离散数学知识点.docx

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离散数学知识点

说明：

定义：

红色表示。

定理性质：

橙色表示。

公式：

蓝色表示。

算法:

绿色表示

页码：

灰色表示

数理逻辑：

1.命题公式：

命题，联结词（⌝，∧，∨，→，↔），合式公式，子公式

2.公式的真值：

赋值，求值函数，真值表，等值式，重言式，矛盾式

3.范式：

析取范式，极小项，主析取范式，合取范式，极大项，主合取范式

4.联结词的完备集：

真值函数，异或，条件否定，与非，或非，联结词完备集

5.推理理论：

重言蕴含式，有效结论，P规则，T规则，CP规则，推理

6.谓词与量词:

谓词，个体词，论域，全称量词，存在量词

7.项与公式:

项，原子公式，合式公式，自由变元，约束变元，辖域，换名，代入

8.公式语义:

解释，赋值，有效的，可满足的，不可满足的

9.前束范式:

前束范式

10.推理理论:

逻辑蕴含式，有效结论，∀-规则（US），∀+规则（UG），∃-规则（ES），∃+规则（EG）,推理

集合论：

1.集合:

集合,外延性原理,∈,⊆,⊂,空集,全集,幂集,文氏图,交,并,差,补,对称差

2.关系:

序偶,笛卡尔积,关系,domR,ranR,关系图,空关系,全域关系,恒等关系

3.关系性质与闭包:

自反的,反自反的,对称的,反对称的,传递的,自反闭包r（R）,对称闭包s（R）,传递闭包t（R）

4.等价关系:

等价关系,等价类,商集,划分

5.偏序关系:

偏序,哈斯图,全序（线序）,极大元/极小元,最大元/最小元,上界/下界

6.函数:

函数,常函数,恒等函数,满射,入射,双射，反函数,复合函数

7.集合基数:

基数,等势,有限集/无限集,可数集,不可数集

代数结构：

1.运算及其性质：

运算，封闭的,可交换的,可结合的,可分配的,吸收律,幂等的，幺元,零元,逆元

2.代数系统：

代数系统，子代数，积代数，同态，同构。

3.群与子群：

半群,子半群,元素的幂，独异点，群，群的阶数，子群,平凡子群，陪集，拉格朗日（Lagrange）定理

4.阿贝尔群和循环群：

阿贝尔群（交换群），循环群,生成元

5.环与域：

环，交换环，含幺环，整环，域

6.格与布尔代数：

格，对偶原理，子格，分配格，有界格，有补格，布尔代数，有限布尔代数的表示定理

图论：

1.图的基本概念：

无向图、有向图、关联与相邻、简单图、完全图、正则图、子图、补图，握手定理，图的同构

2.图的连通性:

通路，回路，简单通路，简单回路（迹）初级通路（路径），初级回路（圈），点连通，连通图，点割集，割点，边割集，割边，点连通度，边连通度，弱连通图，单向连通图，强连通图，二部图（二分图）

3.图的矩阵表示：

关联矩阵，邻接矩阵，可达矩阵

4.欧拉图与哈密顿图：

欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图，哈密顿通路、哈密顿回路、哈密顿图、半哈密顿图

5.无向树与根树：

无向树，生成树，最小生成树，Kruskal，根树，m叉树，最优二叉树，Huffman算法

6.平面图:

平面图，面，欧拉公式，Kuratoski定理

数理逻辑：

命题：

具有确定真值的陈述句。

否定词符号⌝：

设p是一个命题，⌝p称为p的否定式。

⌝p是真的当且仅当p是假的。

p是真的当且仅当⌝p是假的。

【定义1.1】

合取词符号∧：

设p，q是两个命题，命题“p并且q”称为p，q的合取，记以p∧q，读作p且q。

p∧q是真的当且仅当p和q都是真的。

【定义1.2】

析取词符号∨：

设p，q是两个命题，命题“p或者q”称为p，q的析取，记以p∨q，读作p或q。

p∨q是真的当且仅当p，q中至少有一个是真的。

【定义1.3】

蕴含词符号→：

设p，q是两个命题，命题“如果p，则q”称为p蕴含q，记以p→q。

p→q是假的当且仅当p是真的而q是假的。

【定义1.4】

等价词符号↔：

设p，q是两个命题，命题“p当且仅当q”称为p等价q，记以p↔q。

p→q是真的当且仅当p，q或者都是真的，或者都是假的。

【定义1.5】

合式公式:

