高三数学一轮复习第九篇平面解析几何第4节双曲线基丛点练理.docx

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高三数学一轮复习第九篇平面解析几何第4节双曲线基丛点练理

2019-2020年高三数学一轮复习第九篇平面解析几何第4节双曲线基丛点练理

【选题明细表】

知识点、方法

题号

双曲线定义和标准方程

1,6,9,11,14

双曲线的几何性质

2,3,4,5,7,10,12

双曲线的综合问题

8,13,15

1.已知方程-=1表示双曲线,则λ的取值范围是（　C　）

（A）（-∞,-2）（B）（1,+∞）

（C）（-∞,-2）∪（-1,+∞）（D）（-1,+∞）

解析:

根据题意知（2+λ）（1+λ）>0,

解得λ>-1或λ<-2.故选C.

2.（xx河北模拟）已知双曲线-y2=1的焦点为（2,0）,则此双曲线的渐近线方程是（　C　）

（A）y=±x（B）y=±x

（C）y=±x（D）y=±x

解析:

依题意=2

所以a=±.

所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.故选C.

3.已知双曲线-=1与直线y=2x有交点,则双曲线离心率的取值范围为（　C　）

（A）（1,）（B）（1,]（C）（,+∞）（D）[,+∞）

解析:

因为双曲线的一条渐近线方程为y=x,

则由题意得>2,

所以e==

>=.故选C.

4.（xx邯郸模拟）已知点A,B是双曲线-=1的左、右顶点,P为双曲线上除顶点外的一点,记kPA,kPB分别表示直线PA,PB的斜率,若kPA·kPB=,则该双曲线的离心率为（　C　）

（A）3（B）2（C）（D）

解析:

由题意知A（-a,0）,B（a,0）,

设P（m,n）,所以kPA·kPB=·=,

又点P在双曲线上,所以-=1,

化简得n2=,

所以kPA·kPB==.

所以e==.故选C.

5.（xx石家庄二检）已知F是双曲线-=1（a>0）的右焦点,O为坐标原点,设P是双曲线C上一点,则∠POF的大小不可能是（　C　）

（A）15°（B）25°（C）60°（D）165°

解析:

因为两条渐近线y=±x的倾斜角分别为30°,150°,

所以0°≤∠POF<30°或150°<∠POF≤180°,故选C.

6.（xx宜春模拟）已知双曲线-=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的方程为（　D　）

（A）5x2-=1（B）-=1

（C）-=1（D）5x2-=1

解析:

因为抛物线的焦点为F（1,0）,

所以c=1.

又=,

所以a=,

所以b2=c2-a2=1-=.

故所求方程为5x2-=1.

7.（xx高考四川卷）过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|等于（　D　）

（A）（B）2（C）6（D）4

解析:

双曲线x2-=1的右焦点为F（2,0）,

其渐近线方程为x±y=0.

不妨设A（2,2）,B（2,-2）,

所以|AB|=4,

故选D.

8.（xx银川一模）若点A（m,0）到双曲线-y2=1的一个顶点的距离是A到双曲线上各点的距离的最小值,则m的取值范围是（　B　）

（A）[-3,3]（B）[-,]

（C）[-2,2]（D）[-,]

解析:

由题意知,a=2,b=1,c=,双曲线的左、右顶点分别为M（-2,0）,N（2,0）,显然当-2≤m<0时,点A（m,0）到双曲线左顶点的距离最短;当02时,设双曲线右支上任意一点P（x,y）,|PA|2=（x-m）2+y2=（x-m）2+-1≥|AN|2=

（2-m）2,化简得（2x-4）m≤x2-5,当x=2时,不等式恒成立,当x>2时,m≤（x+2）,故m≤;同理,当m<-2时,m≥-,故m的取值范围是[-,].

9.（xx惠州二调）双曲线2x2-y2=8的实轴长是　　　　. 

解析:

由2x2-y2=8得-=1,

所以2a=4,

所以实轴长为4.

答案:

4

10.（xx高考湖南卷）设F是双曲线C:

-=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为

　　　　. 

解析:

不妨设F为左焦点（-c,0）,点P在第一象限,

因为线段PF的中点恰为双曲线C虚轴的一个端点,

由中点坐标公式得P（c,2b）,

又P在双曲线C上,

所以-=1,

所以=5,

所以e==.

答案:

11.（xx成都模拟）已知圆x2+y2-4x-9=0与y轴的两个交点A,B都在某双曲线上,且A,B两点恰好将此双曲线的焦距三等分,则此双曲线的标准方程为　　　　. 

解析:

在方程x2+y2-4x-9=0中,令x=0得y=±3.

