选修23二项分布及其应用培优知识点+典型例题学生版.docx
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选修23二项分布及其应用培优知识点+典型例题学生版
二项分布及其应用
知识讲解
一、条件概率
1.条件概率的定义:
对于任何两个事件
和
,在已知事件
发生的条件下,事件
发生的概率叫做条件概率,用符号“
”来表示.
2.条件概率公式:
其中
称为事件
与
的积或交(或积).把由事件
与
的交(或积),记做
(或
).
3.条件概率的求法:
1)利用定义,分别求出
和
,得
.
2)借助古典概型概率公式,先求事件
包含的基本事件数,即
再求事件
,得
.
二、事件的独立性
概念:
如果事件
是否发生对事件
发生的概率没有影响,即
,这时,我们称两个事件
,
相互独立,并把这两个事件叫做相互独立事件.如果事件
,
,…,
相互独立,那么这
个事件都发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即
,并且上式中任意多个事件
换成其对立事件后等式仍成立.
三、独立重复试验与二项分布
1.独立重复试验
定义:
如果每次试验,只考虑有两个可能的结果
及
,并且事件
发生的概率相同.在相同的条件下,重复地做
次试验,各次试验的结果相互独立,那么一般就称它们为
次独立重复试验.
注:
次独立重复试验中,事件
恰好发生
次的概率为
.
2.二项分布
定义:
若将事件
发生的次数设为
,事件
不发生的概率为
,那么在
次独立重复试验中,事件
恰好发生
次的概率是
,其中
.于是得到
的分布列
…
…
…
…
由于表中第二行恰好是二项展开式
各对应项的值,所以称这样的离散型随机变量
服从参数为
,
的二项分布,记作
.
四、二项分布的期望与方差
二项分布的均值与方差:
若离散型随机变量
服从参数为
和
的二项分布,则
,
.
典型例题
一.解答题(共14小题)
1.(2017春•黄陵县校级期末)
(1)抛掷一颗骰子两次,定义随机变量ξ=
,试写出随机变量ξ的分布列;
(2)抛掷一颗骰子两次,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,求第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率.
2.(2017春•钦州期末)某班包括男生甲和女生乙在内共有6名班干部,其中男生4人,女生2人,从中任选3人参加义务劳动.
(1)求男生甲或女生乙被选中的概率;
(2)设“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件B,求P(A)和P(A|B).
3.(2017春•贵池区校级月考)某班从6名班干部(其中男生4人,女生2人)中,任选3人参加学校的义务劳动.
(1)设所选3人中女生人数为X,求X的分布列;
(2)求男生甲或女生乙被选中的概率;
(3)设“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件B,求P(B)和P(A|B).
4.(2016•邯郸模拟)甲乙两班进行消防安全知识竞赛,每班出3人组成甲乙两支代表队,首轮比赛每人一道必答题,答对则为本队得1分,答错不答都得0分,已知甲队3人每人答对的概率分别为
,
,
,乙队每人答对的概率都是
.设每人回答正确与否相互之间没有影响,用ξ表示甲队总得分.
(Ⅰ)求随机变量ξ的分布列及其数学期望E(ξ);
(Ⅱ)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下,甲队比乙队得分高的概率.
5.(2016春•丰城市校级月考)1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球,问:
(Ⅰ)从1号箱中取出的是红球的条件下,从2号箱取出红球的概率是多少?
(Ⅱ)从2号箱取出红球的概率是多少?
6.(2017•启东市校级模拟)设有3个投球手,其中一人命中率为q,剩下的两人水平相当且命中率均为p(p,q∈(0,1)),每位投球手均独立投球一次,记投球命中的总次数为随机变量为ξ.
(1)当p=q=
时,求数学期望E(ξ)及方差V(ξ);
(2)当p+q=1时,将ξ的数学期望E(ξ)用p表示.
7.(2016秋•清城区期末)某批发市场对某种商品的日销售量(单位:
吨)进行统计,最近50天的统计结果如下:
日销售量
1
1.5
2
天数
10
25
15
频率
0.2
a
b
若以上表中频率作为概率,且每天的销售量相互独立.
