高考数学全国卷考前专题复习大串讲函数与导数专题突破.docx

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高考数学全国卷考前专题复习大串讲函数与导数专题突破

函数与导数专题突破

专题一高考中函数图象与性质的综合应用

题型一　分段函数求值问题

【例1】　设f（x）＝

且f

（1）＝6，则f（f（－2））的值为________.

【思维启迪】　首先根据f

（1）＝6求出t的取值，从而确定函数解析式，然后由里到外逐层求解f（f（－2））的值，并利用指数与对数的运算规律求出函数值.

【答案】　12

【思维升华】　本题的难点有两个，一是准确理解分段函数的定义，自变量在不同取值范围内对应着不同的函数解析式；二是对数与指数的综合运算问题.解决此类问题的关键是要根据分段函数的定义，求解函数值时要先判断自变量的取值区间，然后再代入相应的函数解析式求值，在求值过程中灵活运用对数恒等式进行化简求值.

【跟踪训练】已知f（x）＝

则f

＋f

的值等于________.

【答案】　3

【解析】　f

＝

，f

＝f

＋1＝f

＋2＝

，f

＋f

＝3.

题型二　函数图象及性质的应用

【例2】　已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）＝2x－x2.

（1）求函数f（x）的表达式并画出其大致图象；

（2）若当x∈a，b]时，f（x）∈

.若0

【思维启迪】　

（1）根据函数奇偶性画出函数图象；

（2）在区间0,2]上，根据单调区间对a、b进行分类讨论求解.

【解析】　

（1）当x<0时，f（x）＝－f（－x）＝－（－2x－x2）＝x2＋2x，

∴f（x）＝

，

f（x）的大致图象如下：

∴a＝1，b＝

.

③0

（1）＝

＝1，

得a＝1，由a

综上：

a＝1，b＝

.

【思维升华】　函数的图象形象直观地显示了函数的性质，所以通常用函数图象研究函数的最值、单调区间、交点个数和含参数的方程或不等式的解集等问题，体现了数形结合的数学思想.

【跟踪训练】　

（1）设函数f（x）＝

若方程f（x）＝m有三个不同的实根，则实数m的取值范围为________.

（2）（·天津变式）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间0，＋∞）上单调递增.若实数a满足f（log2a）＋f（

）≤2f

（1），则a的取值范围是________.

【答案】　

（1）（－

，0）　

（2）

【解析】　

（1）作出函数y＝f（x）的图象，如图所示.

当x>0时，f（x）＝x2－x＝（x－

）2－

≥－

，

所以要使方程f（x）＝m有三个不同的实根，

则－

，0）.

题型三　函数的值域与不等式恒成立问题

【例3】　已知函数g（x）＝ax2－2ax＋1＋b（a≠0，b<1），在区间2,3]上有最大值4，最小值1，设f（x）＝

.

（1）求a，b的值；

（2）若不等式f（2x）－k·2x≥0在x∈－1,1]上恒成立，求实数k的范围.

【思维启迪】　对于恒成立问题，若能转化为a>f（x）（或a

【解析】

（1）g（x）＝a（x－1）2＋1＋b－a.

当a>0时，g（x）在2,3]上为增函数，

故

即

解得

当a<0时，g（x）在2,3]上为减函数，

故

即

解得

因为b<1，所以a＝1，b＝0.

（2）方程f（2x）－k·2x≥0化为2x＋

－2≥k·2x，

即1＋（

）2－

≥k.令

＝t，则k≤t2－2t＋1，

因为x∈－1,1]，所以t∈

，2]，记φ（t）＝t2－2t＋1，

所以φ

（1）min＝0，所以k≤0.

【思维升华】　解决二次函数最值的关键是抓住图象的开口方向、对称轴与区间的相对位置；不等式恒成立问题关键是看不等式的特点，灵活运用函数的性质，如二次不等式恒成立问题可运用图象、分离变量运用函数值域法等；已知含参数的方程的解的个数求参数的取值范围时根据方程的特点，可运用函数的图象处理.

【跟踪训练】　定义在R上的增函数y＝f（x）对任意x，y∈R都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）.

（1）求f（0）；

（2）求证：

f（x）为奇函数；

（3）若f（k·3x）＋f（3x－9x－2）<0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围.

【解析】

当

≥0即k≥－1时，对任意t>0，f（t）>0恒成立⇔

解得－1≤k<－1＋2

.

综上所述，当k<－1＋2

时，f（k·3x）＋f（3x－9x－2）<0对任意x∈R恒成立.

题型四　函数的实际应用

【例4】　据气象中心观察和预测，发生于M地的沙尘暴一直向正南方

向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线

段OC上一点T（t,0）作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分

的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路线s（km）.

（1）当t＝4时，求s的值；

（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；

（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650km.试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？

如果不会，请说明理由.

思维启迪　本题用一次函数、二次函数模型来考查生活中的行程问题，要分析出每段的速度随时间的关系式，再求距离.

【解析】

（1）由图象可知：

当t＝4时，v＝3×4＝12，

∴s＝

×4×12＝24.

（2）当0≤t≤10时，s＝

·t·3t＝

t2；

当10

×10×30＋30（t－10）＝30t－150；

当20

×10×30＋10×30＋（t－20）×30－

×（t－20）×2（t－20）＝－t2＋70t－550.