不妨设A（0,-3）,B（0,3）.

设所求双曲线标准方程为-=1（a>0,b>0）,

因为点A在双曲线上,

所以=1,即a2=9.

因为A,B两点恰好将此双曲线的焦距三等分.

所以双曲线的焦点为（0,-9）,（0,9）.

a2+b2=81,

所以b2=72.

此双曲线的标准方程为-=1.

答案:

-=1

12.（xx贵阳监测）已知点P是双曲线C:

-=1（a>0,b>0）左支上一点,F1,F2是双曲线的左、右两个焦点,且PF1⊥PF2,PF2与两条渐近线相交于M,N两点（如图）,点N恰好平分线段PF2,则双曲线的离心率是　　　　. 

解析:

由题意可知,ON为△PF1F2的中位线,

所以PF1∥ON,

所以tan∠PF1F2=tan∠NOF2=kON=,

所以

解得

又|PF2|-|PF1|=2a,

所以2b-2a=2a,b=2a,c==a,

e==.

答案:

13.（xx大连双基测试）已知离心率e=的双曲线C:

-=1（a>0,b>0）的右焦点为F,O为坐标原点,以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于O,A两点,若△AOF的面积为4,则a的值为　　　　. 

解析:

因为e=

=,

所以=,==,

设|AF|=m,则|OA|=2m,S△AOF=·m·2m=4,

所以m=2,由勾股定理,

得c==2,

又=,所以a=4.

答案:

4

【教师备用】（xx日照模拟）已知F1,F2为双曲线-=1（a>0,b>0）的焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P和Q.且△F1PQ为正三角形,则双曲线的渐近线方程为　　　　. 

解析:

设F2（c,0）（c>0）,P（c,y0）,

代入双曲线方程得y0=±,

因为PQ⊥x轴,所以|PQ|=.

在Rt△F1F2P中,∠PF1F2=30°,

所以|F1F2|=|PF2|,即2c=·.

又因为c2=a2+b2,

所以b2=2a2或2a2=-3b2（舍去）.

因为a>0,b>0,

所以=.

故所求双曲线的渐近线方程为y=±x.

答案:

y=±x

能力提升练（时间:

15分钟）

14.（xx开封摸底考试）从双曲线-=1（a>0,b>0）的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于P点,若M为线段FP的中点,O为坐标原点,则|MO|-|MT|与b-a的关系为（　C　）

（A）|MO|-|MT|>b-a

（B）|MO|-|MT|

（C）|MO|-|MT|=b-a

（D）|MO|-|MT|与b-a无关

解析:

设F1是双曲线的右焦点,连接PF1,

由双曲线的定义知|PF|-|PF1|=2a,①

因为OM是△FF1P的中位线,

所以|PF1|=2|OM|.②

又M是FP的中点,

所以|PF|=2|MF|.③

②③代入①得2|MF|-2|OM|=2a,

|MF|-|OM|=a.④

因为|MF|=|MT|+|TF|,

|FT|2=|OF|2-|OT|2=c2-a2,

所以|FT|=b.

所以|MF|=|MT|+b.⑤

把⑤代入④得|MT|+b-|OM|=a,

所以|OM|-|MT|=b-a.故选C.

15.（xx江西省临川区一中高三上期中）已知双曲线C的方程为-=1,其左、右焦点分别是F1,F2.已知点Μ坐标为（2,1）,双曲线C上点Ρ（x0,y0）（x0>0,y0>0）满足=,则-等于（　C　）

（A）-1（B）1（C）2（D）4

解析:

由条件,得F1（-3,0）,F2（3,0）.

因为=,

所以=

即=5,

化简整理,得y0=x0+,①

又P在双曲线上,所以把①代入双曲线-=1,

解得x0=3（负值舍去）,

所以P（3,）,

所以直线PF1的方程为5x-12y+15=0,

所以点M到直线PF1的距离d==1.

易知点M到x轴、直线PF2的距离均为1,

所以点M是△PF1F2的内心,

所以-=（||-||）×1

=×4×1

=2,

故选C.

【教师备用】如图,已知双曲线-=1（a>0,b>0）上有一点A,它关于原点的对称点为B,点F为双曲线的右焦点,且满足AF⊥BF,设∠ABF=α（α∈[,]）,则双曲线的离心率e的取值范围为　　　　. 

解析:

设左焦点为F′,令|AF|=r1,

|AF′|=r2,则|BF|=|F′A|=r2,

所以r2-r1=2a,

因为点A关于原点O的对称点为B,AF⊥BF,

所以|OA|=|OB|=|OF|=c,

所以+=4c2,

所以r1r2=2（c2-a2）,

因为S△ABF=2S△AOF,

所以r1r2=2·c2sin2α,

所以r1r2=2c2sin2α,

所以c2sin2α=c2-a2,

所以e2=,

因为α∈[,],

所以sin2α∈[,],

所以e2=∈[2,（+1）2],

所以e∈[,+1].

