小学奥数几何五大模型相似模型分解文件.docx
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小学奥数几何五大模型相似模型分解文件
任意四边形、梯形与相似模型
模型四相似三角形模型
(一)金字塔模型
(二)沙漏模型
AEFD
A
D
FE
BCBGCG
①ADAEDEAF
ABACBCAG
;
②
S△:
S△AFAG。
2:
2
ADEABC
所谓的相似三角形,就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样
改变它们都相似),与相似三角形相关的常用的性质及定理如下:
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比;
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方;
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形中位线定理:
三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。
相似三角形模型,给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。
在小学奥数里,出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。
【例1】如图,已知在平行四边形ABCD中,AB16,AD10,BE4,那么FC的长
度是多少?
DC
F
A
BE
【解析】图中有一个沙漏,也有金字塔,但我们用沙漏就能解决问题,因为AB平行于CD,
所以BF:
FCBE:
CD4:
161:
4,所以
4
FC108.
14
【例2】如图,测量小玻璃管口径的量具ABC,AB的长为15厘米,AC被分为60等份。
如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE平行AB),那么小玻璃管口径
DE是多大?
B
E
A
0
10
DC
2030405060
【解析】有一个金字塔模型,所以DE:
ABDC:
AC,DE:
1540:
60,所以DE10厘米。
【例3】如图,DE平行BC,若AD:
DB2:
3,那么S△ADE:
S△ECB________。
A
ED
BC
【解析】根据金字塔模型AD:
ABAE:
ACDE:
BC2:
(23)2:
5,
22
S△:
S△2:
54:
25,
ADEABC
设S△ADE4份,则S△ABC25份,S△BEC2553份,所以
S△:
S△4:
。
1
ADEECB
【例4】如图,△ABC中,DE,FG,BC互相平行,ADDFFB,
则S△ADE:
S四边形DEGF:
S四边形FGCB。
A
ED
FG
BC
【解析】设S1
△份,根据面积比等于相似比的平方,
ADE
所以
22
S△:
S△AD:
AF1:
4,
ADEAFG
22
S△:
S△AD:
AB1:
9,因此
ADEABC
S△4份,S△ABC9份,
AFG
进而有S四边形DEGF3份,S四边形FGCB5份,所以S△ADE:
S四边形DEGF:
S四边形FGCB1:
3:
5
【巩固】如图,DE平行BC,且AD2,AB5,AE4,求AC的长。
A
ED
BC
【解析】由金字塔模型得AD:
ABAE:
ACDE:
BC2:
5,所以AC42510
【巩固】如图,△ABC中,DE,FG,MN,PQ,BC互相平行,ADDFFMMPPB,
则:
:
:
:
S△S四边形S四边形S四边形S四边形。
ADEDEGFFGNMMNQPPQCB
A
DE
FG
M
N
P
Q
CB
【解析】设S1
△份,
ADE
22
S△:
S△AD:
AF1:
4,因此S△AFG4份,进而有
ADEAFG
S四边形3份,同理有S四边形FGNM5份,S四边形MNQP7份,S四边形PQCB9份.
DEGF
所以有S△ADE:
S四边形DEGF:
S四边形FGNM:
S四边形MNQP:
S四边形PQCB1:
3:
5:
7:
9
【总结】继续拓展,我们得到一个规律:
平行线等分线段后,所分出来的图形的面积成等差
数列。
【例5】已知△ABC中,DE平行BC,若AD:
DB2:
3,且
S
梯形比S△ADE大
DBCE
2
8.5cm,
求S△ABC。
A
ED
BC
【解析】根据金字塔模型AD:
ABDE:
BC2:
(23)2:
5,
22
S△:
S△2:
54:
25,设S△ADE4份,则S△ABC25份,
ADEABC
S梯形254份,S梯形DBCE比S△ADE大17份,恰好是
DBCE
2
8.5cm,所以
S△
ABC
12.5cm
2
【例6】如图:
MN平行BC,S△MPN:
S△BCP4:
9,AM4cm,求BM的长度
A
MN
P
BC
【解析】在沙漏模型中,因为S△:
S△4:
9,所以MN:
BC2:
3,在金字塔模型中有:
MPNBCP
AM:
ABMN:
BC2:
3,因为AM4cm,AB4236cm,所以
BM642cm
【巩固】如图,已知DE平行BC,BO:
EO3:
2,那么AD:
AB________。
A
DE
O
BC
【解析】由沙漏模型得BO:
EOBC:
DE3:
2,再由金字塔模型得
AD:
ABDE:
BC2:
3.
