高考数学理科一轮复习空间几何体的表面积与体积学案含答案.docx
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高考数学理科一轮复习空间几何体的表面积与体积学案含答案
高考数学(理科)一轮复习空间几何体的表面积与体积学案含答案
学案41 空间几何体的表面积与体积
导学目标:
1了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算公式2了解球、柱、锥、台的体积的计算公式3培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力,会利用所学公式进行必要的计算4提高认识图、理解图、应用图的能力.自主梳理
1.多面体的表面积
(1)设直棱柱高为h,底面多边形的周长为,则S直棱柱侧=______
(2)设正n棱锥底面边长为a,底面周长为,斜高为h′,则S正棱锥侧=____________=____________
(3)设正n棱台下底面边长为a,周长为,上底面边长为a′,周长为′,斜高为h′,则
S正棱台侧=__________=____________
(4)设球的半径为R,则S球=____________
2.几何体的体积公式
(1)柱体的体积V柱体=______(其中S为柱体的底面面积,h为高).
特别地,底面半径是r,高是h的圆柱体的体积V圆柱=πr2h
(2)锥体的体积V锥体=________(其中S为锥体的底面面积,h为高).
特别地,底面半径是r,高是h的圆锥的体积V圆锥=13πr2h
(3)台体的体积V台体=______________(其中S′,S分别是台体上、下底面的面积,h为高).
特别地,上、下底面的半径分别是r′、r,高是h的圆台的体积V圆台=13πh(r2+rr′+r′2).
(4)球的体积V球=__________(其中R为球的半径).
自我检测
1.已知两平行平面α,β间的距离为3,P∈α,边长为1的正三角形AB在平面β内,则三棱锥P—AB的体积为( )
A14B12
36D34
2.(2011•唐月考)从一个正方体中,如图那样截去4个三棱锥后,得到一个正三棱锥A—BD,则它的表面积与正方体表面积的比为( )
A3∶3B2∶2
3∶6D6∶6
3.设三棱柱AB—A1B11的体积为V,P,Q分别是侧棱AA1,1上的点,且PA=Q1,则四棱锥B—APQ的体积为( )
A16VB14V
13VD12V
4.(2011•平顶月考)下图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是( )A.9πB.10π
.11πD.12π
.(2011•陕西)某几何体的三视图如下,则它的体积是( )A.8-2π3B.8-π3
.8-2πD2π3探究点一 多面体的表面积及体积
例1 三棱柱的底面是边长为4的正三角形,侧棱长为3,一条侧棱与底面相邻两边都成60°角,求此棱柱的侧面积与体积.
变式迁移1 (2011•烟台月考)已知三棱柱AB—A1B11的侧棱与底面边长都等于2,A1在底面AB上的射影为B的中点,则三棱柱的侧面面积为________.
探究点二 旋转体的表面积及体积
例2 如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积(其中∠BA=30°)及其体积.
变式迁移2 直三棱柱AB—A1B11的各顶点都在同一球面上.若AB=A=AA1=2,∠BA=120°,则此球的表面积等于________.
探究点三 侧面展开图中的最值问题例3 如图所示,长方体ABD-A1B11D1中,AB=a,B=b,1=,并且a>b>>0求沿着长方体的表面自A到1的最短线路的长.
变式迁移3 (2011•杭州月考)如图所示,在直三棱柱AB-A1B11中,底面为直角三角形,∠AB=90°,A=6,B=1=2P是B1上一动点,则P+PA1的最小值是________.1.有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算,应以公式为基础,充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素.
2.当给出的几何体比较复杂,有关的计算公式无法运用,或者虽然几何体并不复杂,但条中的已知元素彼此离散时,我们可采用“割”、“补”的技巧,化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台),或化离散为集中,给解题提供便利.
(1)几何体的“分割”:
几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求,分割成若干个易求体积的几何体,进而求之.
(2)几何体的“补形”:
与分割一样,有时为了计算方便,可将几何体补成易求体积的几何体,如长方体、正方体等.另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法,由台体的定义,我们在有些情况下,可以将台体补成锥体研究体积.(满分:
7分)
一、选择题(每小题分,共2分)
1.(2011•安徽)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A.48B.32+817
.48+817D.80
2.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切,若这个球的体积是32π3,则这个三棱柱的体积是( )
A.963B.163.243D.483
3.已知正方体ABD—A1B11D1的棱长为a,长为定值的线段EF在棱AB上移动(EF<a),若P是A1D1上的定点,Q是1D1上的动点,则四面体P—QEF的体积是( )
A.有最小值的一个变量
B.有最大值的一个变量
.没有最值的一个变量
D.一个不变量
4.(2010•全国)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( )
A.πa2B73πa2
113πa2D.πa2
.(2011•北京)某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中最大的是( )A.8B.62.10D.82
二、填空题(每小题4分,共12分)6.(2011•马鞍月考)如图,半径为2的半球内有一内接正六棱锥P—ABDEF,则此正六棱锥的侧面积是________.
