最小面积的求法.docx
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最小面积的求法
18.(09年福建卷)22.(20分)图为可测定比荷的某装置的简化示意图,在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小B=2.0×10-3T,在X轴上距坐标原点L=0.50m的P处为离子的入射口,在Y上安放接收器,现将一带正电荷的粒子以v=3.5×104m/s的速率从P处射入磁场,若粒子在y轴上距坐标原点L=0.50m的M处被观测到,且运动轨迹半径恰好最小,设带电粒子的质量为m,电量为q,不记其重力。
(1)求上述粒子的比荷
;
(2)如果在上述粒子运动过程中的某个时刻,在第一象限内再加一个匀强电场,就可以使其沿y轴正方向做匀速直线运动,求该匀强电场的场强大小和方向,并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场;
(3)为了在M处观测到按题设条件运动的上述粒子,在第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内,求此矩形磁场区域的最小面积,并在图中画出该矩形。
答案
(1)
=4.9×
C/kg(或5.0×
C/kg);
(2)
;(3)
解析:
第
(1)问本题考查带电粒子在磁场中的运动。
第
(2)问涉及到复合场(速度选择器模型)第(3)问是带电粒子在有界磁场(矩形区域)中的运动。
(1)设粒子在磁场中的运动半径为r。
如图甲,依题意M、P连线即为该粒子在磁场中作匀速圆周运动的直径,由几何关系得
①
由洛伦兹力提供粒子在磁场中作匀速圆周运动的向心力,可得
②
联立①②并代入数据得
=4.9×
C/kg(或5.0×
C/kg) ③
(2)设所加电场的场强大小为E。
如图乙,当粒子子经过Q点时,速度沿y轴正方向,依题意,在此时加入沿x轴正方向的匀强电场,电场力与此时洛伦兹力平衡,则有
④
代入数据得
⑤
所加电场的长枪方向沿x轴正方向。
由几何关系可知,圆弧PQ所对应的圆心角为45°,设带点粒子做匀速圆周运动的周期为T,所求时间为t,则有
⑥
⑦
联立①⑥⑦并代入数据得
⑧
(3)如图丙,所求的最小矩形是
,该区域面积
⑨
联立①⑨并代入数据得
矩形如图丙中
(虚线)
51、(徐州市2008届第3次质检)(15分)如图所示,第四象限内有互相正交的匀强电场E与匀强磁场B1,E的大小为0.5×103V/m,B1大小为0.5T;第一象限的某个矩形区域内,有方向垂直纸面向里的匀强磁场B2,磁场的下边界与x轴重合.一质量m=1×10-14kg、电荷量q=1×10-10C的带正电微粒以某一速度v沿与y轴正方向成60°角从M点沿直线运动,经P点进入处于第一象限内的磁场B2区域。
一段时间后,微粒经过y轴上的N点并与y轴正方向成60°角的方向飞出,M点的坐标为(0,-10),N点的坐标为(0,30).不计粒子重力,g取10m/s2.
(1)请分析判断匀强电场E的方向并求微粒运动速度的v大小;
(2)匀强磁场B2的大小为多大?
;
(3)B2磁场区域的最小面积为多少?
解:
(1)带正电微粒在第四象限作匀速直线运动
E的方向垂直于MP与y轴负方向成300角
(2)微粒在第一象限运动轨迹如图示
OP=OMtan600=
(m)
由几何关系
解得
(m)
B2=
T
Smin=
=
(m2)
36、(淮安、连云港、宿迁、徐州四市2008第2次调研)(14分)如图所示的直角坐标系中,在直线x=-2l0到y轴区域内存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场,其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向,x轴下方的电场方向沿y轴正方向。
在电场左边界上A(-2l0,-l0)到C(-2l0,0)区域内,连续分布着电量为+q、质量为m的粒子。
从某时刻起由A点到C点间的粒子,依次连续以相同的速度v0沿x轴正方向射入电场。
若从A点射入的粒子,恰好从y轴上的A′(0,l0)沿x轴正方向射出电场,其轨迹如图。
不计粒子的重力及它们间的相互作用。
⑴求匀强电场的电场强度E;
⑵求在AC间还有哪些位置的粒子,通过电场后也能沿x轴正方向运动?
⑶若以直线x=2l0上的某点为圆心的圆形区域内,分布着垂直于xOy平面向里的匀强磁场,使沿x轴正方向射出电场的粒子,经磁场偏转后,都能通过直线x=2l0与圆形磁场边界的一个交点处,而便于被收集,则磁场区域的最小半径是多大?
相应的磁感应强度B是多大?