综上可知s＝

所以沙尘暴发生30h后将侵袭到N城.

【思维升华】　

（1）在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升（自变量的系数大于0）或直线下降（自变量的系数小于0），构建一次函数模型，利用一次函数的图象与单调性求解.

（2）有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等.构建二次函数模型，利用二次函数图象与单调性解决.

（3）在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域.

【跟踪训练】

如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地

平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的

轨迹在方程y＝kx－

（1＋k2）x2（k>0）表示的曲线上，其中k与发射

方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.

（1）求炮的最大射程.

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？

请说明理由.

【解析】

（1）令y＝0，得kx－

（1＋k2）x2＝0，

由实际意义和题设条件知x>0，k>0，

故x＝

＝

≤

＝10，当且仅当k＝1时取等号.

所以炮的最大射程为10千米.

（2）因为a>0，所以炮弹可击中目标⇔存在k>0，

使3.2＝ka－

（1＋k2）a2成立

⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根

⇔判别式Δ＝（－20a）2－4a2（a2＋64）≥0⇔a≤6.

所以当a不超过6千米时，可击中目标.

专题二高考中导数的应用的问题

题型一　利用导数研究函数性质

【例1】　（·课标全国Ⅱ）已知函数f（x）＝lnx＋a（1－x）．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）当f（x）有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．

【思维升华】　利用导数主要研究函数的单调性、极值、最值．已知f（x）的单调性，可转化为不等式f′（x）≥0或f′（x）≤0在单调区间上恒成立问题；含参函数的最值问题是高考的热点题型，解此类题的关键是极值点与给定区间位置关系的讨论，此时要注意结合导函数图象的性质进行分析．

【跟踪训练】　已知a∈R，函数f（x）＝（－x2＋ax）ex（x∈R，e为自然对数的底数）．

（1）当a＝2时，求函数f（x）的单调递增区间；

（2）若函数f（x）在（－1,1）上单调递增，求a的取值范围．

题型二　利用导数研究不等式问题

【例2】　已知f（x）＝xlnx，g（x）＝－x2＋ax－3.

（1）对一切x∈（0，＋∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；

（2）证明：

对一切x∈（0，＋∞），都有lnx>

－

成立．

【解析】

（1）　∀x∈（0，＋∞），有2xlnx≥－x2＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋

，

设h（x）＝2lnx＋x＋

（x>0），

则h′（x）＝

，

①当x∈（0,1）时，h′（x）<0，h（x）单调递减，

【思维升华】　

（1）恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解，若不能分离参数，可以将参数看成常数直接求解．

（2）证明不等式，可以转化为求函数的最值问题．

【跟踪训练】　已知函数f（x）＝

＋

，曲线y＝f（x）在点（1，f

（1）处的切线方程为x＋2y－3＝0.

（1）求a，b的值；

（2）证明：

当x>0，且x≠1时，f（x）>

.

【解析】

（1）　f′（x）＝

－

.

由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－

，且过点（1,1），

故

即

解得a＝1，b＝1.

（2）证明　由

（1）知f（x）＝

＋

，

所以f（x）－

＝

.

考虑函数h（x）＝2lnx－

（x>0），

则h′（x）＝

－

＝－

.

所以当x≠1时，h′（x）<0.而h

（1）＝0，故当x∈（0,1）时，h（x）>0，可得

h（x）>0；

当x∈（1，＋∞）时，h（x）<0，可得

h（x）>0.

从而当x>0，且x≠1时，f（x）－

>0.

即f（x）>

.

题型三　利用导数研究函数零点或图象交点问题

【例3】　设函数f（x）＝lnx＋

，m∈R.

（1）当m＝e（e为自然对数的底数）时，f（x）的极小值；

（2）讨论函数g（x）＝f′（x）－

零点的个数．

【解析】

（2）由题设g（x）＝f′（x）－

＝

－

－

（x>0），

令g（x）＝0，得m＝－

x3＋x（x>0）．

设φ（x）＝－

x3＋x（x≥0），

则φ′＝－x2＋1＝－（x－1）（x＋1），

当x∈（0,1）时，φ′（x）>0，φ（x）在（0,1）上单调递增；

当x∈（1，＋∞）时，φ′（x）<0，φ（x）在（1，＋∞）上单调递减．

∴x＝1是φ（x）的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ（x）的最大值点．

∴φ（x）的最大值为φ

（1）＝

.

又φ（0）＝0，结合y＝φ（x）的图象（如图），

可知

【思维升华】　

用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合思想画草图确定参数范围．

【跟踪训练】　已知函数f（x）＝2lnx－x2＋ax（a∈R）．

（1）当a＝2时，求f（x）的图象在x＝1处的切线方程；

（2）若函数g（x）＝f（x）－ax＋m在

，e]上有两个零点，求实数m的取值范围．

【解析】

（1）当a＝2时，f（x）＝2lnx－x2＋2x，f′（x）＝

－2x＋2，切点坐标为（1,1），切线的斜率k＝f′

（1）＝2，则切线方程为y－1＝2（x－1），即2x－y－1＝0.

（2）g（x）