八年级下册期末复习三角形的证明.docx
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八年级下册期末复习三角形的证明
八年级下册期末复习三角形的证明
01 各个击破
命题点1 全等三角形的性质和判定
【例1】 (南充中考)已知△ABN和△ACM位置如图所示,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2.
(1)求证:
BD=CE;
(2)求证:
∠M=∠N.
【思路点拨】
(1)要证BD=CE,可通过转化证△ABD≌△ACE,根据题意由“SAS”得证;
(2)要证∠M=∠N,可通过转化证△ACM≌△ABN,由
(1)可知∠C=∠B.因为∠2=∠1,所以∠CAM=∠BAN.再结合AB=AC,即可根据“ASA”得证.
【解答】 证明:
(1)在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴BD=CE.
(2)∵∠1=∠2,
∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE,
即∠BAN=∠CAM.
由
(1),得△ABD≌△ACE,
∴∠B=∠C.
在△ACM和△ABN中,
∴△ACM≌△ABN(ASA).
∴∠M=∠N.
【方法归纳】 证明两条线段相等或者两个角相等时,常用的方法是证明这两条线段或者这两个角所在的三角形全等.当所证的线段或者角不在两个全等的三角形中时,可通过添加辅助线的方法构造全等三角形.
1.已知△ABC≌△DEF,BC=EF=6cm,△ABC的面积为18cm2,则EF边上的高的长是6cm.
2.(衡阳中考)如图,在△ABC中,AB=AC,BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F.求证:
△BED≌△CFD.
证明:
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠BED=∠CFD=90°.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
在△BED和△CFD中,
∴△BED≌△CFD(AAS).
命题点2 等腰三角形的性质与判定
【例2】 (北京中考)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC于点E.求证:
∠CBE=∠BAD.
【思路点拨】 由AB=AC想到∠ABC=∠C,由AD是BC边上的中线想到等腰三角形“三线合一”的性质,进而得到AD⊥BC,AD平分∠BAC,再结合BE⊥AC,就可以建立角与角之间的数量关系,使问题得解.
【解答】 证明:
方法1:
∵AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形.
∵AD是BC边上的中线,
∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD.
∴∠CAD+∠C=90°.
∵BE⊥AC,∴∠CBE+∠C=90°.
∴∠CBE=∠CAD.
∴∠CBE=∠BAD.
方法2:
∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.
又∵AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC.
∴∠BAD+∠ABC=90°.
∵BE⊥AC,∴∠CBE+∠C=90°.
∴∠CBE=∠BAD.
【方法归纳】 本题是一道利用等腰三角形三线合一的性质的证明题,解题的关键是利用等腰三角形“三线合一”灵活推导各角之间的数量关系.
3.(滨州中考)如图,△ABC中,D为AB上一点,E为BC上一点,且AC=CD=BD=BE,∠A=50°,则∠CDE的度数为(D)
A.50°
B.51°
C.51.5°
D.52.5°
4.已知:
如图,在△ABC中,∠ABC,∠BCA的平分线交于点O,过点O作EF∥BC交AB于点E,交AC于点F.写出图中相等的线段,并说明理由.
解:
BE=OE,CF=OF.
理由:
∵BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,
∴∠EBO=∠OBC,∠FCO=∠OCB.
∵EF∥BC,
∴∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB.
∴∠EBO=∠EOB,∠FOC=∠FCO.
∴BE=OE,CF=OF.
命题点3 勾股定理及其逆定理的应用
【例3】 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,△ACD沿AD折叠,使得点C落在斜边AB上的点E处,已知AC=6,BC=8,求线段AD的长度.
【思路点拨】 由折叠的性质知CD=DE,AC=AE.在Rt△BDE中运用勾股定理求出CD,进而得出AD即可.
【解答】 在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB=10.
由折叠的性质知,AE=AC=6,DE=CD,∠AED=∠C=90°,
∴BE=AB-AE=10-6=4.
在Rt△BDE中,由勾股定理,得
DE2+BE2=BD2,
即CD2+42=(8-CD)2,
解得CD=3.
在Rt△ACD中,由勾股定理,得
AC2+CD2=AD2,
即62+32=AD2,
解得AD=3
.
【方法归纳】 折叠的问题,一定存在相等的线段或角的等量关系,要充分挖掘由折叠所隐含的数量关系.利用勾股定理建立等量关系列方程是一种常用的方法.
5.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(B)
A.3,4,4B.1,
,
C.
,
,
D.3,4,7
6.在寻找马航MH370航班过程中,两艘搜救舰艇接到消息,在海面上有疑似漂浮目标A,B.接到消息后,一艘舰艇以16海里/时的速度离开港口O(如图所示)向北偏东40°方向航行,另一艘舰艇同时以12海里/时的速度向北偏西一定角度的航向行驶,已知它们离港口一个半小时后相距30海里,问另一艘舰艇的航行方向是北偏西多少度?