（1）命题常元和变元符号是合式公式；

（2）若A是合式公式，则（⌝A）是合式公式，称为A的否定式；

（3）若A，B是合式公式，则（A∨B），（A∧B），（A→B），（A↔B）是合式公式；

（4）所有合式公式都是有限次使用

（1），

（2），（3）、（4）得到的符号串。

子公式:

如果Ｘ是合式公式A的一部分，且Ｘ本身也是一个合式公式，则称Ｘ为公式A的子公式。

【定义1.6】

赋值（指派，解释）：

设∑是命题变元集合，则称函数v：

∑→{1，0}是一个真值赋值。

【定义1.8】

真值表：

公式A在其所有可能的赋值下所取真值的表，称为A的真值表。

【定义1.9】

重言式（永真式）:

任意赋值v，v

A

矛盾式（永假式）:

任意赋值v，有v

A【定义1.10】

等值式：

若等价式A↔B是重言式，则称A与B等值，记作A⇔B。

【定义2.1】

基本等值式

双重否定律⌝⌝A⇔A

幂等律A∨A⇔A,A∧A⇔A

交换律A∨B⇔B∨A,A∧B⇔B∧A

结合律（A∨B）∨C⇔A∨（B∨C）,（A∧B）∧C⇔A∧（B∧C）

分配律A∨（B∧C）⇔（A∨B）∧（A∨C）,A∧（B∨C）⇔（A∧B）∨（A∧C）

德摩根律⌝（A∨B）⇔⌝A∧⌝B,⌝（A∧B）⇔⌝A∨⌝B

吸收律A∨（A∧B）⇔A,A∧（A∨B）⇔A

零律A∨⇔,A∧⊥⇔⊥

同一律A∨⊥⇔A,A∧⇔A

排中律A∨⌝A⇔

矛盾律A∧⌝A⇔⊥

蕴涵等值式A→B⇔⌝A∨B

等价等值式A↔B⇔（A→B）∧（B→A）

假言易位A→B⇔⌝B→⌝A

等价否定等值式A↔B⇔⌝A↔⌝B

归谬论（A→B）∧（A→⌝B）⇔⌝A

置换规则：

设Ｘ是公式A的子公式,Ｘ⇔Y。

将A中的Ｘ（可以是全部或部分X）用Y来置换，所得到的公式B，则A⇔B。

文字:

设A∈∑（命题变元集）,则A和⌝A都称为命题符号A的文字，其中前者称为正文字，后者称为负文字。

【定义2.2】

析取范式：

形如A1∨A2∨…∨An（n≥1）的公式称为析取范式，其中Ai（i=1,…,n）是由文字组成的合取范式。

合取范式：

形为A1∧A2∧…∧An（n≥1）的公式称为合取范式，其中A1,…,An都是由文字组成的析取式。

【定义2.3】

极小项：

文字的合取式称为极小项，其中公式中每个命题符号的文字都在该合取式中出现一次。

极大项：

文字的析取式称为极大项，其中公式中每个命题符号的文字都在该合取式中出现一次。

【定义2.4】

主析取范式：

给定的命题公式的主析取范式是一个与之等价的公式，后者由极小项的析取组成。

主合取范式：

给定的命题公式的主合取范式是一个与之等价的公式，后者由极大项的合取组成。

【定义2.5】

公式的真值表中真值为F的指派所对应的极大项的合取，即为此公式的主合取范式。

真值函数：

称F:

