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映射教学设计5
一、教材的地位与作用
函数是数学中最主要的概念之一,而函数概念贯穿于中学数学的始终,映射是一种特殊的对应,而且函数也是特殊的对应,学习集合的映射概念的主要目的是为了给函数下定义。
本章的函数定义是用映射刻画的近代定义,初中学习的函数概念是用“对应”来描述的,这两个函数定义反映了函数概念发展的不同阶段。
二.教学目标
三、教学重难点
教学重点:
映射的概念
教学难点:
映射与一一映射的概念及其应用
四、教法学法与教具
从学生熟悉的对应入手,选择一些具体的生活例子,然后财举一些数学
例子,分为一对多、多对一、多对多、一对一四种情况,让学生认真观察、比较,再引导学生发现其中一对一和多对一的对应是映射,逐步归纳概括出映射的基本特征,让学生的认识从感性认识到理性认识。
教具:
多媒体
五、教学过程:
1、创设情景,揭示课题
复习初中常见的对应关系
1.对于任何一个实数a,数轴上都有唯一的点p和它对应;
2.对于坐标平面内任何一个点A,都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应;
3.对于任意一个三角形,都有唯一确定的面积和它对应;
4.某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应;
设计意图:
从学生熟悉的对应入手,选择一些具体的生活例子,然后财举一些数学例子,分为一对多、多对一、多对多、一对一四种情况,让学生认真观察、比较,再引导学生发现其中一对一和多对一的对应是映射,逐步归纳概括出映射的基本特征,让学生的认识从感性认识到理性认识
2.讲解新课
1.我们已经知道,函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”,按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系,这种对2.先看几个例子,两个集合A、B的元素之间的一些对应关系:
一提出问题
给出以下对应关系
三个对应关系有什么共同特点?
(1)集合A与B都是非空集合;
(2)集合A中的元素在集合B中都有唯一的元素与之对应.
设计意图:
观察法:
通过观察事物的联系与区别得出一般性的结论,让学生观察、分析升华为理论,然后在应用中发现规律,培养学生的自主学习与抽象概括的能力。
1、映射的概念
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,
使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:
A→B为从集合A到集合B的一个映射.
记作“f:
A→B”,A中的元素x称为原像.
B中的对应元素y称为x的像,记作f:
x→y.
注:
(1)映射是一种特殊的对应;
(2)函数又是一种特殊的映射
即设A,B是两个非空数集,f是A到B的一个映射,那么映射f:
A→B就叫作A到B的函数.
注:
(1)映射是一种特殊的对应;
(2)函数又是一种特殊的映射
即设A,B是两个非空数集,f是A到B的一个映射,那么映射f:
A→B就叫作A到B的函数.
在函数中,原像的集合称为定义域,像的集合称为值域。
2.一一映射的定义:
设f是A到B的一个映射,若A中的不同元素的像也不同,且B中的每一个元素都有原像.则称映射f是集合A到集合B上的一一映射(或称一一对应).
注意:
一一映射是一种特殊的映射.
3.讲解范例
例1.下列从A到B的各对应法则fi(i=1、2、3、4、5、6、7、8)中.哪些是映射?
一一映射?
哪些不是?
为什么?
(1)A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9},f1:
乘2加1.
(2)A=N+,B={0,1},f2:
除以2得余数.
(3)A={x│x是三角形},B={y│y>0},f3:
计算面积.
(4)A=R,B={数轴上的点},f4:
A中的数x与B中的点P对应.
?
B?
?
(x,y)/x?
R,y?
R?
f5:
A中的点P(5)A?
?
P/P是直角坐标系中的点
与B中的有序实数对(x,y)对应.
?
B点?
?
(x,y)/x?
R,y?
R?
A?
?
P/P是直角坐标系中的
?
1?
(6)A?
?
0,1,2?
B?
?
0,1,?
f6:
取倒数.?
2?
(7)A?
R,B?
(0,?
?
),f7:
求平方.
(8)A?
(0,?
?
),B?
R,f8:
求算术平方根.
解:
(1)
(2)(3)(8)是映射,但不是一一映射
(4)(5)是一一映射
(6)(7)不是映射
设计意图:
1.判断一个对应是否是从集合A到集合B的映射,关键应抓住:
集合A中的元素通过对应关系f在集合B中都要有元素和它对应并且唯一.
