
思考 平行与相交.
教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线;六角螺母中直线AB与CD.
梳理 同一 一 同一 任何一个
知识点二
思考 不一定,可能平行、相交或异面.
知识点三
思考 成立.
知识点四
思考1 从图中可以看出,∠ADC=∠A′D′C′,∠ADC+∠D′A′B′=180°.
思考2 相等.
梳理
(1)平行 相同 相等
(2)锐角(或直角) 0°<θ≤90° 90°
a⊥b
题型探究
例1 证明
(1)如图,连结AC,在△ACD中,∵M,N分别是CD,AD的中点,
∴MN是△ACD的中位线,
∴MN∥AC,MN=AC.
由正方体的性质,得
AC∥A1C1,AC=A1C1.
∴MN∥A1C1,且MN=A1C1,
即MN≠A1C1,
∴四边形MNA1C1是梯形.
(2)由
(1)可知,MN∥A1C1.
又ND∥A1D1,且∠DNM与∠D1A1C1的两边的方向相同,
∴∠DNM=∠D1A1C1.
跟踪训练1 证明
(1)在正方形ADD1A1中,M,M1分别为AD,A1D1的中点,∴A1M1綊AM,
∴四边形AMM1A1为平行四边形,
∴A1A綊M1M.
又∵A1A綊B1B,∴M1M綊B1B,
∴四边形BB1M1M为平行四边形.
(2)由
(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,∴B1M1∥BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,∴C1M1∥CM.
由平面几何知识可知,
∠BMC和∠B1M1C1都是锐角.
∴∠BMC=∠B1M1C1.
例2
(1)8
(2)解 三对,分别为AB与CD,AB与GH,EF与GH.
还原的正方体如图所示.
跟踪训练2 ①②③④
解析 因为直线DC⊂平面BCD,直线AB⊄平面BCD,点B∉直线DC,所以由异面直线的判定定理可知,①正确;同理,②③④正确.
当堂训练
1.相交、平行或异面 2.2 3.3
4.AC=BD AC=BD且AC⊥BD
5.证明
(1)如图所示,连结EF,FG,GH,HE,
在△ABD中,
∵E,H分别是AB,AD的中点,
∴EH∥BD,
EH=BD.
同理FG∥BD,
FG=BD,
∴EH綊FG,∴E,F,G,H四点共面.
(2)由
(1)知EH綊FG,
∴四边形EFGH为平行四边形.
∵HG是△ADC的中位线,∴HG∥AC.
又EH∥BD,AC⊥BD,∴EH⊥HG,
∴四边形EFGH为矩形.
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