解:
由题意,得
OB=12×1.5=18(海里),
OA=16×1.5=24(海里).
又∵AB=30海里,
∵182+242=302,即OB2+OA2=AB2,
∴∠AOB=90°.
∵∠DOA=40°,
∴∠BOD=50°.
∴另一艘舰艇的航行方向是北偏西50°.
命题点4 线段的垂直平分线的性质与判定
【例4】 如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC的中点为O,过点O作AC的垂线分别与AD,BC相交于点E,F,连接AF.求证:
AE=AF.
【思路点拨】 由AD∥BC及EF垂直平分AC,由AAS证明△AOE≌△COF,得AE=FC.再由EF是AC的垂直平分线,可以证明AF=FC,即可得AE=AF.
【解答】 证明:
∵AD∥BC,
∴∠EAO=∠FCO,∠AEO=∠CFO.
∵EF⊥AC,且O是AC的中点,
∴AO=CO,AF=CF.
在△AOE和△COF中,
∴△AOE≌△COF(AAS).
∴AE=CF.∴AE=AF.
【方法归纳】 线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等,可以得到等腰三角形,进一步得到角相等.数学知识间有很多联系与递进关系.很多时候,解决数学题目,只是将条件往前推一步,结论再往深处推一步.
7.(毕节中考)如图,等腰三角形ABC的底角为72°,腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点E,垂足为D,连接BE,则∠EBC的度数为36°.
8.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,AD的垂直平分线交BC的延长线于点F.
(1)求证:
∠FAD=∠FDA;
(2)若∠B=50°,求∠CAF的度数.
解:
(1)证明:
∵EF是AD的垂直平分线,
∴AF=DF.
∴∠FAD=∠FDA.
(2)∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠DAC.
∵∠FDA=∠BAD+∠B,∠FAD=∠DAC+∠CAF,
由
(1)知∠FAD=∠FDA,
∴∠B=∠CAF.
∵∠B=50°,
∴∠CAF=50°.
命题点5 角平分线的性质与判定
【例5】 (黄冈中考)已知,如图,AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,求证:
DE=DF.
【思路点拨】 连接AD,利用SSS得到△ABD与△ACD全等,利用全等三角形对应角相等得到∠EAD=∠FAD,即AD为角平分线,再由DE⊥AB,DF⊥AC,利用角平分线的性质定理即可得证.
【解答】 证明:
连接AD.
在△ACD和△ABD中,
∴△ACD≌△ABD(SSS).
∴∠EAD=∠FAD,即AD平分∠EAF.
∵DE⊥AE,DF⊥AF,
∴DE=DF.
【方法归纳】 本题考查全等三角形的判定和性质,以及角平分线的性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质,角平分线的基本性质,构造出基本图形,运用角平分线的性质是解题的关键.
9.
(1)填空:
如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,AD是△ABC的角平分线,过点D作辅助线DE⊥AB于点E,则可以得到AC,CD,AB三条线段之间的数量关系为AB=AC+CD;
图1 图2
(2)如图2,若将
(1)中条件“在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=45°”改为“在△ABC中,∠C=2∠B”请问
(1)中的结论是否仍然成立?
证明你的猜想.
解:
(1)中的结论仍然成立.
理由:
∵AD是∠CAB的平分线,
∴将△CAB沿AD折叠,点C落在AB边上的C′处.∴△ACD≌△AC′D.
∴AC=AC′,CD=C′D,∠C=∠AC′D=2∠B.
又∵∠AC′D=∠C′DB+∠B,
∴∠C′DB=∠B.
∴C′D=C′B.
∴AB=AC′+C′B=AC+CD.
02 整合集训
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.(南宁中考)如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠B=70°,则∠C的度数为(A)
A.35°B.40°C.45°D.50°
2.如图,直线CD是线段AB的垂直平分线,P为直线CD上的一点.已知△PAB的周长为14,PA=4,则线段AB的长度为(A)
A.6B.5C.4D.3
3.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示,则能说明∠AOC=∠BOC的依据是(A)
A.SSS
B.ASA
C.AAS
D.角平分线上的点到角两边距离相等
4.已知直角三角形中,30°角所对的直角边长是2厘米,则斜边的长是(B)
A.2厘米B.4厘米C.6厘米D.8厘米
5.如图,在△ABC中,∠B=60°,AB=AC,BC=3,则△ABC的周长为(B)
A.12B.9C.8D.6
6.(宜昌中考)如图,在方格纸中,以AB为一边作△ABP,使之与△ABC全等,从P1,P2,P3,P4四个点中找出符合条件的点P,则点P有(C)
A.1个B.2个
C.3个D.4个
7.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠1=∠2,CD=1.5,BD=2.5,则AC的长为(C)
A.5B.4C.3D.2
8.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC交AB于点E,交AC于点F,过点O作OD⊥AC于点D,下列四个结论:
①EF=BE+CF;
②∠BOC=90°+
∠A;
③点O到△ABC各边的距离相等;
④设OD=m,AE+AF=n,则S△AEF=mn.