2.判断一个映射是否是从集合A到集合B的一一映射,关键应抓住:
(1)A中的不同元素的像也不同;
(2)B中的每一个元素都有原像.
练习2.设f:
A→B是A到B的一个映射,其中A=B=
{(x,y)∣x,y∈R},f(x,y)→(x-y,x+y),求:
(1)A中元素(-1,2)在B中对应的元素;
(2)在A中什么元素与B中元素(-1,2)对应?
解:
(1)x=-1,y=2,(x-y,x+y)=(-3,1)∴(-1,2)→(-3,1)
1?
x?
?
?
x?
y?
?
1?
?
13?
2
(2)?
?
∴?
?
?
?
?
1,2?
?
22?
?
x?
y?
2?
y?
3
?
2?
设计意图:
关于求象和原象的问题,应在计算的过程中总结方法,对层次较高的学生是求原象的方法是解方程,不同情况(有唯一解,无解或有无数解)加深对映射的认识。
四、课堂练习:
1、画图表示集合A到集合B的对应(集合A,B各取4个元素)
已知:
(1)A?
1,2,3,4?
B?
?
2,4,6,8?
,对应法则是“乘以2”;
(2)A=?
x|x>0?
,B=R,对应法则是“求算术平方根”;
(3)A?
?
x|x?
0?
B?
R,对应法则是“求倒数”;
(4)A?
?
?
?
|00<?
?
?
900?
B?
?
x|x?
1?
对应法则是“求余弦”.
2.设映射f:
x→-x2+2x是实数集R=M到实数集R=N的映射,若对于实数p∈N,在M中不存在原像,则实数p的取值范围是__________.
?
3.设f:
A→B是A到B的一个映射,其中
A=B={(x,y)∣x,y∈R},f(x,y)→(x-y,x+y),
求:
(1)A中元素(-1,2)在B中对应的元素;
(2)在A中什么元素与B中元素(-1,2)对应?
六、课堂小结
1.映射的定义:
记作f:
A→B.A中的元素x称为原像.
B中的对应元素y称为x的像,记作f:
x→y.
2.一一映射的定义:
设f是A到B的一个映射,若A中的不同元素的像也不同,且B中的每一个元素都有原像.则称映射f是集合A到集合B上的一一映射(或称一一对应).
七、作业布置:
P3312
3.2映射的概念
课题:
映射的概念
教学目标:
1.知识与技能
了解映射的概念,掌握象、原象等概念及其简单应用。
2.过程与方法
学会用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用。
3.情感、态度与价值观
树立数学应用的观点,培养学习良好的思维品质。
教学重点:
映射的概念的形成与认识。
教学难点:
映射的概念的形成与认识。
课 型:
新授课。
教学方法:
启发讨论式
教学用具:
多媒体
教学过程:
一、创设情境
同学们在参加中考的时候,每个人都有一张准考证,准考证上都会有一个考号,在考试的时候,同学们都会凭借着准卡证号去寻找自己的座位,也就是说通过准考证,考号与座位建立起了一种对应关系。
二、活动尝试
1、在初中我们已学过一些对应的例子:
(学生思考、讨论、回答)
①对任意实数a,数轴上都有唯一的一点A与此相对应
②坐标平面内任意一点A都有唯一的有序数对(x,y)和它对应
三、师生探究
今天我们就要在这个基础之上,再结合我们前边所学过的集合的有关知识,来重点研究两个集合元素与元素之间的一种特殊的对应关系,我们把它称作为映射(板书课题)。
那对于什么是映射,我们称它为一种特殊的对应,那它又特殊在什么地方呢?
所以大家跟我一起看下边的机组对应:
设A,B分别是两个集合,为简明起见,设A,B分别是两个有限集
说明:
(2)(3)(4)这三个对应的共同特点是:
对于左边集合A中的任何一
个元素,在右边集合B中都有唯一的元素和它对应。
映射:
设A,B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射记作:
象、原象:
给定一个集合A到集合B的映射,且
,如果元素
和元素
对应,则元素
叫做元素
的象,元素
叫做元素
的原象。
映射定义的分析:
(学生思考、讨论、回答,教师整理、强调)
1映射三要素:
集合A、集合B、对应法则f.