(Ⅰ)求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1.5吨的概率;
(Ⅱ)已知每吨该商品的销售利润为2千元,X表示该种商品某两天销售利润的和(单位:
千元),求X的分布列和数学期望.
8.(2014•文登市三模)现有正整数1,2,3,4,5,…n,一质点从第一个数1出发顺次跳动,质点的跳动步数通过抛掷骰子来决定:
骰子的点数小于等于4时,质点向前跳一步;骰子的点数大于4时,质点向前跳两步.
(Ⅰ)若抛掷骰子二次,质点到达的正整数记为ξ,求Eξ和Dξ;
(Ⅱ)求质点恰好到达正整数6的概率.
9.(2014•旌阳区校级模拟)德阳中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程,要求初等代数、初等几何都要合格,且初等数论和微积分初步至少有一门合格,则能取得参加数学竞赛复赛的资格,现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训,每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立,其合格的概率均相同,(见下表),且每一门课程是否合格相互独立,
课程
初等代数
初等几何
初等数论
微积分初步
合格的概率
(1)求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率;
(2)记ξ表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数,求ξ的分布列及期望Eξ.
10.(2014春•奉新县校级月考)作为家长都希望自己的孩子能升上比较理想的高中,于是就催生了“名校热”,这样择校的结果就导致了学生在路上耽误的时间增加了.若某生由于种种原因,每天只能6:
15骑车从家出发到学校,途经5个路口,这5个路口将家到学校分成了6个路段,每个路段的骑车时间是10分钟(通过路口的时间忽略不计),假定他在每个路口遇见红灯的概率均为
,且该生只在遇到红灯或到达学校才停车.对每个路口遇见红灯情况统计如下:
红灯
1
2
3
4
5
等待时间(秒)
60
60
90
30
90
(1)设学校规定7:
20后(含7:
20)到校即为迟到,求这名学生迟到的概率;
(2)设X表示该学生上学途中遇到的红灯数,求P(X≥2)的值;
(3)设Y表示该学生第一次停车时已经通过路口数,求随机变量Y的分布列和数学期望.
11.(2014春•桥西区校级月考)某工人在一天内加工零件产生的次品数用ξ表示,椐统计,随机变量ξ的概率分布如下:
ξ
0
1
2
3
p
0.1
0.1
3a
a
(1)求a的值和ξ的数学期望;
(2)假设两天内产生的次品数互不影响,求该工人两天内产生的次品数共2个的概率.
12.(2010•杭州校级模拟)为提高某篮球运动员的投篮水平,教练对其平时训练的表现作以详细的数据记录:
每次投中记l分,投不中记一1分,统计平时的数据得如图所示频率分布条形图.若在某场训练中,该运动员前n次投篮所得总分数为sn,且每次投篮是否命中相互之间没有影响.
(1)若设ξ=|S3|,求ξ的分布列及数学期望;
(2)求出现S8=2且Si≥0(i=1,2,3)的概率.
13.(2006•崇文区一模)某足球赛事中甲乙两只球队进入决赛,但乙队明显处于弱势,乙队为争取胜利,决定采取这样的战术:
顽强防守,0:
0逼平甲队进入点球大战.假设在点球大战中双方每名运动员进球概率均为
.现规定:
点球大战中每队各出5名队员,且每名队员都各踢一球,求:
(I)乙队以4:
3点球取胜的概率有多大?
(II)设点球中乙队得分为随机变量ξ,求乙队在五个点球中得分ξ的概率分布和数学期望.
14.金工车间有10台同类型的机床,每台机床配备的电动机功率为10kW,已知每台机床工作时,平均每小时实际开动12min,且开动与否是相互独立的.现因当地电力供应紧张,供电部门只提供50kW的电力,这10台机床能够正常工作的概率为多大?
在一个工作班的8h内,不能正常工作的时间大约是多少?
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