届高考数学二轮复习第三章 三角函数解三角形专题共7个专题.docx
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届高考数学二轮复习第三章三角函数解三角形专题共7个专题
专题1函数y=Asin(ωx+φ)的图象与三角函数模型的简单应用专题
[基础达标] (30分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.函数f(x)=cos(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,为了得到f(x)的图象,只需将函数g(x)=sin
ωx+
的图象( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
C 【解析】由于函数f(x)=cos(x∈R,ω>0)的最小正周期为π=,则ω=2,f(x)=cos,故g(x)=sin=sin=cos
2x+
=cos
2x-
,把函数g(x)=cos的图象向左平移个单位长度,可得y=cos
2
x+
-
=cos=f(x)的图象.
2.[2016·新课标全国Ⅱ(甲)卷]若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )
A.x=(k∈Z)
B.x=(k∈Z)
C.x=(k∈Z)
D.x=(k∈Z)
B 【解析】将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位后,得到函数y=2sin2=2sin的图象,其对称轴为2x+=kπ+(k∈Z),即x=(k∈Z).
3.[2017·杭州模拟]函数f(x)=Asin(ωx+φ)
其中A>0,|φ|<
的图象如图所示,为了得到g(x)=sinωx的图象,则只要将f(x)的图象( )
A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度
A 【解析】由图象可知A=1,,T=π,所以ω==2,令2×+φ=π,得φ=,所以f(x)=sin
2x+
=sin2,则将f(x)的图象向右平移个单位长度,可得到g(x)=sin2x的图象.
4.[2016·北京高考]将函数y=sin图象上的点P向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.若P'位于函数y=sin2x的图象上,则( )
A.t=,s的最小值为B.t=,s的最小值为
C.t=,s的最小值为D.t=,s的最小值为
A 【解析】因为点P在函数y=sin图象上,所以t=sin=sin,函数y=sin的图象至少向左平移个单位长度得到y=sin=sin2x的图象.
5.已知函数y=2sin(2x+φ)的图象经过点(0,1),则该函数的一个对称中心点为( )
A.B.
C.D.
C 【解析】由题知2sinφ=1,得sinφ=,且|φ|<,则φ=,y=2sin.当x=时,y=2sin
2×
=2sinπ=0,即是该函数的一个对称中心点.
6.[2016·河南林州一中质检]已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列,把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位,得到函数g(x)的图象.关于函数g(x),下列说法正确的是( )
A.在上是增函数
B.当x∈时,函数g(x)的值域是[-2,1]
C.函数g(x)是奇函数
D.其图象关于直线x=-对称
B 【解析】f(x)=sinωx+cosωx=2sin与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列,则,得T=π,从而ω==2,所以f(x)=2sin.函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位得到g(x)=2sin
2
x+
+
=2sin=2cos2x的图象,故函数g(x)的单调递增区间为-π+2kπ≤2x≤2kπ,即-+kπ≤x≤kπ,k∈Z,所以A错误;当x∈时,2x∈,函数g(x)的值域为[-2,1],所以B正确;而g(x)=2cos2x为偶函数,所以C错误;令x=-,g(x)=2cos2x=2cos=0,所以D错误.
7.[2016·昆明质检]已知函数f(x)=sin(ωx+φ),若对满足|f(x1)-f(x2)|=2的x1,x2有|x1-x2|min=π,且函数f(x)的导函数的部分图象如图,则函数f(x)的解析式为( )
A.f(x)=sin
B.f(x)=sin
C.f(x)=sin
D.f(x)=sin
A 【解析】由对满足|f(x1)-f(x2)|=2的x1,x2有|x1-x2|min=π,得周期T=2π,则ω==1,故f(x)=sin(x+φ),则f'(x)=cos(x+φ),f'=cos=0,又0<φ<,则φ=,f(x)=sin.
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.若y=Asin(ωx+θ)
A>0,ω>0,|θ|<
的图象如图所示,则y= .
2sin 【解析】由题图知周期T==π,则ω==2,且A=2.故y=2sin(2x+θ).把x=0,y=1代入上式得2sinθ=1,即sinθ=.又|θ|<,则θ=,即y=2sin.
9.已知函数f(x)=2sin
5x+
,则f(x)的对称中心是 .将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的5倍(纵坐标不变),得到函数h(x),若h(α)=,则sinα的值是 .
,k∈Z 【解析】令5x+=kπ,得x=-,k∈Z,所以对称中心为,k∈Z,f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的5倍(纵坐标不变)得图象解析式为h(x)=2sin,当h(α)=
-<α<
时,即2sin,sin,由-<α<得-<α+,从而可知0<α+,因此cos,所以sinα=sin=sin
α+
cos-cossin.
10.[2016·肇庆三模]将函数y=sinx+cosx(x∈R)的图象向左平移n(n>0)个单位长度后,所得到的图象关于原点对称,则n的最小值是 .
【解析】将函数y=sinx+cosx=2sin(x∈R)的图象向左平移n(n>0)个单位长度后,得到y=2sin的图象关于原点对称,则n+=kπ,k∈N*,则n=kπ-,k∈N*,当k=1时,n取得最小值.
[高考冲关] (20分钟 35分)
1.(5分)[2017·天津模拟]已知函数f(x)=sin
ωx+
(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,将y=f(x)的图象向左平移|φ|个单位长度,所得图象关于y轴对称,则φ的一个值是( )
A.B.C.D.
