二次函数中考题集.docx
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二次函数中考题集
第27章《二次函数》中考题集(40):
27.3实践与探索解答题
1.如图,已知△OAB的顶点A(3,0),B(0,1),O是坐标原点.将△OAB绕点O按逆时针旋转90°得到△ODC.
(1)写出C,D两点的坐标;
(2)求过C,D,A三点的抛物线的解析式,并求此抛物线的顶点M的坐标;
(3)在线段AB上是否存在点N,使得NA=NM?
若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
2.如图,在平面直角坐标系中,以点C(0,4)为圆心,半径为4的圆交y轴正半轴于点A,AB是⊙C的切线.动点P从点A开始沿AB方向以每秒1个单位长度的速度运动,点Q从O点开始沿x轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动,且动点P、Q从点A和点O同时出发,设运动时间为t(秒).
(1)当t=1时,得到P1、Q1两点,求经过A、P1、Q1三点的抛物线解析式及对称轴l;
(2)当t为何值时,直线PQ与⊙C相切并写出此时点P和点Q的坐标;
(3)在
(2)的条件下,抛物线对称轴l上存在一点N,使NP+NQ最小,求出点N的坐标并说明理由.
3.如图1,设抛物线y=
交x轴于A,B两点,顶点为D.以BA为直径作半圆,圆心为M,半圆交y轴负半轴于C.
(1)求抛物线的对称轴;
(2)将△ACB绕圆心M顺时针旋转180°,得到三角形APB,如图2.求点P的坐标;
(3)有一动点Q在线段AB上运动,△QCD的周长在不断变化时是否存在最小值?
若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.
4.已知抛物线的函数关系式:
y=x2+2(a-1)x+a2-2a(其中x是自变量),
(1)若点P(2,3)在此抛物线上,
①求a的值;
②若a>0,且一次函数y=kx+b的图象与此抛物线没有交点,请你写出一个符合条件的一次函数关系式(只需写一个,不要写过程);
(2)设此抛物线与轴交于点A(x1,0)、B(x2,0).若
,且抛物线的顶点在直线x=
的右侧,求a的取值范围.
5.如图,在直角梯形OBCD中,OB=8,BC=1,CD=10.
(1)求C,D两点的坐标;
(2)若线段OB上存在点P,使PD⊥PC,求过D,P,C三点的抛物线的表达式.
6.如图①,在平面直角坐标系中,Rt△AOB≌Rt△CDA,且A(-1,0)、B(0,2),抛物线y=ax2+ax-2经过点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线(对称轴的右侧)上是否存在两点P、Q,使四边形ABPQ是正方形?
若存在,求点P、Q的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)如图②,E为BC延长线上一动点,过A、B、E三点作⊙O′,连接AE,在⊙O′上另有一点F,且AF=AE,AF交BC于点G,连接BF.下列结论:
①BE+BF的值不变;②
,其中有且只有一个成立,请你判断哪一个结论成立,并证明成立的结论.
7.已知圆P的圆心在反比例函数y=
(k>1)图象上,并与x轴相交于A、B两点.且始终与y轴相切于定点C(0,1).
(1)求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式;
(2)若二次函数图象的顶点为D,问当k为何值时,四边形ADBP为菱形.
8.如图,平面上一点P从点M(
,1)出发,沿射线OM方向以每秒1个单位长度的速度作匀速运动,在运动过程中,以OP为对角线的矩形OAPB的边长OA:
OB=1:
,过点O且垂直于射线OM的直线l与点P同时出发,且与点P沿相同的方向、以相同的速度运动.
(1)在点P运动过程中,试判断AB与y轴的位置关系,并说明理由.
(2)设点P与直线l都运动了t秒,求此时的矩形OAPB与直线l在运动过程中所扫过的区域的重叠部分的面积S.(用含t的代数式表示)
9.如图所示,菱形ABCD的边长为6cm,∠DAB=60°,点M是边AD上一点,DM=2cm,点E、F分别从A、C同时出发,以1cm/s的速度分别沿边AB、CB向点B运动,EM、CD的延长线相交于G,GF交AD于O.设运动时间为x(s),△CGF的面积为y(cm2).
(1)当x为何值时,GD的长度是2cm?
(2)求y与x之间的函数关系式;
(3)是否存在某一时刻,使得线段GF把菱形ABCD分成的上、下两部分的面积之比为1:
5?
若存在,求出此时x的值;若不存在,说明理由.
10.在△ABC中,∠C=Rt∠,AC=4cm,BC=5cm,点D在BC上,并且CD=3cm,现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发,其中点P以1cm/s的速度,沿AC向终点C移动;点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动.过点P作PE∥BC交AD于点E,连接EQ,设动点运动时间为x秒.
(1)用含x的代数式表示AE、DE的长度;
(2)当点Q在BD(不包括点B、D)上移动时,设△EDQ的面积为y(cm2),求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)当x为何值时,△EDQ为直角三角形?
11.如图,已知平面直角坐标系xOy中,点A(m,6),B(n,1)为两动点,其中0<m<3,连接OA,OB,OA⊥OB.