【例7】如图,ABC中,
1
AEAB,
4
1
ADAC,ED与BC平行,EOD的面积是1
4
平方厘米。
那么AED的面积是平方厘米。
A
DE
O
BC
【解析】因为
1
AEAB,
4
1
ADAC,ED与BC平行,
4
根据相似模型可知ED:
BC1:
4,EO:
OC1:
4,SCOD4SEOD4平方厘米,
则SCDE415平方厘米,
又因为SAED:
SCDEAD:
DC1:
3,所以
15
S5(平方厘米).
AED
33
【例8】在图中的正方形中,A,B,C分别是所在边的中点,CDO的面积是ABO面
积的几倍?
CCF
BB
OO
DEDAA
【解析】连接BC,易知OA∥EF,根据相似三角形性质,可知OB:
ODAE:
AD,且
OA:
BEDA:
DE1:
2,所以CDO的面积等于CBO的面积;由
11
OABEAC可得CO3OA,所以SCDOSCBO3SABO,即CDO的面积是
24
ABO面积的3倍。
【例9】如图,线段AB与BC垂直,已知ADEC4,BDBE6,那么图中阴影部分
面积是多少?
AA
DDO
BC
E
BC
E
A
D
O
BCE
【解析】解法一:
这个图是个对称图形,且各边长度已经给出,不妨连接这个图形的对称轴
看看.
作辅助线BO,则图形关于BO对称,有SADOSCE,OSDBOSEBO,且
S:
S4:
62:
.3
ADODBO
设ADO的面积为2份,则DBO的面积为3份,直角三角形ABE的面积为8份.
因为SABE610230,而阴影部分的面积为4份,所以阴影部分的面积为
308415.
解法二:
连接DE、AC.由于ADEC4,BDBE6,所以DE∥AC,根
据相似三角形性质,可知DE:
ACBD:
BA6:
103:
5,
根据梯形蝴蝶定理,
22
S:
S:
S:
S3:
35:
35:
59:
15:
15:
25,
DOEDOACOECOA
所以S阴影:
S梯形ADEC1515:
915152515:
32,即
15
S阴影S
梯形;
ADEC
32
又
11
S101066=32
梯形,所以
ADEC
22
15
S阴影S15
梯形.
ADEC
32
【例10】(2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)如图,四边形
ABCD和EFGH都是平行四边形,四边形ABCD的面积是16,BG:
GC3:
1,则四边形EFGH的面积________.
AED
FH
BGC
【解析】因为FGHE为平行四边形,所以EC//AG,所以AGCE为平行四边形.
BG:
GC3:
1,那么GC:
BC1:
4,所以
11
SS164.
AGCEABCD
44
又AEGC,所以AE:
BGGC:
BG1:
3,根据沙漏模型,
FG:
AFBG:
AE3:
1,所以
33
SS43.
FGHEAGCE
44
【例11】已知三角形ABC的面积为a,AF:
FC2:
1,E是BD的中点,且EF∥BC,
交CD于G,求阴影部分的面积.
A
D
EF
G
BC
【解析】已知AF:
FC2:
,1且EF∥BC,利用相似三角形性质可知
EF:
BCAF:
AC2:
3,所以
2
EFBC,且SAEF:
SABC4:
9.
3
又因为E是BD的中点,所以EG是三角形DBC的中位线,那么
1
EGBC,
2
12
EG:
EF:
3:
4,所以GF:
EF1:
4,可得SCFG:
SAFE1:
8,所以
23
S:
S1:
1,8那么
CFGABC
a
S.
CFG
18
【例12】已知正方形ABCD,过C的直线
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