九年级数学下册 第7章 锐角三角函数 76 用锐角三角函数解决问题 761 与坡度和坡角有关的.docx
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九年级数学下册第7章锐角三角函数76用锐角三角函数解决问题761与坡度和坡角有关的
第7章 锐角三角函数
7.6 第1课时 与坡度和坡角有关的问题
知识点 坡度与坡角的概念
1.图7-6-1是一水库大坝横断面的一部分,坝高h=6m,迎水坡AB=10m,斜坡AB的坡角为α,则tanα的值为( )
A.
B.
C.
D.
图7-6-1
图7-6-2
2.如图7-6-2为河坝横断面的一部分,迎水坡AB的坡度为1∶
,坝高BC=3m,则坡面AB的长度是( )
A.9mB.6m
C.6
mD.3
m
3.如图7-6-3,长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°,为了改善楼梯的安全性能,准备重新建造楼梯,使其倾斜角∠ACD为45°,则调整后的楼梯AC的长为( )
A.2
mB.2
m
C.(2
-2)mD.(2
-2)m
图7-6-3
图7-6-4
4.如图7-6-4是河坝横断面的一部分,迎水坡AB的坡度是1∶
,坝高BC=5米,则坝底AC的长度是________米.
图7-6-5
5.如图7-6-5,某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B.若AB=2000米,则他实际上升了________米.
6.2018·杨浦区一模如果某人滑雪时沿着一斜坡下滑了130米的同时,在铅垂方向上下降了50米,那么该斜坡的坡度是1∶________.
图7-6-6
7.教材第113页问题1变式如图7-6-6,水库大坝的横截面是梯形,坝顶AD宽5米,坝高10米,斜坡CD的坡角为45°,斜坡AB的坡度i=1∶1.5,那么坝底BC的长度为________米.
8.2017·海南为做好防汛工作,防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固,专家提供的方案是水坝加高2米(即CD=2米),背水坡DE的坡度i=1∶1(即DB∶EB=1∶1),如图7-6-7所示.已知AE=4米,∠EAC=130°,求水坝原来的高度BC.(参考数据:
sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.2)
图7-6-7
9.2017·长春如图7-6-8,某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°,AB的长为12米,求自动扶梯的水平距离AC的长.(结果精确到0.1米,参考数据:
sin31°≈0.515,cos31°≈0.857,tan31°≈0.601)
图7-6-8
图7-6-9
10.如图7-6-9,水平面上有一个坡度i为1∶2的斜坡AB,矩形货柜DEFG放置在斜坡上.已知DE=2.5m,EF=2m,BF=3.5m,则点D离地面的高为________m.(结果保留根号)
11.某商场为方便顾客使用购物车,准备将滚动电梯的坡面坡度由1∶1.8改为1∶2.4(如图7-6-10).如果改动后电梯的坡面长为13米,求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长.
图7-6-10
12.2018·徐州如图7-6-11,一座堤坝的横截面是梯形,根据图中给出的数据,求坝高和坝底宽.(结果精确到0.1m,参考数据:
≈1.414,
≈1.732)
图7-6-11
13.某地的一座人行天桥如图7-6-12所示,天桥高为6米,坡面BC的坡度为1∶1,为了方便行人推车过天桥,有关部门决定降低坡度,使新坡面的坡度为1∶
.
(1)求新坡面的坡角α;
(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除?
请说明理由.
图7-6-12
14.如图7-6-13,已知斜坡AB的长为60米,坡角(即∠BAC)为30°,BC⊥AC,现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体(用阴影表示),修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE.解答下面的问题:
(下面两个小题的结果都精确到0.1米,参考数据:
≈1.732)
(1)若修建的斜坡BE的坡角(即∠BEF)不大于45°,则平台DE的长最多为多少米?
(2)一座建筑物GH距离坡脚点A27米远(即AG=27米),小明在点D测得∠HDM为30°.点B,C,A,G,H在同一个平面上,点C,A,G在同一条直线上,且GH⊥CG,建筑物GH的高为多少米?
图7-6-13
/教师详解详析/
第7章 锐角三角函数
7.6 第1课时 与坡度和坡角有关的问题
1.D 2.B
3.B [解析]在Rt△ABD中,
∵sin∠ABD=
,
∴AD=AB·sin∠ABD=4sin60°=2
(m).