{0,1}n→{0,1}为n元真值函数.【定义2.6】

联结词的完备集：

设C是联结词的集合，若对于任意一个合式公式均存在一个与之等价的公式，而后者只含有C中的联结词，则称C是联结词的完备集。

【定义2.7】

{⌝，∧，∨，→，↔}，{⌝，∧，∨},{⌝，∧}，{⌝，∨}，{⊥，→}是联结词的完备集。

【定理2.6】

异或P⊕Q：

⇔⌝（P↔Q）

条件否定P→Q：

⇔⌝（P→Q）

与非P↑Q：

⇔⌝（P∧Q）

或非P↓Q：

⇔⌝（P∨Q）【定义2.8】

{↑},{↓}都是联结词的完备集【定理2.7】

重言蕴含式：

当且仅当P→Q是一个重言式时，称P重言蕴含Q，记为P⇒Q。

有效结论：

设A、C是两个命题公式，若A⇒C，称C是A的有效结论。

【定义3.1】

推理定律——重言蕴涵式

1.A⇒（A∨B）附加律

2.（A∧B）⇒A化简律

3.（A→B）∧A⇒B假言推理

4.（A→B）∧⌝B⇒⌝A拒取式

5.（A∨B）∧⌝B⇒A析取三段论

6.（A→B）∧（B→C）⇒（A→C）假言三段论

7.（A↔B）∧（B↔C）⇒（A↔C）等价三段论

8.（A→B）∧（C→D）∧（A∨C）⇒（B∨D）构造性二难

（A→B）∧（⌝A→B）⇒B构造性二难（特殊形式）

9.（A→B）∧（C→D）∧（⌝B∨⌝D）⇒（⌝A∨⌝C）破坏性二难

形式系统:

一个形式系统I由下面四个部分组成：

（1）非空的字母表，记作A（I）.

（2）A（I）中符号构造的合式公式集，记作E（I）.

（3）E（I）中一些特殊的公式组成的公理集，记作AX（I）.

（4）推理规则集，记作R（I）.

记I=,其中是I的形式语言系统,是I的形式演算系统.

自然推理系统:

无公理,即AX（I）=∅

公理推理系统:

推出的结论是系统中的重言式,称作定理【定义3.2】

P规则：

在推导过程中,可以随时添加前提。

T规则：

在推导过程中,可以引入公式S，它是由其前题的一个或多个公式借助重言、蕴含而得到的。

推理（证明）：

从前提A1,A2,⋯,Ak到结论B的推理是一个公式序列C1,C2,⋯,Cl.其中Ci（1≤i≤l）是某个Aj,或者可由序列中前面的公式应用推理规则得到,并且Cl=B。

【定义3.3】

CP规则（演绎定理）：

若Γ⋃{R}|-S，则Γ|-R→S,其中Γ为命题公式的集合。

个体词：

用于表示命题中主语部分的符号或符号串。

个体常元表示确指个体。

个体变元表示不确指个体。

个体域:

个体变元的取值范围，常用D表示。

量词：

限定个体数量特性的词。

全称量词∀：

对所有的

存在量词∃：

有些

谓词语言：

用符号串表示个体、谓词、量词和命题

个体变元符号：

x，y，z，…

个体常元符号：

a，b，c，…

函数符号：

f，g，…

谓词符号：

P，Q，R，…

命题常元符号：

⊥，

量词符号：

∀，∃

连接词符号：

⌝,∧,∨,→,↔

辅助符号：

）,（【定义4.1】

项:

（1）个体常元和变元是项；

（2）若f是n元函数符号，t1,…,tn是项，则f（t1,…,tn）是项；

（3）仅仅有限次使用

（1），

（2）产生的符号串是项。

【定义4.2】

原子公式:

若P是一个元谓词符号，t1,…,tn是项,则P（t1,…,tn）是原子公式。

【定义4.3】

合式公式：

（1）原子公式是公式；

（2）若A是合式公式，则（⌝A）是合式公式；

（3）若A，B是公式，则（A∨B），（A∧B），A→B），（A↔B）是公式；

（4）若A是公式，x是变元，则∀xA，∃xA是公式；

（5）仅仅有限次使用１～４得到的符号串才是合式公式。

【定义4.4】

设公式α的一个子公式为∀xA或∃xA。

则称：

指导变元：

x是∀或∃的指导变元。

辖域：

A是相应量词的辖域。

约束出现：

辖域中x的一切出现，以及（∀x）中的x称为x在α中的约束出现。

自由出现：

变元的非约束出现。

约束变元：

约束出现的变元。

自由变元：

自由出现的变元。

【定义4.5】

封闭的：

一个公式A是封闭的，若其中不含自由变元。

【定义4.6】