河北题库函数的实际应用.docx
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河北题库函数的实际应用
题库函数的实际应用
1.某长途汽车站规定,乘客可以免费携带一定质量的行李,若超过该质量则需购买行李票,且行李票y(元)与行李质量x(千克)间的一次函数关系式为y=kx-5(k≠0),现知贝贝带了60千克的行李,交了行李费5元.
(1)若京京带了84千克的行李,则该交行李费多少元?
(2)旅客最多可免费携带多少千克的行李?
解:
(1)将x=60,y=5代入了y=kx-5中,解得k=
∴一次函数的表达式为y=
x−5,
将x=84代入y=
x−5中,解得y=9,
∴京京该交行李费9元;
(2)令y=0,则
x−5=0,解得x=30,
∴旅客最多可免费携带30千克行李.
答:
京京该交行李费9元,旅客最多可免费携带30千克行李.
2.做服装生意的王老板经营甲、乙两个店铺,每个店铺在同一段时间内都能售出A、B两种款式的服装合计30件,并且每售出一件A款式和B款式服装,甲店铺获利润分别为30元和35元,乙店铺获利润分别为26元和36元.某日,王老板进A款式服装36件,B款式服装24件,并将这批服装分配给两个店铺各30件.
(1)怎样将这60件服装分配给两个店铺,能使两个店铺在销售完这批服装后所获利润相同?
(2)怎样分配这60件服装能保证在甲店铺获利润不小于950元的前提下,王老板获利的总利润最大?
最大的总利润是多少?
解:
(1)设A款式服装分配到甲店铺为x件,则分配到乙店铺为(36-x)件;B款式分配到甲店铺为(30-x)件,分配到乙店铺为(x-6)件,
根据题意得:
30x+35×(30-x)=26×(36-x)+36(x-6),解得x=22.
所以36-x=14(件),30-x=8(件),x-6=16(件),
故A款式服装分配到甲店铺为22件,则分配到乙店铺为14件;
B款式分配到甲店铺为8件,分配到乙店铺为16件,能使两个店铺在销售完这批服装后所获利润相同;
(2)设总利润为w元,根据题意得:
30x+35×(30-x)≥950,解得x≤20,解得6≤x≤20.
w=30x+35×(30-x)+26×(36-x)+36(x-6)=5x+1770,
∵k=5>0,∴w随x的增大而增大,
∴当x=20时,w有最大值1870.
∴A款式服装分配给甲、乙两店铺分别为20件和16件,B款式服装分配给甲、乙两店铺分别为10件和14件,最大的总利润是1870元.
3.某厂家在甲、乙两家商场销售同一商品所获利润分别为
y甲,y乙(单位:
元),y甲,y乙与销售数量x(单位:
件)的函数关系如图所示,请根据图象解决下列问题:
(1)分别求出y甲,y乙与x的函数关系式;
(2)现厂家分配该商品给甲、乙两商场共计1200件,当甲、乙商场售完这批商品,厂家可获得总利润的1080元,问厂家如何分配这批商品?
第3题图
解:
(1)设y甲=kx(k≠0),y乙=mx+n,
将(600,480)代入y甲=kx,480=600k,解得k=0.8,
∴y甲与x的函数关系式为y甲=0.8x;
当0≤x≤200时,
将(0,0)、(200,400)代入y乙=mx+n中,得
解得
∴此时y乙=2x;
当200≤x时,将(200,400)、(600,480)代入y乙=mx+n中,
解得
∴此时y乙=0.2x+360.
∴y乙与x的函数关系式为
;
(2)设分配给乙商场x件,则分配给甲商场(1200-x)件,
当0≤x≤200时,有0.8×(1200-x)+2x=1080,解得x=100,此时1200-x=1100;
当x≥200时,有0.8×(1200-x)+0.2x+360=1080,解得x=400,此时1200-x=800.
答:
厂家分配该商品给甲商场1100件乙商场100件或甲商场800件乙商场400件时,厂家可获得总利润的1080元.
4.如图①,在A,B两地之间有汽车站C站,客车由A地驶往C站,货车由B地驶往A地.两车同时出发,匀速行驶.图②是客车、货车离C站的路程y1,y2(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系图象.
(1)求A,B两地的距离;
(2)求两小时后,货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式;
(3)客、货两车何时相遇?
相遇处离C站的路程是多少千米?
第4题图
解:
(1)由题意和图象可得,A,B两地的距离为360+60=
420(千米);
(2)设两小时后,货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式为y2=kx+b,
由图象可得,货车的速度为:
60÷2=30(千米/时),
则点P的横坐标为:
2+360÷30=14,
∴点P的坐标为(14,360),
∴
解得
即两小时后,货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式为y2=30x-60;
(3)设客车离C站的路程y1与行驶时间x之间的函数关系式为:
y1=mx+n,
则
解得
即客车离C站的路程y1与行驶时间x之间的函数关系式为:
y1=-60x+360,
∴
解得
即客、货两车在
时相遇,此时相遇处离C站的路程是80千米.
5.如图①,长为120km的某段线路AB上有甲、乙两车,分别从南站A和北站B同时出发相向而行,到达B,A后立刻返回到出发站停止,速度均为40km/h,设甲车,乙车据南站A的路程分别为y甲,y乙(km)行驶时间为t(h).
(1)图②已画出y甲与t的函数图象,其中a=,b=,
c=;
(2)分别写出0≤t≤3及3<t≤6时,y乙与时间t之间的函数关系式;
(3)在图②中补画y乙与t之间的函数图象,并观察图象得出在整个行驶过程中两车相遇的次数.