2特殊的对应:
A中的任一元素都对应着B中唯一的一个元素(任一对唯一)。
“任一”:
就是说对集合A中任何一个元素,集合B中都有元素和它对应,这是映射的存在性;
“唯一”:
对于集合A中的任何一个元素,集合B中都是唯一的元素和它对应,这是映射的唯一性。
“在集合B中”:
也就是说A中元素的象必在集合B中,这是映射的封闭性.
判断下边的对应是不是映射:
A={0,1,2},B={0,1,1/2},f:
x→1/x(集合A中的0没有倒数,这样的话,这个0在集合B中就找不到元素与它相对应,不满足“任一”这个条件,所以不是映射)
3对应方式:
一对一、多对一。
4像的集合C包含于集合B,即像的集合C是集合B的子集。
5“A到B”:
映射是有方向的,A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射,A到B是求平方,B到A则是开平方,因此映射是有序的
指出:
根据定义,
(2)(3)(4)这三个对应都是集合A到集合B的映射;注意到其中
(2)(4)是一对一,(3)是多对一
思考:
(1)为什么不是集合A到集合B的映射?
回答:
对于
(1),在集合A中的每一个元素,在集合B中都有两个元素与之相对应,因此,
(1)不是集合A到集合B的映射
思考:
如果从对应来说,什么样的对应才是一个映射?
一对一,多对一是映射但一对多显然不是映射
辨析:
①任意性:
映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等;
②有序性:
映射是有方向的,A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射;
③存在性:
映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象;
④唯一性:
映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的;
⑤封闭性:
映射中集合A的任一元素的象都必须是B中的元素,不要求B中的每一个元素都有原象,即A中元素的象集是B的子集.
四、例题讲解
例1判断下列对应是否映射?
有没有对应法则?
aeaeae
bfbfbf
gcgcgd
(是)(不是)(是)
是映射的有对应法则,对应法则是用图形表示出来的
例2下列各组映射是否同一映射?
aeaede
bfbfbf
cgcgcg
例3判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射?
(1)设A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9},对应法则
(2)设
,对应法则
(3)
,
,
(4)设
(5)
,
巩固练习:
1.设A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9},集合A中的元素x按照对应法则“乘2加1”和集合B中的元素2x+1对应.这个对应是不是映射?
(是)
2.设A=N*,B={0,1},集合A中的元素x按照对应法则“x除以2得的余数”和集合B中的元素对应.这个对应是不是映射?
(不是(A中没有象))
3.A=Z,B=N*,集合A中的元素x按照对应法则“求绝对值”和集合B中的元素对应.这个对应是不是映射?
(是)
4.A={0,1,2,4},B={0,1,4,9,64},集合A中的元素x按照对应法则“f:
ab=(a1)2”和集合B中的元素对应.这个对应是不是映射?
(是)
5.在从集合A到集合B的映射中,下列说法哪一个是正确的?
(A)B中的某一个元素b的原象可能不止一个;(B)A中的某一个元素a的象可能不止一个(C)A中的两个不同元素所对应的象必不相同;
(D)B中的两个不同元素的原象可能相同
6.下面哪一个说法正确?
(A)对于任意两个集合A与B,都可以建立一个从集合A到集合B的映射
(B)对于两个无限集合A与B,一定不能建立一个从集合A到集合B的映射
(C)如果集合A中只有一个元素,B为任一非空集合,那么从集合A到集合B只能建立一个映射
(D)如果集合B只有一个元素,A为任一非空集合,则从集合A到集合B只能建立一个映射
7.集合A=N,B={m|m=
n∈N},f:
x→y=
,x∈A,y∈B.请计算在f作用下,象
,
的原象分别是多少.(5,6)
回顾反思
1.映射的概念。
2判断映射的方法。
作业
1.下列对应为从A到B的一一映射的为
A.A={x|x0且y∈R},f:
x→-x+1
B.A=R,B={y|y∈R且y≠0},f:
x→
C.A={x|x>0且x∈R},B={y|y≥0且y∈R},f:
x→
D.A=R,B=R,f:
x→2x+3
2.设(x,y)在映射f下的象是( ),则在f下(-5,2)的原象是
A.(-10,4) B.(-3,-7) C.(-6,-4) D.(- )
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