人教A版选修22第一章 单元测试题.docx
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人教A版选修22第一章单元测试题
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第一章 单元测试题
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图像如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点( )
A.1个 B.2个
C.3个D.4个
答案 A
解析 设极值点依次为x1,x2,x3且a<x1<x2<x3<b,则f(x)在(a,x1),(x2,x3)上递增,在(x1,x2),(x3,b)上递减,因此,x1、x3是极大值点,只有x2是极小值点.
2.在区间[,2]上,函数f(x)=x2+px+q与g(x)=2x+在同一点处取得相同的最小值,那么f(x)在[,2]上的最大值是( )
A. B.
C.8D.4
答案 D
3.点P在曲线y=x3-x+上移动,设点P处的切线的倾斜角为α,则α的取值范围是( )
A.[0,]B.[0,]∪[π,π)
C.[π,π)D.[,π]
答案 B
4.已知函数f(x)=x4-2x3+3m,x∈R,若f(x)+9≥0恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.m≥B.m>
C.m≤D.m<
答案 A
解析 因为函数f(x)=x4-2x3+3m,
所以f′(x)=2x3-6x2.
令f′(x)=0,得x=0或x=3,经检验知x=3是函数的一个最小值点,所以函数的最小值为f(3)=3m-.不等式f(x)+9≥0恒成立,即f(x)≥-9恒成立,所以3m-≥-9,解得m≥.
5.函数f(x)=cos2x-2cos2的一个单调增区间是( )
A.B.
C.D.
答案 A
解析 f(x)=cos2x-cosx-1,
∴f′(x)=-2sinx·cosx+sinx=sinx·(1-2cosx).
令f′(x)>0,结合选项,选A.
6.设f(x)在x=x0处可导,且=1,则f′(x0)等于( )
A.1B.0
C.3D.
答案 D
7.经过原点且与曲线y=相切的切线方程为( )
A.x+y=0
B.x+25y=0
C.x+y=0或x+25y=0
D.以上皆非
答案 D
8.函数f(x)=x3+ax2+bx+c,其中a,b,c为实数,当a2-3b<0时,f(x)是( )
A.增函数
B.减函数
C.常数
D.既不是增函数也不是减函数
答案 A
9.若a>2,则方程x3-ax2+1=0在(0,2)上恰好有( )
A.0个根B.1个根
C.2个根D.3个根
答案 B
解析 设f(x)=x3-ax2+1,则f′(x)=x2-2ax=x(x-2a),当x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)在(0,2)上为减函数,又f(0)f
(2)=1=-4a<0,
f(x)=0在(0,2)上恰好有一个根,故选B.
10.一点沿直线运动,如果由始点起经过ts后距离为s=t4-t3+2t2,那么速度为零的时刻是( )
A.1s末B.0s
C.4s末D.0,1,4s末
答案 D
11.设f(x)=则f(x)dx等于( )
A.B.
C.D.不存在
答案 C
解析 数形结合,如图.
f(x)dx=x2dx+(2-x)dx
=
=+(4-2-2+)
=,故选C.
12.若函数f(x)=,且0 A.a>bB.a C.a=bD.a、b的大小不能确定 答案 A 解析 f′(x)=, 令g(x)=xcosx-sinx,则 g′(x)=-xsinx+cosx-cosx=-xsinx. ∵0 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上) 13.若f(x)=x3-f′ (1)x2+x+5,则f′ (1)=________. 答案 解析 f′(x)=x2-2f′ (1)x+1,令x=1,得f′ (1)=. 14.已知函数f(x)满足f(x)=f(π-x),且当x∈时,f(x)=x+sinx,设a=f (1),b=f (2),c=f(3),则a、b、c的大小关系是________. 答案 c 解析 f (2)=f(π-2),f(3)=f(π-3),因为f′(x)=1+cosx≥0,故f(x)在上是增函数,∵>π-2>1>π-3>0,∴f(π-2)>f (1)>f(π-3),即c 15.已知函数f(x)为一次函数,其图像经过点(2,4),且 f(x)dx=3,则函数f(x)的解析式为________. 答案 f(x)=x+ 解析 设函数f(x)=ax+b(a≠0),因为函数f(x)的图像过点(2,4),所以有b=4-2a. ∴f(x)dx=(ax+4-2a)dx =[ax2+(4-2a)x]=a+4-2a=1. ∴a=.∴b=.∴f(x)=x+. 16.(2010·江苏卷)函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中k∈N*.若a1=16,则a1+a3+a5的值是________. 答案 21 解析 ∵y′=2x,∴过点(ak,a)处的切线方程为y-a=2ak(x-ak),又该切线与x轴的交点为(ak+1,0),所以ak+1=ak,即数列{ak}是等比数列,首项a1=16,其公比q=,∴a3=4,a5=1,∴a1+a3+a5=21. 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)如图,直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分,求k的值. 解析 抛物线y=x-x2与x轴两交点的横坐标为x1=0,x2=1,所以,抛物线与x轴所围图形面积S=(x-x2)dx==-=. 