答案:

[,+1]

精彩5分钟

1.过双曲线-=1（a>0,b>0）的左焦点F作圆O:

x2+y2=a2的两条切线,切点为A,B,双曲线左顶点为C,若∠ACB=120°,则双曲线的渐近线方程为（　A　）

（A）y=±x（B）y=±x

（C）y=±x（D）y=±x

解题关键:

数形结合求出a,c的关系.

解析:

如图所示,连接OA,OB,

设双曲线-=1（a>0,b>0）的焦距为2c（c>0）,

则C（-a,0）,F（-c,0）.

由双曲线和圆的对称性知,点A与点B关于x轴对称,

则∠ACO=∠BCO=∠ACB=×120°=60°.

因为|OA|=|OC|=a,

所以△ACO为等边三角形,

所以∠AOC=60°.

因为FA与圆O切于点A,所以OA⊥FA,

在Rt△AOF中,∠AFO=90°-∠AOF=90°-60°=30°,

所以|OF|=2|OA|,即c=2a,

所以b===a,

故双曲线-=1（a>0,b>0）的渐近线方程为

y=±x,即y=±x.故选A.

2.若双曲线-=1（a>0,b>0）上存在点P,满足以|OP|为边长的正方形的面积等于2ab（其中点O为坐标原点）,则该双曲线的离心率的取值范围是　　　　. 

解题关键:

设出点P坐标,建立关于a,b的关系式,再利用|OP|2≥a2即可求解.

解析:

设P（x0,y0）,则以|OP|为边长的正方形的面积S=|OP|2=+=2ab,又+≥a2,所以2ab≥a2,则≥,故e2=1+（）2≥,所以e∈[,+∞）.

答案:

[,+∞）

2019-2020年高三数学一轮复习第九篇平面解析几何第4节双曲线课时训练理

【选题明细表】

知识点、方法

题号

双曲线定义和标准方程

1,6,9,11,15

双曲线的几何性质

2,3,4,5,7,10,12,14

双曲线的综合问题

8,13,16,17

基础对点练（时间:

30分钟）

1.已知方程-=1表示双曲线,则λ的取值范围是（　C　）

（A）（-∞,-2）（B）（1,+∞）

（C）（-∞,-2）∪（-1,+∞）（D）（-1,+∞）

解析:

根据题意知（2+λ）（1+λ）>0,

解得λ>-1或λ<-2.故选C.

2.（xx河北模拟）已知双曲线-y2=1的焦点为（2,0）,则此双曲线的渐近线方程是（　C　）

（A）y=±x（B）y=±x

（C）y=±x（D）y=±x

解析:

依题意=2,

所以a=±.

所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.故选C.

3.已知双曲线-=1与直线y=2x有交点,则双曲线离心率的取值范围为（　C　）

（A）（1,）（B）（1,]（C）（,+∞）（D）[,+∞）

解析:

因为双曲线的一条渐近线方程为y=x,

则由题意得>2,

所以e==

>=.故选C.

4.（xx邯郸一模）已知点A,B是双曲线-=1的左、右顶点,P为双曲线上除顶点外的一点,记kPA,kPB分别表示直线PA,PB的斜率,若kPA·kPB=,则该双曲线的离心率为（　C　）

（A）3（B）2（C）（D）

解析:

由题意知A（-a,0）,B（a,0）,

设P（m,n）,所以kPA·kPB=·=,

又点P在双曲线上,所以-=1,

化简得n2=,

所以kPA·kPB==.

所以e==.故选C.

5.（xx石家庄二检）已知F是双曲线-=1（a>0）的右焦点,O为坐标原点,设P是双曲线C上一点,则∠POF的大小不可能是（　C　）

（A）15°（B）25°（C）60°（D）165°

解析:

因为两条渐近线y=±x的倾斜角分别为30°,150°,

所以0°≤∠POF<30°或150°<∠POF≤180°,故选C.

6.（xx宜春一模）已知双曲线-=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的方程为（　D　）

（A）5x2-=1（B）-=1

（C）-=1（D）5x2-=1

解析:

因为抛物线的焦点为F（1,0）,

所以c=1.

又=,

所以a=,

所以b2=c2-a2=1-=.

故所求方程为5x2-=1.