在Rt△ACD中,∵sin∠ACD=
,
∴AC=
=2
÷sin45°=2
(m).故选B.
4.5
[解析]∵迎水坡AB的坡度是1∶
,
∴BC∶AC=1∶
.∵BC=5米,∴AC=5
米.
5.1000
6.2.4 [解析]由题意及勾股定理,得水平距离=
=120(米),则该斜坡的坡度i=50∶120=1∶2.4.
7.30
8.解:
设BC=x米.在Rt△ABC中,∠CAB=180°-∠EAC=50°,
AB=
≈
=
x.
在Rt△EBD中,∵i=BD∶EB=1∶1,
∴BD=EB,∴CD+BC=AE+AB,
即2+x=4+
x,
解得x=12,∴BC=12.
答:
水坝原来的高度BC约为12米.
9.解:
在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,
∴AC=AB·cos∠BAC≈12×0.857≈10.3(米).
即自动扶梯的水平距离AC的长约为10.3米.
10.2
[解析]过点D作DH⊥BC,垂足为H,且与AB相交于点S.∵∠DGS=∠BHS,∠DSG=∠BSH,∴∠GDS=∠SBH,
∴tan∠GDS=tan∠SBH,即
=
.∵GD=EF=2m,∴GS=1m,∴DS=
=
m,BS=BF+FS=3.5+(2.5-1)=5(m).设HS=xm,则BH=2xm,∴x2+(2x)2=52,解得x=
,∴DH=DS+HS=
+
=2
(m).
11.解:
在Rt△ADC中,∵AD∶DC=1∶2.4,AC=13米,∴DC=2.4AD.
由AD2+DC2=AC2,得AD2+(2.4AD)2=132,∴AD=5(米)(负值不合题意,舍去),
∴DC=12米.
在Rt△ABD中,∵AD∶BD=1∶1.8,
∴BD=5×1.8=9(米),
∴BC=DC-BD=12-9=3(米).
答:
改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为3米.
12.解:
在Rt△CDE中,∵sinC=
,cosC=
,∴DE=sin30°·CD=
×14=7(m),CE=cos30°·CD=
×14=7
≈12.124≈12.12(m).∵四边形AFED是矩形,∴EF=AD=6m,AF=DE=7m.在Rt△ABF中,∵∠B=45°,∴BF=AF=7m,∴BC=BF+EF+CE≈7+6+12.12=25.12≈25.1(m).
答:
该坝的坝高为7m,坝底宽约为25.1m.
13.解:
(1)∵新坡面的坡度为1∶
,
∴tanα=tan∠CAB=
,∴∠α=30°.
答:
新坡面的坡角α为30°.
(2)文化墙PM不需要拆除.理由如下:
过点C作CD⊥AB于点D,则CD=6米.
∵坡面BC的坡度为1∶1,新坡面的坡度为1∶
,∴BD=CD=6米,AD=6
米,
∴AB=AD-BD=(6
-6)米<8米,
∴文化墙PM不需要拆除.
14.[解析]
(1)依题意,当∠BEF=45°时,可求得EF=BF,而BF=
BD=
AB=15米,所以DF=15
米,所以DE=15
-15≈10.98≈11.0(米);
(2)要求建筑物GH的高,可过点D作DP⊥AC,垂足为P,进而利用锐角三角函数求解.
解:
(1)当∠BEF=45°时,平台DE的长最大,此时EF=BF,而BF=
BD=
AB=15米,
所以DF=15
米,
所以DE=15
-15≈10.98≈11.0(米).
答:
平台DE的长最多约为11.0米.
(2)过点D作DP⊥AC,垂足为P.在Rt△DPA中,DP=
AD=
×30=15(米),PA=AD·cos30°=
×30=15
(米).
在矩形DPGM中,MG=DP=15米,DM=PG=(15
+27)米.
在Rt△DMH中,HM=DM·tan30°=(15
+27)×
=(15+9
)米,
所以GH=MG+HM=15+15+9
≈45.6(米).
答:
建筑物GH的高约为45.6米.
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