7.(2011•淄博模拟)一块正方形薄铁片的边长为4,以它的一个顶点为圆心,一边长为半径画弧,沿弧剪下一个扇形(如图),用这块扇形铁片围成一个圆锥筒,则这个圆锥筒的容积等于________3
8.(2011•四川)如图,半径为R的球中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________.
三、解答题(共38分)
9.(12分)(2011•佛模拟)如图组合体中,三棱柱AB—A1B11的侧面ABB1A1是圆柱的轴截面,是圆柱底面圆周上不与A、B重合的一个点.当点是弧AB的中点时,求四棱锥A1—B1B1与圆柱的体积比.10.(12分)(2011•抚顺模拟)如图,四面体ABD中,△AB与△DB都是边长为4的正三角形.
(1)求证:
B⊥AD;
(2)试问该四面体的体积是否存在最大值?
若存在,求出这个最大值及此时棱长AD的大小;若不存在,说明理由.11.(14分)(2011•锦州期末)如图,多面体ABFED的直观图及三视图如图所示,,N分别为AF,B的中点.
(1)求证:
N∥平面DEF;
(2)求多面体A—DEF的体积.学案41 空间几何体的表面积与体积
自主梳理
1.
(1)h
(2)12nah′ 12h′ (3)12n(a+a′)h′ 12(+′)h′ (4)4πR2 2
(1)Sh
(2)13Sh (3)13h(S+SS′+S′) (4)43πR3
自我检测
1.D [由题意,S△AB=34,三棱锥的高h=3,
∴V三棱锥P—AB=13Sh=34]
2.A [设正方体棱长为a,则正四面体棱长AB=2a,
∴S正四面体表=4×34×(2a)2=23a2
∵S正方体表=6a2,∴四面体的表面积与正方体表面积的比为3∶3]
3.
4D [据三视图可知该几何体由球和圆柱体组成,如图所示,
故该几何体的表面积为S=S圆柱+S球=2π+6π+4π=12π]
.A [由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半径为1,高为2的圆锥,所以V=23-13×π×2=8-2π3,故选A]
堂活动区
例1 解题导引 对于斜棱柱表面积及体积的求解必须求各个侧面的面积和棱柱的高.
解决此类斜棱柱侧面积问题的关键:
在已知棱柱高的条下,用线面垂直ͤ线线垂直的方法作出各个侧面的高,并在相应的直角三角形中求解侧面的高.
解 如图,过点A1作A1⊥面AB于点,连接A
过点A1作A1E⊥AB于点E,过点A1作A1F⊥A于点F,连接E,F,易得E⊥AB,F⊥A,
∵AA1和AB与A都成60°角,
∴△A1AE≌△A1AF,∴A1E=A1F
∵A1⊥面AB,∴E=F
∴点在∠BA的角平分线上,延长A交B于点D,
∵△AB是正三角形,
∴B⊥AD∴B⊥AA1
∵AA1∥BB1,∴侧面BB11是矩形,
∴三棱柱的侧面积为S=2×3×4×sin60°+3×4=12+123
∵AA1=3,AA1与AB和A都成60°角,
∴AE=32∵∠BA=30°,
∴A=3,A1=6
∴三棱柱的体积为V=34×16×6=122
变式迁移1 27+4
解析 如图所示,设D为B的中点,连接A1D,AD
∵△AB为等边三角形,∴AD⊥B,∴B⊥平面A1AD,
∴B⊥A1A,
又∵A1A∥B1B,∴B⊥B1B,
又∵侧面与底面边长都等于2,
∴四边形BB11是正方形,其面积为4
作DE⊥AB于E,连接A1E,则AB⊥A1E,
又∵AD=22-12=3,DE=AD•BDAB=32,
∴AE=AD2-DE2=32,
∴A1E=AA21-AE2=72,
∴S四边形ABB1A1=7,∴S三棱柱侧=27+4
例2 解题导引 解决这类题的关键是弄清楚旋转后所形成的图形的形状,再将图形进行合理的分割,然后利用有关公式进行计算.求全面积时不要忘记“内表面”.
解 如图所示,过作1⊥AB于1,在半圆中可得∠BA=90°,
∠BA=30°,
AB=2R,
∴A=3R,B=R,1=32R,
∴S球=4πR2,
S圆锥A1侧=π×32R×3R
=32πR2,
S圆锥B1侧=π×32R×R=32πR2,
∴S几何体表=S球+S圆锥A1侧+S圆锥B1侧
=112πR2+32πR2=11+32πR2,
∴旋转所得到的几何体的表面积为11+32πR2
又V球=43πR3,V圆锥A1=13•A1•π21
=14πR2•A1,
V圆锥B1=13B1•π21=14πR2•B1,
∴V几何体=V球-(V圆锥A1+V圆锥B1)
=43πR3-12πR3=6πR3
变式迁移2 20π
解析 在△AB中,AB=A=2,∠BA=120°,可得B=23,由正弦定理,可得△AB外接圆的半径r=2,设此圆圆心为′,球心为,在Rt△B′中,易得球半径R=,故此球的表面积为4πR2=20π
例3 解题导引 本题可将长方体表面展开,利用平面内两点间的线段长是两点间的最短距离解答.