其中正确的结论是(A)
A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①③④
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.(无锡中考)写出命题“如果a=b,那么3a=3b”的逆命题如果3a=3b,那么a=b.
10.在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,若∠B=50°,则∠DAC的度数是40°.
11.如果三角形三边长分别为6cm,8cm,10cm,那么它最短边上的高为8cm.
12.如图,在锐角三角形ABC中,直线PL为BC的垂直平分线,射线BM为∠ABC的平分线,PL与BM相交于P点.若∠PBC=30°,∠ACP=20°,则∠A的度数为70°.
13.如图,正方体的棱长为a,沿着共一个顶点的三个正方形的对角线裁截掉一个几何体之后,截面△ABC的面积为
a2.
14.已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,直线m经过点C,分别过点A,B作直线m的垂线,垂足分别为点E,F,若AE=3,AC=5,则线段EF的长为1或7.
三、解答题(共52分)
15.(8分)已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,D为CA延长线上一点,DE⊥BC,交线段AB于点F.请找出一组相等的线段(AB=AC除外)并加以证明.
解:
AD=AF.证明如下:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵DE⊥BC,
∴∠BEF=∠DEC=90°.
∴∠BFE=∠D.
∵∠BFE=∠DFA,
∴∠DFA=∠D.
∴AF=AD.
16.(8分)如图:
已知等边三角形ABC中,D是AC的中点,E是BC延长线上的一点,且CE=CD,DM⊥BC,垂足为点M,求证:
M是BE的中点.
证明:
连接BD.
∵三角形ABC为等边三角形,且D是AC的中点,
∴∠DBC=
∠ABC=
×60°=30°,∠ACB=60°.
∵CE=CD,
∴∠CDE=∠E.
∵∠ACB=∠CDE+∠E,
∴∠E=30°.
∴∠DBC=∠E=30°.
∴BD=ED,△BDE为等腰三角形.
又∵DM⊥BC,
∴M是BE的中点.
17.(10分)如图所示,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点.
(1)求证:
△ACE≌△BCD;
(2)若AD=5,BD=12,求DE的长.
解:
(1)证明:
∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,
∴EC=DC,AC=BC,∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ACD.
∴∠ACE=∠BCD.∴△ACE≌△BCD(SAS).
(2)∵△ACE≌△BCD,
∴∠EAC=∠B=45°,AE=BD=12.
∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°.
在Rt△EAD中,DE2=AE2+AD2=122+52=169.∴DE=13.
18.(12分)如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D,交AB于点E.
(1)求证:
△ABD是等腰三角形;
(2)若∠A=40°,求∠DBC的度数;
(3)若AE=6,△CBD的周长为20,求△ABC的周长.
解:
(1)证明:
∵AB的垂直平分线MN交AC于点D,
∴DB=DA.
∴△ABD是等腰三角形.
(2)∵△ABD是等腰三角形,∠A=40°,
∴∠ABD=∠A=40°,
∠ABC=∠C=(180°-40°)÷2=70°.
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°.
(3)∵AB的垂直平分线MN交AC于点D,AE=6,∴AB=2AE=12,BD=AD.
∵△CBD的周长为20,
∴BD+CD+BC=20.∴AC+BC=20.
∴△ABC的周长为AB+AC+BC=12+20=32.
19.(14分)已知点O到△ABC的两边AB,AC所在直线的距离相等,且OB=OC.
(1)如图1,若点O在BC上,求证:
AB=AC.
(2)如图2,若点O在△ABC内部,求证:
AB=AC.
(3)猜想,若点O在△ABC的外部,AB=AC成立吗?
请说明理由.
解:
(1)证明:
过点O作OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,则OD=OE,∠ODB=∠OEC=90°.
又∵OB=OC,∴Rt△BOD≌Rt△COE(HL).
∴∠B=∠C.∴AB=AC.
(2)证明:
过点O作OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,则OD=OE,∠ODB=∠OEC=90°.
易证Rt△BOD≌Rt△COE(HL).
∴∠DBO=∠ECO.
∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.
∴∠ABC=∠ACB.∴AB=AC.
(3)不一定成立.理由:
如图3,过点O作OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,则OD=OE,∠ODB=∠OEC=90°.
易证Rt△BOD≌Rt△COE(HL).
∴∠DBO=∠ECO.
∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.
∴∠DBC=∠ECB.∴∠ABC=∠ACB.
∴AB=AC.
如图4,可知AB≠AC.
∴若点O在△ABC的外部时,AB=AC不一定成立.
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