7.（xx沈阳模拟）已知双曲线-=1（a>0,b>0）的左、右焦点分别为F1,F2,点M在双曲线的左支上,且|MF2|=7|MF1|,则此双曲线离心率的最大值为（　A　）

（A）（B）（C）2（D）

解析:

因为|MF2|=7|MF1|,

所以|MF2|-|MF1|=6|MF1|,

即2a=6|MF1|≥6（c-a）,

故8a≥6c,即e=≤.故选A.

8.（xx银川一模）若点A（m,0）到双曲线-y2=1的一个顶点的距离是A到双曲线上各点的距离的最小值,则m的取值范围是（　B　）

（A）[-3,3]（B）[-,]

（C）[-2,2]（D）[-,]

解析:

由题意知,a=2,b=1,c=,双曲线的左、右顶点分别为M（-2,0）,N（2,0）,显然当-2≤m<0时,点A（m,0）到双曲线左顶点的距离最短;当02时,设双曲线右支上任意一点P（x,y）,|PA|2=（x-m）2+y2=（x-m）2+-1≥|AN|2=（2-m）2,化简得（2x-4）m≤x2-5,当x=2时,不等式恒成立,当x>2时,m≤（x+2）,故m≤;同理,当m<-2时,m≥-,故m的取值范围是[-,].

9.（xx安阳模拟）若点P在曲线C1:

-=1上,点Q在曲线C2:

（x-5）2+y2=1上,点R在曲线C3:

（x+5）2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是　　　　　. 

解析:

曲线C2是以曲线C1的右焦点F2为圆心,1为半径的圆,则|PQ|max=|PF2|+r=|PF2|+1;曲线C3是以曲线C1的左焦点F1为圆心,1为半径的圆,则|PR|min=|PF1|-r=|PF1|-1.

故（|PQ|-|PR|）max=（|PF2|+1）-（|PF1|-1）=|PF2|-|PF1|+2=10（此时点P在双曲线左

支上）.

答案:

10

10.如图,F1,F2分别是双曲线C:

-=1（a,b>0）的左、右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是　　　　. 

解析:

设双曲线的焦点坐标为F1（-c,0）,F2（c,0）.

因为B（0,b）,

所以F1B所在的直线为-+=1.

双曲线渐近线为y=±x,

由

得Q（,）.

由

得P（-,）,

所以PQ的中点坐标为（,）.

由a2+b2=c2得,PQ的中点坐标可化为（,）.

直线F1B的斜率为k=,

所以PQ的垂直平分线为y-=-（x-）.

令y=0,得x=+c,

所以M（+c,0）,

所以|F2M|=.

由|MF2|=|F1F2|得

==2c,

即3a2=2c2,

所以e2=,

所以e=.

答案:

11.（xx成都模拟）已知圆x2+y2-4x-9=0与y轴的两个交点A,B都在某双曲线上,且A,B两点恰好将此双曲线的焦距三等分,则此双曲线的标准方程为　　　　. 

解析:

在方程x2+y2-4x-9=0中,令x=0得y=±3.

不妨设A（0,-3）,B（0,3）.

设所求双曲线标准方程为-=1（a>0,b>0）,

因为点A在双曲线上,

所以=1,即a2=9.

因为A,B两点恰好将此双曲线的焦距三等分.

所以双曲线的焦点为（0,-9）,（0,9）.

a2+b2=81,

所以b2=72.

此双曲线的标准方程为-=1.

答案:

-=1

12.（xx贵阳监测）已知点P是双曲线C:

-=1（a>0,b>0）左支上一点,F1,F2是双曲线的左、右两个焦点,且PF1⊥PF2,PF2与两条渐近线相交于M,N两点（如图）,点N恰好平分线段PF2,则双曲线的离心率是　　　　. 

解析:

由题意可知,ON为△PF1F2的中位线,

所以PF1∥ON,

所以tan∠PF1F2=tan∠NOF2=kON=,

所以

解得

又|PF2|-|PF1|=2a,

所以2b-2a=2a,b=2a,c==a,

e==.

答案:

13.（xx大连双基测试）已知离心率e=的双曲线C:

-=1（a>0,b>0）的右焦点为F,O为坐标原点,以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于O,A两点,若

△AOF的面积为4,则a的值为　　　　. 

解析:

因为e=

=,

所以=,==,

设|AF|=m,则|OA|=2m,S△AOF=·m·2m=4,

所以m=2,由勾股定理,

得c==2,

又=,所以a=4.

答案:

4

14.（xx日照模拟）已知F1,F2为双曲线-=1（a>0,b>0）的焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P和Q.且△F1PQ为正三角形,则双曲线的渐近线方程为　　　

　.