(1)求证:
mn=-6;
(2)当S△AOB=10时,抛物线经过A,B两点且以y轴为对称轴,求抛物线对应的二次函数的关系式;
(3)在
(2)的条件下,设直线AB交y轴于点F,过点F作直线l交抛物线于P,Q两点,问是否存在直线l,使S△POF:
S△QOF=1:
3?
若存在,求出直线l对应的函数关系式;若不存在,请说明理由.
12.如图1,在平面直角坐标系中,点A的坐标为E,点B的坐标为(3,1),二次函数y=x2的图象记为抛物线l1.
(1)平移抛物线l1,使平移后的抛物线过点A,但不过点B,写出平移后的一个抛物线的函数表达式:
y=x2+(任写一个即可);
(2)平移抛物线l1,使平移后的抛物线过A,B两点,记为抛物线l2,如图2,求抛物线l2的函数表达式;
(3)设抛物线l2的顶点为C,K为y轴上一点.若S△ABK=S△ABC,求点K的坐标;
(4)请在图3上用尺规作图的方式探究抛物线l2上是否存在点P,使△ABP为等腰三角形.若存在,请判断点P共有几个可能的位置(保留作图痕迹);若不存在,请说明理由.
13.如图1,已知点A1,A2,A3是抛物线y=
上的三点,线段A1B1,A2B2,A3B3都垂直于x轴,垂足分别为点B1,B2,B3,延长线段B2A2交线段A1A3于点C.
(1)在图
(1)中,若点A1,A2,A3的横坐标依次为1,2,3,求线段CA2的长;
(2)若将抛物线改为y=
-x+1,如图2,点A1,A2,A3的横坐标依次为三个连续整数,其他条件不变,求线段CA2的长.
14.如图,直线y=2x-4与x轴交于点A,与y轴交于点B,以x轴上点M为圆心,过A、B两点作⊙M与x轴交于另一点C.
(1)求⊙M的半径及圆心M的坐标;
(2)①求经过A、B、C三点的抛物线的顶点D的坐标;
②求证:
DB是⊙M的切线;
(3)若半径为1的⊙P与x轴和直线BD都相切,请直接写出点P的坐标.
15.如图①,Rt△ABC中,∠B=90°,∠CAB=30度.它的顶点A的坐标为(10,0),顶点B的坐标为(5,5
),AB=10,点P从点A出发,沿A→B→C的方向匀速运动,同时点Q从点D(0,2)出发,沿y轴正方向以相同速度运动,当点P到达点C时,两点同时停止运动,设运动的时间为t秒.
(1)求∠BAO的度数.
(2)当点P在AB上运动时,△OPQ的面积S(平方单位)与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分,(如图②),求点P的运动速度.
(3)求
(2)中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标.
(4)如果点P,Q保持
(2)中的速度不变,那么点P沿AB边运动时,∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大;沿着BC边运动时,∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小,当点P沿这两边运动时,使∠OPQ=90°的点P有几个?
请说明理由.
16.如图,在△OAB中,∠B=90°,∠BOA=30°,OA=4,将△OAB绕点O按逆时针方向旋转至△OA′B′,C点的坐标为(0,4).
(1)求A′点的坐标;
(2)求过C,A′,A三点的抛物线y=ax2+bx+c的解析式;
(3)在
(2)中的抛物线上是否存在点P,使以O,A,P为顶点的三角形是等腰直角三角形?
若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
17.如图,在平面直角坐标系中,▱ABCO的顶点O在原点,点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(0,2),点C在第一象限.
(1)直接写出点C的坐标;
(2)将▱ABCO绕点O逆时针旋转,使OC落在y轴的正半轴上,如图②,得□DEFG(点D与点O重合).FG与边AB、x轴分别交于点Q、点P.设此时旋转前后两个平行四边形重叠部分的面积为S0,求S0的值;
(3)若将
(2)中得到的▱DEFG沿x轴正方向平移,在移动的过程中,设动点D的坐标为(t,0),▱DEFG与▱ABCO重叠部分的面积为S.写出S与t(0<t≤2)的函数关系式.(直接写出结果)
18.如图,在平面直角坐标系中,⊙O1的直径OA在x轴上,O1A=2,直线OB交⊙O1于点B,∠BOA=30°,P为经过O、B、A三点的抛物线的顶点.
(1)求点P的坐标;
(2)求证:
PB是⊙O1的切线.
19.如图,圆在正方形的内部沿着正方形的四条边运动一周,并且始终保持与正方形的边相切.
(1)在图中,把圆运动一周覆盖正方形的区域用阴影表示出来;
(2)当圆的直径等于正方形的边长一半时,该圆运动一周覆盖正方形的区域的面积是否最大?
并说明理由.
20.已知矩形ABCD中,AB=2,AD=4,以AB的垂直平分线为x轴,AB所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(如图).
(1)写出A,B,C,D及AD的中点E的坐标;
(2)求以E为顶点、对称轴平行于y轴,并且经过点B,C的抛物线的解析式;
(3)求对角线BD与上述抛物线除点B以外的另一交点P的坐标;
(4)△PEB的面积S△PEB与△PBC的面积S△PBC具有怎样的关系?