D 【解析】由题可知T==π,得ω=2,y=f(x)的图象向左平移|φ|个单位长度得到y=sin=sin
2x+
的图象,由于其图象关于y轴对称,所以2|φ|++kπ,k∈Z,得|φ|=,k∈Z,所以当k=0时,φ=,符合条件.
2.(5分)[2016·鄂豫晋冀陕五省联考]已知函数f(x)=2sinx·sin是奇函数,其中φ∈(0,π),则函数g(x)=cos(2x-φ)的图象( )
A.关于点对称
B.可由函数f(x)的图象向右平移个单位得到
C.可由函数f(x)的图象向左平移个单位得到
D.可由函数f(x)的图象向左平移个单位得到
C 【解析】由已知得函数f(x)为奇函数,则由φ∈(0,π)得φ=,所以f(x)=sin2x,g(x)=cos=sin=sin2,则将函数f(x)的图象向左平移个单位可得函数g(x)的图象.
3.(5分)将函数y=sin2x(x∈R)的图象分别向左平移m(m>0)个单位,向右平移n(n>0)个单位,所得到的两个图象都与函数y=sin的图象重合,则m+n的最小值为( )
A.B.C.πD.
C 【解析】将函数y=sin2x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位,得到函数y=sin[2(x+m)]=sin(2x+2m),∵其图象与y=sin的图象重合,∴sin(2x+2m)=sin
2x+
,∴2m=+2kπ(k∈Z),故m=+kπ(k∈Z),当k=0时,m取得最小值为;将函数y=sin2x(x∈R)的图象向右平移n(n>0)个单位,得到函数y=sin[2(x-n)]=sin(2x-2n),∵其图象与y=sin的图象重合,∴sin(2x-2n)=sin
2x+
,∴-2n=+2kπ(k∈Z),故n=--kπ(k∈Z),当k=-1时,n取得最小值为,∴m+n的最小值为π.
4.(5分)[2016·江西九江一中、临川二中联考]如图所示,函数f(x)=sin(ωx+φ)离y轴最近的零点与最大值均在抛物线y=-x2+x+1上,则f(x)=( )
A.f(x)=sin
B.f(x)=sin
C.f(x)=sin
D.f(x)=sin
C 【解析】令y=-x2+x+1=0得抛物线与x轴的交点横坐标为-或1,显然是三角函数f(x)=sin(ωx+φ)与x轴的一个交点,又f(x)的最大值为1,令-x2+x+1=1得x=0或,显然是f(x)的一个最大值点,则T==1,则T=4,ω=,所以f(x)=sin,又f=sin=0,|φ|<,则φ=,所以f(x)=sin.
5.(5分)定义行列式的运算:
=a1b2-a2b1,若将函数f(x)=的图象向左平移t(t>0)个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则t的最小值为( )
A.B.C.D.
C 【解析】f(x)=cosx-sinx=2cos,平移后得到函数y=2cos,则由题意得+t=kπ,t=kπ-,k∈Z,因为t>0,所以t的最小值为.
6.(10分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)
x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
的部分图象如图所示.
(1)试确定函数f(x)的解析式;
(2)若f,求cos的值.
【解析】
(1)由图象知,f(x)max=A=2,设函数f(x)的最小正周期为T,则,
∴T=2,∴ω==π,
∴函数f(x)=2sin(πx+φ).
又∵f=2sin=2,∴sin=1.
∵|φ|<,即-<φ<,∴-+φ<.
∴+φ=,解得φ=,∴f(x)=2sin.
(2)∵f,即2sin=2sin,
∴sin.
∴cos=cos
=sin
=.
∴cos=2cos2-1
=2×-1
=-.
专题2
热点专题突破二 解三角形的应用
1.[2017·铁岭联考]函数f(x)=Asin(ωx+φ)
A>0,0<ω<4,|φ|<
过点,且当x=时,函数f(x)取得最大值1.
(1)将函数f(x)的图象向右平移个单位得到函数g(x),求函数g(x)的表达式;
(2)在
(1)的条件下,函数h(x)=f(x)+g(x)+2cos2x-1,如果对于∀x1,x2∈R,都有h(x1)≤h(x)≤h(x2),求|x1-x2|的最小值.
【解析】
(1)由题意得A=1.
将点代入得sinφ=,则φ=.
因为当x=时,f(x)取得最大值1,
所以ω×+2kπ,k∈Z,
又因为0<ω<4,所以ω=2,所以f(x)=sin.
将函数f(x)的图象向右平移个单位,得到g(x)=sin=sin.
(2)因为h(x)=f(x)+g(x)+2cos2x-1
=sin+sin+cos2x
=sin2x+cos2x
=2sin.
因为函数h(x)的周期T=π,所以|x1-x2|的最小值为.
2.[2016·甘肃一诊]在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若m=,n=(cos2(B+C),1),且m∥n.
(1)求角A;
(2)当a=6,且△ABC的面积S满足时,求边c的值和△ABC的面积.
【解析】
(1)因为m∥n,所以cos2(B+C)-cos2=cos2A-cos2=cos2A-=0,
即2cos2A-cosA-1=0,(2cosA+1)(cosA-1)=0.
所以cosA=-或cosA=1(舍去),即A=120°.
(2)由及余弦定理,得tanC=,所以C=30°.
又由正弦定理,得c
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