解 将长方体相邻两个面展开有下列三种可能,
如图所示.三个图形甲、乙、丙中A1的长分别为:
a+b2+2=a2+b2+2+2ab,
a2+b+2=a2+b2+2+2b,
a+2+b2=a2+b2+2+2a,
∵a>b>>0,∴ab>a>b>0
故最短线路的长为a2+b2+2+2b
变式迁移3 2
解析 将△B1沿B1线折到面A11B上,如图所示.连接A1即为P+PA1的最小值,过点作D垂直A11延长线交于D,△B1为等腰直角三角形,
∴D=1,1D=1,A1D=A11+1D=7
∴A1=A1D2+D2=49+1=2
后练习区
1. [由三视图知该几何体的直观图如图所示,该几何体的下底面是边长为4的正方形;上底面是长为4、宽为2的矩形;两个梯形侧面垂直于底面,上底长为2,下底长为4,高为4;另两个侧面是矩形,宽为4,长为42+12=17所以S表=42+2×4+12×(2+4)×4×2+4×17×2=48+817]
2.D [由43πR3=32π3,∴R=2∴正三棱柱的高h=4设其底面边长为a,则13•32a=2,∴a=43
∴V=34×(43)2×4=483]
3.D 4B
. [将三视图还原成几何体的直观图如图所示.它的四个面的面积分别为8,6,10,62,故最大的面积应为10
6.67
解析 取底面中心为,AF中点为,连接P、、P、A,则P⊥,⊥AF,P⊥AF,
∵A=P=2,∴=3,
P=4+3=7
∴S侧=6×12×2×7=67
713π
解析 围成圆锥筒的母线长为4,
设圆锥的底面半径为r,则2πr=14•2π×4,
∴r=1,∴圆锥的高h=42-12=1
∴V圆锥=13•πr2•h=13π(3).
8.2πR2
解析 方法一 设圆柱的轴与球的半径的夹角为α,则圆柱高为2Rsα,圆柱底面半径为Rsinα,∴S圆柱侧=2π•Rsinα•2Rsα=2πR2sin2α当sin2α=1时,S圆柱侧最大为2πR2,此时,S球表-S圆柱侧=4πR2-2πR2=2πR2
方法二 设圆柱底面半径为r,则其高为2R2-r2
∴S圆柱侧=2πr•2R2-r2,
S′圆柱侧=4πR2-r2-4πr2R2-r2
令S′圆柱侧=0,得r=22R
当0<r<22R时,S′>0;
当22R<r<R时,S′<0
∴当r=22R时,S圆柱侧取得最大值2πR2
此时S球表-S圆柱侧=4πR2-2πR2=2πR2
方法三 设圆柱底面半径为r,则其高为2R2-r2,
∴S圆柱侧=2πr•2R2-r2=4πr2R2-r2
≤4πr2+R2-r22=2πR2(当且仅当r2=R2-r2,即r=22R时取“=”).
∴当r=22R时,S圆柱侧最大为2πR2
此时S球表-S圆柱侧=4πR2-2πR2=2πR2
9.解 设圆柱的底面半径为r,母线长为h,
当点是弧的中点时,三角形AB的面积为r2,三棱柱AB—A1B11的体积为r2h,三棱锥A1—AB的体积为13r2h,四棱锥A1—B1B1的体积为r2h-13r2h=23r2h,圆柱的体积为πr2h,(10分)
故四棱锥A1—B1B1与圆柱的体积比为2∶3π
(12分)
10.
(1)证明 取B的中点E,连接AE,DE,EF,∵△AB与△DB都是边长为4的正三角形,
∴AE⊥B,DE⊥B
又AE∩DE=E,
∴B⊥平面AED又AD⊂面AED,
∴B⊥AD(6分)
(2)解 由已知得,△AED为等腰三角形,且AE=ED=23,设AD=x,F为棱AD的中点,
则EF=12-12x2,
S△AED=12x12-x24=1448x2-x4,(8分)
V=13S△AED•(BE+E)=1348x2-x4(0<x<43),
当x2=24,即x=26时,Vax=8,
∴该四面体存在最大值,最大值为8,(11分)
此时棱长AD=26(12分)
11.
(1)证明 由多面体ABFED的三视图知,三棱柱AED—BF中,底面DAE是等腰直角三角形,DA=AE=2,DA⊥平面ABFE,面ABFE,ABD都是边长为2的正方形.(3分)连接EB,则是EB的中点,
在△EB中,N∥E,
且E⊂平面DEF,
N⊄平面DEF,
∴N∥平面DEF(6分)
(2)解 ∵DA⊥平面ABFE,
EF⊂平面ABFE,
∴EF⊥AD又EF⊥AE,AE∩AD=A,∴EF⊥平面ADE
又DE⊂平面ADE,∴EF⊥DE,(8分)
∴四边形DEF是矩形,且平面DEF⊥平面DAE
取DE的中点H,连接AH,∵DA⊥AE,DA=AE=2,
∴AH=2,且AH⊥平面DEF(12分)
∴多面体A—DEF的体积V=13SDEF•AH
=13DE•EF•AH=83(14分)
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