七年级数学整式的乘法.docx
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七年级数学整式的乘法
七年级数学整式的乘法
第2章:
整式的乘除与因式分解
一、基础知识
1.同底数幂的乘法:
,(m,n都是正整数),即同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
2.幂的乘方:
,(m,n都是正整数),即幂的乘方,底数不变,指数相乘。
3.积的乘方:
,(n为正整数),即积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。
4.整式的乘法:
(1)单项式的乘法法则:
一般地,单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.
(2)单项式乘多项式法则:
单项式与多项式相乘,就是根据乘法分配律,用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加.
可用下式表示:
m(a+b+c)=ma+mb+mc(a、b、c都表示单项式)
(3)多项式的乘法法则:
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
5.乘法公式:
(1)平方差公式:
平方差公式可以用语言叙述为“两个数的和与这两个的差积等于这两个数的平方差”,即用字母表示为:
(a+b)(a-b)=a2-b2;其结构特征是:
公式的左边是两个一次二项式的乘积,并且这两个二项式中有一项是完全相同的,另一项则是互为相反数,右边是乘式中两项的平方差.
(2)完全平方公式:
完全平方公式可以用语言叙述为“两个数和(或差)的平方,等于第一数的平方加上(或减去)第一数与第二数乘积的2倍,加上第二数的平方”,即用字母表示为:
(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2;其结构特征是:
左边是“两个数的和或差”的平方,右边是三项,首末两项是平方项,且符号相同,中间项是2ab,且符号由左边的“和”或“差”来确定.在完全平方公式中,字母a、b都具有广泛意义,它们既可以分别取具体的数,也可以取一个单项式、一个多项式或代数式.如(3x+y-2)2=(3x+y)2-2×(3x+y)×2+22=9x2+6xy-12x+y2-4y+4,或者(3x+y-2)2=(3x)2+2×3x(y-2)+(y-2)2=9x2+6xy-12x+y2-4y+4.前者是把3x+y看成是完全平方公式中的a,2看成是b;后者是把3x看成是完全平方公式中的a,y-2看成是b.
(3)添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都变号。
乘法公式的几种常见的恒等变形有:
(1).a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab.
(2).ab=
[(a+b)2-(a2+b2)]=
[(a+b)2-(a-b)2]=
.
(3).(a+b)2+(a-b)2=2a2+2b2.
(4).(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.
利用上述的恒等变形,我们可以迅速地解决有关看似与乘法公式无关的问题,并且还会收到事半功倍的效果.
6.整式的除法:
,(
,m,n都是正整数,并且
),即同底数幂相除,底数不变,指数相减。
(1)
,任何不等于0的数的0次幂都等于1.
(2)单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
(3)多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加。
7.因式分解概念:
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,这就叫做把这个多项式因式分解,也可称为将这个多项式分解因式,它与整式乘法互为逆运算。
8.常用的因式分解方法:
(1)提公因式法:
把
,分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m,另一个因式
是
除以m所得的商,像这种分解因式的方法叫做提公因式法。
多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式。
公因式的构成:
①系数:
各项系数的最大公约数;
②字母:
各项都含有的相同字母;
③指数:
相同字母的最低次幂。
(2)公式法:
(1)常用公式平方差:
完全平方:
(2)常见的两个二项式幂的变号规律:
①
;②
.(
为正整数)
(3)十字相乘法
ⅰ二次项系数为1的二次三项式
中,如果能把常数项
分解成两个因式
的积,并且
等于一次项系数中
,那么它就可以分解成
ⅱ二次项系数不为1的二次三项式
中,如果能把二次项系数
分解成两个因数
的积,把常数项
分解成两个因数
的积,并且
等于一次项系数
,那么它就可以分解成:
。
(4)分组分解法
ⅰ定义:
分组分解法,适用于四项以上的多项式,例如
没有公因式,又不能直接利用分式法分解,但是如果将前两项和后两项分别结合,把原多项式分成两组。
再提公因式,即可达到分解因式的目的。
例如:
=
,
这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
ⅱ原则:
分组后可直接提取公因式或可直接运用公式,但必须使各组之间能继续分解。
ⅲ有些多项式在用分组分解法时,分解方法并不唯一,无论怎样分组,只要能将多项式正确分解即可。
二、经典例题
第一部分整式的乘除
【例1】例题下列运算正确的是()
A.a5+a5=a10B.a5·a5=a10C.a4·a5=a20D.(a4)5=a9
【思路点拨】选支A是整式的加法运算,合并得2a5;选支B正确;选支C为同底数幂运算应指数相加,而不是相乘,故为a4·a5=a9;选支D为幂的乘方运算,应底数不变,指数相乘,为(a4)5=a20.
【解析】本题应选B.
【规律总结】同底数幂的乘法是学习整式乘法的基础,一定要学好,学习它时注意体会从特殊到一般、从具体到抽象,有层次的进行概括抽象,归纳原理.
【例2】下列运算正确的是()
A.(-x)2x3=x6 B.
C.
D.
【思路点拨】选支A错在把指数相乘,实际应相加(-x)2∙x3=x2·x3=x5;选支B错在符号不对,负的偶次幂为正,负的奇次幂为负,
=
=
;选支C中积的乘方运算出现漏乘项错误,
=
=
;选支D运算正确.
【解析】本题应选D.
【规律总结】幂的乘方与积的乘方,是学习整式乘法的基础.导出幂的乘方的根据是乘方的意义和同底数幂的乘法的性质.同学们要真正理解幂的乘方法的性质,这样才不致混淆性质而运算出错.