第5题图
解:
(1)120,3,6;
【解法提示】由题意可和函数图象可得,
a=120,b=120÷40=3,c=2×3=6.
(2)当0≤t≤3时,设y乙与时间t之间的函数关系式为:
y乙=kt+b,
得
即当0≤t≤3时,y乙与时间t之间的函数关系式为:
y乙=-40t+120;
当3<t≤6时,设y乙与时间t之间的函数关系式为:
y乙=mt+n,
联立
解得
即当3<t≤6时,y乙与时间t之间的函数关系式为:
y乙=40t-120;
(3)y乙与t之间的函数图象如解图所示,
由图象可知,整个行驶过程中两车相遇次数为2.
第5题解图
6.某企业是一家专门生产季节性产品的企业,经过调研预测,它一年中获得的利润y(万元)和月份n之间满足函数关系式y=-n2+14n-24.
(1)若利润为21万元,求n的值;
(2)哪一个月能够获得最大利润,最大利润是多少?
(3)当产品无利润时,企业会自动停产,企业停产是哪几个月份?
解:
(1)由题意得:
-n2+14n-24=21,
解得n=5或n=9;
(2)y=-n2+14n-24=-(n-7)2+25,
∵-1<0,
∴开口向下,y有最大值,
即n=7时,y取最大值25,
故7月能够获得最大利润,最大利润是25万;
(3))∵y=-n2+14n-24=-(n-2)(n-12),
当y=0时,n=2或者n=12.
又∵图象开口向下,
∴当n=1时,y<0,
当n=2时,y=0,
当n=12时,y=0,
则该企业一年中应停产的月份是1月、2月、12月.
7.我市某镇的一种特产由于运输原因,长期只能在当地销售.当地政府对该特产的销售投资收益为:
每投入x万元,可获得利润P=−
(x−60)2+41(万元).当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售,其规划方案为:
在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资,在实施规划5年的前两年中,每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路,两年修成,通车前该特产只能在当地销售;公路通车后的3年中,该特产既在本地销售,也在外地销售.在外地销售的投资收益为:
每投入x万元,可获利润Q=−
(100−x)2+
(100−x)+160(万元).
(1)若不进行开发,求5年所获利润的最大值是多少?
(2)若按规划实施,求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少?
(3)根据
(1)、
(2)该方案是否具有实施价值?
解:
(1)∵每投入x万元,可获得利润P=-
(x-60)2+41(万元),
∴当x=60时,所获利润最大,最大值为41万元,
∴若不进行开发,5年所获利润的最大值是:
41×5=205(万元);
(2)前两年:
0≤x≤50,此时因为P随x的增大而增大,
所以x=50时,P值最大,即这两年的获利最大为:
2×[-
(50-60)2+41]=80(万元),
后三年:
设每年获利y,设当地投资额为a,则外地投资额为100-a,
∴Q=-
[100-(100-a)]2+
[100-(100-a)]+160
=-
a2+
a+160,
∴y=P+Q=[-
(a-60)2+41]+[-
a2+
a+160]
=-a2+60a+165=-(a-30)2+1065,
∴当a=30时,y最大且为1065,
∴这三年的获利最大为1065×3=3195(万元),
∴5年所获利润(扣除修路后)的最大值是:
80+3195-50×2=3175(万元);
(3)有很大的实施价值.
规划后5年总利润为3175万元,不实施规划方案仅为205万元,故具有很大的实施价值.
8.某公司开发了一种新产品,现要在甲地或者乙地进行销售,设年销售量为x(件),其中x>0.若在甲地销售,每件售价y(元)与x之间的函数关系式为y=-
x+100,每件成本为20元,设此时的年销售利润为w甲(元)(利润=销售额-成本);
若在乙地销售,受各种不确定因素的影响,每件成本为a元(a为常数,15≤a≤25 ),每件售价为106元,销售x(件)每年还需缴纳
x2元的附加费,设此时的年销售利润为w乙(元)(利润=销售额-成本-附加费);
(1)当a=16时且x=100时,w乙=元;
(2)求w甲与x之间的函数关系式(不必写出x的取值范围),并求x为何值时,w甲最大以及最大值是多少?
(3)为完成x件的年销售任务,请你通过分析帮助公司决策,应选择在甲地还是在乙地销售才能使该公司所获年利润最大.
解:
(1)8000;
【解法提示】w乙=(106-a)x-
x2,
当a=16时且x=100时,w乙=90×100-1000=8000(元).
(2)w甲=(y-20)x=(-
x+100-20)x=-
x2+80x=
-
(x-400)2+16000,
答:
当x=400时,w甲最大,最大值是16000;
(3)w乙-y甲=(106-a)x-
x2-(-
x2+80x)
=(26-a)x,
而15≤a≤25,
∴w乙-y甲>0,
对于w乙=-
x2+(106-a)x,
当x=-
=530-5a时,w乙最大,
最大值=
=
(106-a)2,
∵15≤a≤25,
∴a=15时,x=455,w乙最大值=
×(106-15)2=20702.5(元),
a=25时,x=405,w乙最大值=
×(106-25)2=16402.5(元),
而x=400时,w甲最大值=16000(元),
∴选择在乙地销售才能使该公司所获年利润最大.
9.某高新企业员工的工资由基础工资、绩效工资和工龄工资三部分组成,其中工龄工资的制定充分了考虑员工对企业发展的贡献,同时提高员工的积极性,控制员工的流动率,对具有中职以上学历员工制定如下的工龄工资方案.
Ⅰ.工龄工资分为社会工龄工资和企业工龄工资;
Ⅱ.社会工龄=参加本企业工作时年龄-18,企业工龄=现年年龄-参加本企业工作时年龄;
Ⅲ.当年工作时间
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