解析:

设F2（c,0）（c>0）,P（c,y0）,

代入双曲线方程得y0=±,

因为PQ⊥x轴,所以|PQ|=.

在Rt△F1F2P中,∠PF1F2=30°,

所以|F1F2|=|PF2|,即2c=·.

又因为c2=a2+b2,

所以b2=2a2或2a2=-3b2（舍去）.

因为a>0,b>0,

所以=.

故所求双曲线的渐近线方程为y=±x.

答案:

y=±x

能力提升练（时间:

15分钟）

15.（xx开封摸底考试）从双曲线-=1（a>0,b>0）的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于P点,若M为线段FP的中点,O为坐标原点,则|MO|-|MT|与b-a的关系为（　C　）

（A）|MO|-|MT|>b-a

（B）|MO|-|MT|

（C）|MO|-|MT|=b-a

（D）|MO|-|MT|与b-a无关

解析:

设F1是双曲线的右焦点,连接PF1,

由双曲线的定义知|PF|-|PF1|=2a,①

因为OM是△FF1P的中位线,

所以|PF1|=2|OM|.②

又M是FP的中点,

所以|PF|=2|MF|.③

②③代入①得2|MF|-2|OM|=2a,

|MF|-|OM|=a.④

因为|MF|=|MT|+|TF|,

|FT|2=|OF|2-|OT|2=c2-a2,

所以|FT|=b.

所以|MF|=|MT|+b.⑤

把⑤代入④得|MT|+b-|OM|=a,

所以|OM|-|MT|=b-a.故选C.

16.（xx高考重庆卷）设双曲线-=1（a>0,b>0）的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a+,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（　A　）

（A）（-1,0）∪（0,1）

（B）（-∞,-1）∪（1,+∞）

（C）（-,0）∪（0,）

（D）（-∞,-）∪（,+∞）

解析:

由题知F（c,0）,A（a,0）,不妨令B点在第一象限,则B（c,）,C（c,-）,

kAB=,

因为CD⊥AB,

所以kCD=,

所以直线CD的方程为y+=（x-c）.由双曲线的对称性,知点D在x轴上,得xD=+c,点D到直线BC的距离为c-xD,

所以

b4

又该双曲线的渐近线的斜率为或-,

所以双曲线渐近线斜率的取值范围是（-1,0）∪（0,1）.

故选A.

17.如图,已知双曲线-=1（a>0,b>0）上有一点A,它关于原点的对称点为B,点F为双曲线的右焦点,且满足AF⊥BF,设∠ABF=α（α∈[,]）,则双曲线的离心率e的取值范围为　　　　. 

解析:

设左焦点为F′,令|AF|=r1,

|AF′|=r2,则|BF|=|F′A|=r2,

所以r2-r1=2a,

因为点A关于原点O的对称点为B,AF⊥BF,

所以|OA|=|OB|=|OF|=c,

所以+=4c2,

所以r1r2=2（c2-a2）,

因为S△ABF=2S△AOF,

所以r1r2=2·c2sin2α,

所以r1r2=2c2sin2α,

所以c2sin2α=c2-a2,

所以e2=,

因为α∈[,],所以sin2α∈[,],

所以e2=∈[2,（+1）2],

所以e∈[,+1].

答案:

[,+1]

精彩5分钟

1.过双曲线-=1（a>0,b>0）的左焦点F作圆O:

x2+y2=a2的两条切线,切点为A,B,双曲线左顶点为C,若∠ACB=120°,则双曲线的渐近线方程为（　A　）

（A）y=±x（B）y=±x

（C）y=±x（D）y=±x

解题关键:

数形结合求出a,c的关系.

解析:

如图所示,连接OA,OB,

设双曲线-=1（a>0,b>0）的焦距为2c（c>0）,

则C（-a,0）,F（-c,0）.

由双曲线和圆的对称性知,点A与点B关于x轴对称,

则∠ACO=∠BCO=∠ACB=×120°=60°.

因为|OA|=|OC|=a,

所以△ACO为等边三角形,

所以∠AOC=60°.

因为FA与圆O切于点A,所以OA⊥FA,

在Rt△AOF中,∠AFO=90°-∠AOF=90°-60°=30°,

所以|OF|=2|OA|,即c=2a,

所以b===a,

故双曲线-=1（a>0,b>0）的渐近线方程为

y=±x,即y=±x.故选A.

2.若双曲线-=1（a>0,b>0）上存在点P,满足以|OP|为边长的正方形的面积等于2ab（其中点O为坐标原点）,则该双曲线的离心率的取值范围是　　　　. 

解题关键:

设出点P坐标,建立关于a,b的关系式,再利用|OP|2≥a2即可求解.

解析:

设P（x0,y0）,