【例3】下列运算在正确的是()
A.
B.
C.
D.
[答案]B
[错因透视]
对整式运算法则理解不深入才会出现错误,
,
,
【例4】计算:
(-2x2y)2·(-3xy)
【思路点拨】灵活运用幂的运算性质、乘法交换律等进行运算.
【解析】原式=4x4y2·(-3xy)(据积的乘方)
=[4×(-3)](x4·x)(y2·y)(据乘法交换律、结合律)
=-12x5y3(据有理数的乘法、同底数幂的乘法)
【规律总结】因为单项式是数字与字母的积,所以,幂的运算性质,乘法交换律、结合律,可作为单项式乘法的依据.单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用,如:
2a2b·(-3ab2)·5abc
=[2×(-3)×5]·(a2·a·a)·(b·b2·b)·c=-30a4b4c
【例5】
(1)2xy(5xy2+3xy-1)
(2)(a2-2bc)·(-2ab)2
【思路点拨】
(1)小题单项式为2xy,多项式里含三项为:
5xy2、3xy、-1,乘积仍为三项;
(2)小题应先算(-3ab)2,再用乘法交换律后的计算方法是相同的.
【解析】
(1)原式=2xy·5xy2+2xy·3xy+2xy·(-1)
=10x2y3+6x2y2-2xy
(2)原式=(a2-2bc)·4a2b2
=4a2b2·a2+4a2b2·(-2bc)
=4a4b2-8a2b3c
【规律总结】在解答单项式与多项式相乘问题时,易犯如下错误:
①出现漏乘,而导致缺项;②出现符号错误;③运算顺序出错,造成计算有错.
【例6】计算:
(1)(3x-2y)(2a+3b)
(2)(x-y)(x2+xy+y2)
【思路点拨】第
(1)题,先用x分别与2a、3b相乘,再用-2y分别与2a、3b相乘,然后把所得的积相加;第
(2)题,可先用二项式(x-y)中的x分别与三项式中的各项相乘,再用-y分别与三项式中的各项相乘,然后把所得的积相加.
【解析】
(1)原式=3x·2a+3x·3b+(-2y)·2a+(-2y)·3b
=6ax+9bx-4ay-6by
(2)原式=x·x2+x·xy+x·y2+(-y)·x2+(-y)·xy+(-y)·y2
=x3+x2y+xy2-x2y-xy2-y3
=x3-y3
【规律总结】
(1)利用多项式乘法法则时,既不要漏乘,又要注意确定各项的符号.
(2)乘积中有同类项,要合并同类项.
【例7】计算
(1)(3x2+2y2)(-3x2+2y3)
【思路点拨】仔细观察题目特点,凡两因式中相同项当作公式中的a,另一项(必须是互为相反数)当作公式中的b方可应用平方差公式,而有的,必须经过变形才能运用平方差公式.
【解析】原式=(2y3)2-(3x2)2
=4y6-9x4
【规律总结】公式中的字母可表示具体的数,也可表示单项式或多项式,只要符合平方差公式的结构特征,就可运用.
【例8】化简:
(1)(2a+3b)2
(2)(-x+2y)2(3)(-m-2n)2
【思路点拨】此题可利用完全平方公式计算,第
(1)题是两数和的平方,应选用“和”的完全平方公式,其中2a是公式中的a,3b是公式中的b;第
(2)题(-x+2y)2=(2y-x)2=(x-2y)2所以应选用“差”的完全平方公式简捷;第(3)题(-m-2n)2=[-(m+2n)]2=(m+2n)2应选用“和”的完全平方公式简捷.
【解析】
(1)(2a+3b)2=(2a)2+2.2a.3b+(3b)2
=4a2+12ab+9b2
(2)(-x+2y)2=(2y-x)2=(2y)2-2·2y·x+x2
=4y2-4xy+x2
(3)(-m-2n)2=[-(m+2n)]2=(m+2n)2=m2+4mn+4n2
【规律总结】
(1)这三题其实都可以用“和”的完全平方公式(或“差”的完全平方公式)计算,只不过根据题目特点灵活采用变形可简化计算过程,其中(-x+2y)2转化为(2y-x)2或(x-2y)2是一个常用技巧.
(2)完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2,展开式可记成“首(a)平方、尾(b)平方,首(a)尾(b)乘积的2倍加减在中央”.
【例9】计算:
(1)y10÷y3÷y4
(2)(-ab)5÷(-ab)3
【思路点拨】先观察题目,确定运算顺序及可运用的公式,再进行计算.题目
(2)中被除数与除数的底数相同,故可先进行同底数幂的除法,再运用积的乘方的公式将计算进行到最后.
【解析】
(1)y10÷y3÷y4=y10-3-4=y3
(2)(-ab)5÷(-ab)3=(-ab)2=a2b2
【规律总结】像
(2)这种题目,一定要计算到最后一步.
【例10】计算:
(1)xn+2÷xn-2
(2)(x4)3·x4÷x16 (3)用小数或分数表示:
5.2×10-3
【思路点拨】
(1)在运用“同底数幂的除法”公式时,指数若是多项式,指数相减一定要打括号.
(2)中先乘方运算再做乘除法;(3)先将负指数的幂化为小数,再进行乘法运算,得到最后结果.
【解析】
(1)xn+2÷xn-2=x(n+2)-(n-2)=x4
(2)(x4)3·x4÷x16
=x12·x4÷x16=x12+4-16=x0=1
(3)5.2×10-3=5.2×
=5.2×0.001=0.0052
【规律总结】这里要特别注意“am÷a
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