证明你的结论.
21.如图,在平面直角坐标系中,正方形AOCB的边长为1,点D在x轴的正半轴上,且OD=OB,BD交OC于点E.
(1)求∠BEC的度数;
(2)求点E的坐标;
(3)求过B,O,D三点的抛物线的解析式.(计算结果要求分母有理化.参考资料:
把分母中的根号化去,叫分母有理化.)
22.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=
x2-6与直线y=
x相交于A,B两点.
(1)求线段AB的长;
(2)若一个扇形的周长等于
(1)中线段AB的长,当扇形的半径取何值时,扇形的面积最大,最大面积是多少;
(3)如图2,线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于C,D两点,垂足为点M,分别求出OM,OC,OD的长,并验证等式
+
=
是否成立;
(4)如图3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,设BC=a,AC=b,AB=c.CD=b,试说明:
+
=
23.如图,在平面直角坐标系xOy中,O为原点,点A、C的坐标分别为(2,0)、(1,3
).将△AOC绕AC的中点旋转180°,点O落到点B的位置,抛物线y=ax2-2
x经过点A,点D是该抛物线的顶点.
(1)求证:
四边形ABCO是平行四边形;
(2)求a的值并说明点B在抛物线上;
(3)若点P是线段OA上一点,且∠APD=∠OAB,求点P的坐标;
(4)若点P是x轴上一点,以P、A、D为顶点作平行四边形,该平行四边形的另一顶点在y轴上,写出点P的坐标.
24.关于x的二次函数y=-x2+(k2-4)x+2k-2以y轴为对称轴,且与y轴的交点在x轴上方.
(1)求此抛物线的解析式,并在下面建立直角坐标系画出函数的草图;
(2)设A是y轴右侧抛物线上的一个动点,过点A作AB垂直于x轴于点B,再过点A作x轴的平行线交抛物线于点D,过点D作DC垂直于x轴于点C,得到矩形ABCD.设矩形ABCD的周长为l,点A的横坐标为x,试求l关于x的函数关系式;
(3)当点A在y轴右侧的抛物线上运动时,矩形ABCD能否成为正方形?
若能,请求出此时正方形的周长;若不能,请说明理由.
25.如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A,B两点.
(1)求A,B两点的坐标;
(2)求抛物线顶点M关于x轴对称的点M′的坐标,并判断四边形AMBM′是何特殊平行四边形.(不要求说明理由)
26.已知抛物线y=x2+4x+m(m为常数)经过点(0,4)
(1)求m的值;
(2)将该抛物线先向右、再向下平移得到另一条抛物线.已知这条平移后的抛物线满足下述两个条件:
它的对称轴(设为直线l2)与平移前的抛物线的对称轴(设为l1)关于y轴对称;它所对应的函数的最小值为-8.
①试求平移后的抛物线所对应的函数关系式;
②试问在平移后的抛物线上是否存在着点P,使得以3为半径的⊙P既与x轴相切,又与直线l2相交?
若存在,请求出点P的坐标,并求出直线l2被⊙P所截得的弦AB的长度;若不存在,请说明理由.
27.如图,顶点为D的抛物线y=x2+bx-3与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,连接BC,已知tan∠ABC=1.
(1)求点B的坐标及抛物线y=x2+bx-3的解析式;
(2)在x轴上找一点P,使△CDP的周长最小,并求出点P的坐标;
(3)若点E(x,y)是抛物线上不同于A,B,C的任意一点,设以A,B,C,E为顶点的四边形的面积为S,求S与x之间的函数关系式.
28.如图,抛物线y=x2+bx-c经过直线y=x-3与坐标轴的两个交点A,B,此抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)点P为抛物线上的一个动点,求使S△APC:
S△ACD=5:
4的点P的坐标.
29.已知:
如图,△ABC是边长3cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC方向匀速移动,它们的速度都是1cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点停止运动.设点P的运动时间为t(s),解答下列问题:
(1)当t为何值时,△PBQ是直角三角形?
(2)设四边形APQC的面积为y(cm2),求y与t的关系式;是否存在某一时刻t,使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二?
如果存在,求出相应的t值;不存在,说明理由;
(3)设PQ的长为x(cm),试确定y与x之间的关系式.
30.如图,在平面直角坐标系中,一底角为60°的等腰梯形ABCD的下底AB在x轴的正半轴上,A为坐标原点,点B的坐标为(m,0),对角线BD平分∠ABC,一动点P在BD上以每秒一个单位长度的速度由B→D运动(点P不与B,D重合).过P作PE⊥BD交AB于点E,交线段BC(或CD)于点F.
(1)用含m的代数式表示线段AD的长是
m
;
(2)当直线PE经过点C时,它的解析式为y=
x-2
,求m的值;
(3)在上述结论下,设动点P运动了t秒时,△AEF的面积为S,求S与t的函数关系式;并写出t为何值时,S取得最大值,最大值是多少?
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