16.(14分)
⑴从A点射出的粒子,由A到A′的运动时间为T,根据运动轨迹和对称性可得
x轴方向
(1分)
y轴方向
(1分)
得:
(2分)
⑵设到C点距离为△y处射出的粒子通过电场后也沿x轴正方向,粒子第一次达x轴用时△t,水平位移为△x,则
(1分)
若满足
,则从电场射出时的速度方向也将沿x轴正方向(2分)
解之得:
(2分)
即AC间y坐标为
(n=1,2,3,……)(1分)
⑶当n=1时,粒子射出的坐标为
当n=2时,粒子射出的坐标为
当n≥3时,沿x轴正方向射出的粒子分布在y1到y2之间(如图)y1到y2之间的距离为
L=y1-y2=
则磁场的最小半径为
(2分)
若使粒子经磁场偏转后汇聚于一点,粒子的运动半径与磁场圆的半径相等(如图),(轨迹圆与磁场圆相交,四边形PO1QO2为棱形)由
得:
(2分)
23.(09年海南物理)16.(10分)如图,ABCD是边长为
的正方形。
质量为
、电荷量为
的电子以大小为
的初速度沿纸面垂直于BC变射入正方形区域。
在正方形内适当区域中有匀强磁场。
电子从BC边上的任意点入射,都只能从A点射出磁场。
不计重力,求:
(1)次匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小;
(2)此匀强磁场区域的最小面积。
解析:
(1)设匀强磁场的磁感应强度的大小为B。
令圆弧
是自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨道。
电子所受到的磁场的作用力
应指向圆弧的圆心,因而磁场的方向应垂直于纸面向外。
圆弧
的圆心在CB边或其延长线上。
依题意,圆心在A、C连线的中垂线上,故B点即为圆心,圆半径为
按照牛顿定律有
联立①②式得
(2)由
(1)中决定的磁感应强度的方向和大小,可知自
点垂直于
入射电子在A点沿DA方向射出,且自BC边上其它点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC区域中。
因而,圆弧
是所求的最小磁场区域的一个边界。
为了决定该磁场区域的另一边界,我们来考察射中A点的电子的速度方向与BA的延长线交角为
(不妨设
)的情形。
该电子的运动轨迹
如图所示。
图中,圆
的圆心为O,pq垂直于BC边,由③式知,圆弧
的半径仍为
,在D为原点、DC为x轴,AD为
轴的坐标系中,P点的坐标
为
这意味着,在范围
内,p点形成以D为圆心、
为半径的四分之一圆周
,它是电子做直线运动和圆周运动的分界线,构成所求磁场区域的另一边界。
因此,所求的最小匀强磁场区域时分别以
和
为圆心、
为半径的两个四分之一圆周
和
所围成的,其面积为
28.浙江省金华一中2010届高三12月联考如图甲所示,x轴正方向水平向右,y轴正方向竖直向上。
在xoy平面内有与y轴平行的匀强电场,在半径为R的圆形区域内加有与xoy平面垂直的匀强磁场。
在坐标原点O处放置一带电微粒发射装置,它可以连续不断地发射具有相同质量m、电荷量q(
)和初速为
的带电粒子。
已知重力加速度大小为g。
(1)当带电微粒发射装置连续不断地沿y轴正方向发射这种带电微粒时,这些带电微粒将沿圆形磁场区域的水平直径方向离开磁场,并继续沿x轴正方向运动。
求电场强度和磁感应强度的大小和方向。
(2)调节坐标原点。
处的带电微粒发射装置,使其在xoy平面内不断地以相同速率v0沿不同方向将这种带电微粒射入第1象限,如图乙所示。
现要求这些带电微粒最终都能平行于x轴正方向运动,则在保证匀强电场、匀强磁场的强度及方向不变的条件下,应如何改变匀强磁场的分布区域?
并求出符合条件的磁场区域的最小面积。
解:
(1)由题目中“带电粒子从坐标原点O处沿y轴正方向进入磁场后,最终沿圆形磁场区域的水平直径离开磁场并继续沿x轴正方向运动”可知,带电微粒所受重力与电场力平衡。
设电场强度大小为E,由平衡条件得:
1分
∴
1分
电场方向沿
轴正方向
带电微粒进入磁场后,做匀速圆周运动,且圆运动半径r=R。
设匀强磁场的磁感应强度大小为B。
由牛顿第二定律得:
1分
∴
1分
磁场方向垂直于纸面向外 1分
(2)设由带电微粒发射装置射入第Ⅰ象限的带电微粒的初速度方向与
轴承夹角
,
则
满足0≤
,由于带电微粒最终将沿
轴正方向运动,
故B应垂直于
平面向外,带电微粒在磁场内做半径为
匀速圆周运动。
由于带电微粒的入射方向不同,若磁场充满纸面,
它们所对应的运动的轨迹如图所示。
2分
为使这些带电微粒经磁场偏转后沿
轴正方向运动。
由图可知,它们必须从经O点作圆运动的各圆的最高点飞离磁场。
这样磁场边界上P点的坐标P(x,y)应满足方程:
,
,
所以磁场边界的方程为:
2分
由题中0≤
的条件可知,
以
的角度射入磁场区域的微粒的运动轨迹
即为所求磁场的另一侧的边界。
2分
因此,符合题目要求的最小磁场的范围应是圆
与圆
的
交集部分(图中阴影部分)。
1分
由几何关系,可以求得符合条件的磁场的最小面积为:
1分
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- 最小 面积 求法