又由此可得抛物线y=x-x2与y=kx两交点的横坐标x3=0,x4=1-k,所以=(x-x2-kx)dx==(1-k)3. 又S=,所以(1-k)3=,∴k=1-. 18.(12分)已知函数f(x)=x4-4x3+ax2-1在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2)上单调递减. (1)求a的值; (2)若点A(x0,f(x0))在函数f(x)的图像上,求证: 点A关于直线x=1的对称点B也在函数f(x)的图像上. 解析 (1)由函数f(x)=x4-4x3+ax2-1在区间[0,1]单调递增,在区间[1,2)单调递减, ∴x=1时,取得极大值,∴f′ (1)=0. 又f′(x)=4x3-12x2+2ax, ∴4-12+2a=0⇒a=4. (2)点A(x0,f(x0))关于直线x=1的对称点B的坐标为(2-x0,f(x0)), f(2-x0)=(2-x0)4-4(2-x0)3+4(2-x0)2-1 =(2-x0)2[(2-x0)-2]2-1 =x40-4x30+ax20-1=f(x0), ∴A关于直线x=1的对称点B也在函数f(x)的图像上. 19.(12分)设x=-2与x=4是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点. (1)求常数a,b; (2)试判断x=-2,x=4是函数f(x)的极大值还是极小值,并说明理由. 解析 f′(x)=3x2+2ax+b. (1)由极值点的必要条件可知: f′(-2)=f′(4)=0,即 解得a=-3,b=-24. 或f′(x)=3x2+2ax+b=3(x+2)(x-4) =3x2-6x-24, 也可得a=-3,b=-24. (2)由f′(x)=3(x+2)(x-4). 当x<-2时,f′(x)>0,当-2<x<4时,f′(x)<0. ∴x=-2是极大值点,而当x>4时,f′(x)>0, ∴x=4是极小值点. 20.(12分)已知f(x)=ax3-6ax2+b,x∈[-1,2]的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值. 解析 a≠0(否则f(x)=b与题设矛盾), 由f′(x)=3ax2-12ax=0及x∈[-1,2],得x=0. (1)当a>0时,列表: x (-1,0) 0 (0,2) f′(x) + 0 - f(x) 增 极大值b 减 由上表知,f(x)在[-1,0]上是增函数, f(x)在[0,2]上是减函数. 则当x=0时,f(x)有最大值,从而b=3. 又f(-1)=-7a+3,f (2)=-16a+3, ∵a>0,∴f(-1)>f (2). 从而f (2)=-16a+3=-29, 得a=2. (2)当a<0时,用类似的方法可判断当x=0时f(x)有最小值. 当x=2时,f(x)有最大值. 从而f(0)=b=-29,f (2)=-16a-29=3, 得a=-2. 综上,a=2,b=3或a=-2,b=-29. 21.(12分)(2010·重庆卷)已知函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a,b∈R),g(x)=f(x)+f′(x)是奇函数. (1)求f(x)的表达式; (2)讨论g(x)的单调性,并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值. 解析 (1)由题意得f′(x)=3ax2+2x+b.因此g(x)=f(x)+f′(x)=ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b.因为函数g(x)是奇函数,所以g(-x)=-g(x),即对任意实数x,有a(-x)3+(3a+1)(-x)2+(b+2)(-x)+b=-[ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b],从而3a+1=0,b=0,解得a=-,b=0,因此f(x)的解析式为f(x)=-x3+x2. (2)由 (1)知g(x)=-x3+2x,所以g′(x)=-x2+2. 令g′(x)=0,解得x1=-,x2=,则当x<-或x>时,g′(x)<0,从而g(x)在区间(-∞,-],[,+∞)上是减函数;当- 由前面讨论知,g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x=1,,2时取得,而g (1)=,g()=,g (2)=.因此g(x)在区间[1,2]上的最大值为g()=,最小值为g (2)=. 22.(12分)已知函数f(x)=ln(ax+1)+,x≥0,其中a>0. (1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值; (2)求f(x)的单调区间; (3)若f(x)的最小值为1,求a的取值范围. 分析 解答本题,应先正确求出函数f(x)的导数f′(x),再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解,并注意在定义域范围内求解. 解析 (1)f′(x)=-=, ∵f(x)在x=1处取得极值, ∴f′ (1)=0,即a·12+a-2=0,解得a=1. (2)f′(x)=, ∵x≥0,a>0,∴ax+1>0. ①当a≥2时,在区间[0,+∞)上,f′(x)>0, ∴f(x)的单调增区间为[0,+∞). ②当0 由f′(x)>0,解得x>. 由f′(x)<0,解得x<. ∴f(x)的单调减区间为(0,),单调增区间为(,+∞). (3)当a≥2时,由 (2)①知,f(x)的最小值为f(0)=1;
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- 人教A版选修22第一章 单元测试题 人教 选修 22 第一章 单元测试