高考文科数学一轮总复习导数与函数的极值最值.docx
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高考文科数学一轮总复习导数与函数的极值最值
2020年高考文科数学一轮总复习:
导数与函数的极值、最值
第3讲 导数与函数的极值、最值
1.函数的极值
函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0;而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f′(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
极大值点、极小值点统称为极值点,极大值、极小值统称为极值.
[提醒]
(1)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能称为极值点.
(2)在函数的整个定义域内,极值不一定是唯一的,有可能有多个极大值或极小值.
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.
2.函数的最值
(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.
(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.
3.极值与最值的区别与联系
极值只能在定义域内部取得,而最值却可以在区间的端点处取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点处必定是极值.在指定区间上极值可能不止一个,也可能一个也没有,而最值最多有一个.
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的.( )
(2)导数为零的点不一定是极值点.( )
(3)函数的极大值不一定比极小值大.( )
(4)函数的极大值一定是函数的最大值.( )
(5)开区间上的单调连续函数无最值.( )
答案:
(1)×
(2)√ (3)√ (4)× (5)√
(教材习题改编)函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内的极小值点有( )
A.1个 B.2个
C.3个D.4个
解析:
选A.导函数f′(x)的图象与x轴的交点中,左侧图象在x轴下方,右侧图象在x轴上方的只有一个.
所以f(x)在区间(a,b)内有一个极小值点.
函数y=lnx-x在x∈(0,e]上的最大值为( )
A.eB.1
C.-1D.-e
解析:
选C.函数y=lnx-x的定义域为(0,+∞),
又y′=-1=,
令y′=0得x=1,
当x∈(0,1)时,y′>0,函数单调递增;
当x∈(1,e]时,y′<0,函数单调递减.
当x=1时,函数取得最大值-1.
已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=________.
解析:
由题意得f′(x)=3x2-12,由f′(x)=0得x=±2,当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,当x∈(-2,2)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,所以a=2.
答案:
2
(教材习题改编)函数y=x+2cosx在区间上的最大值是________.
解析:
y′=1-2sinx,令y′=0,
又因为x∈,解得x=,
则当x∈时,y′>0;当x∈时,y′<0,故函数y=x+2cosx在x=时取得最大值+.
答案:
+
函数的极值问题(多维探究)
角度一 求已知函数的极值
已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R).
(1)当a=时,求f(x)的极值;
(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.
【解】
(1)当a=时,f(x)=lnx-x,函数的定义域为(0,+∞)且f′(x)=-=,
令f′(x)=0,得x=2,
于是当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表.
x
(0,2)
2
(2,+∞)
f′(x)
+
0
-
f(x)
ln2-1
故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值=f
(2)=ln2-1,无极小值.
(2)由
(1)知,函数的定义域为(0,+∞),f′(x)=-a=(x>0),
当a≤0时,f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
即函数在(0,+∞)上单调递增,此时函数在定义域上无极值点;
当a>0时,当x∈时,f′(x)>0,
当x∈时,f′(x)<0,
故函数在x=处有极大值.
综上所述,当a≤0时,函数在定义域上无极值点,当a>0时,函数在x=处有一个极大值点.
利用导数研究函数极值问题的一般流程
角度二 已知函数的极值求参数值(范围)
(2018·高考北京卷)设函数f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex.
(1)若曲线y=f(x)在点(2,f
(2))处的切线斜率为0,求a;
(2)若f(x)在x=1处取得极小值,求a的取值范围.
【解】
(1)因为f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex,
所以f′(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex.
f′
(2)=(2a-1)e2.
由题设知f′
(2)=0,即(2a-1)e2=0,解得a=.
(2)由
(1)得f′(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex=(ax-1)(x-1)ex.
若a>1,则当x∈时,f′(x)<0;
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0.
所以f(x)在x=1处取得极小值.
若a≤1,则当x∈(0,1)时,ax-1≤x-1<0,
所以f′(x)>0.
所以1不是f(x)的极小值点.
综上可知,a的取值范围是(1,+∞).
已知函数极值点或极值求参数的两个要领
(1)列式:
根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
(2)验证:
因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
[提醒] 若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值.
1.(2019·梅州期末)已知函数y=f(x)导函数的图象如图所示,则下列说法错误的是( )
A.(-1,3)为函数y=f(x)的递增区间
B.(3,5)为函数y=f(x)的递减区间
C.函数y=f(x)在x=0处取得极大值
D.函数y=f(x)在x=5处取得极小值
解析:
选C.由函数y=f(x)导函数的图象可知:
当x<-1或3 当-1 所以f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,5); 单调递增区间为(-1,3),(5,+∞), f(x)在x=-1,5处取得极小值,在x=3处取得极大值, 故选项C错误,故选C. 2.已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1处有极值0,则a-b=________. 解析: 由题意得f′(x)=3x2+6ax+b,则 解得或 经检验当a=1,b=3时,函数f(x)在x=-1处无法取得极值,而a=2,b=9满足题意,故a-b=-7. 答案: -7 3.设函数f(x)=ax3-2x2+x+c(a≥0). (1)当a=1,且函数图象过点(0,1)时,求函数的极小值; (2)若f(x)在(-∞,+∞)上无极值点,求a的取值范围. 解: f′(x)=3ax2-4x+1. (1)函数图象过点(0,1)时,有f(0)=c=1. 当a=1时,f′(x)=3x2-4x+1,令f′(x)>0,解得x<或x>1;令f′(x)<0,解得 (1)=13-2×12+1+1=1. (2)若f(x)在(-∞,+∞)上无极值点,则f(x)在(-∞,+∞)上是单调函数,即f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立. ①当a=0时,f′(x)=-4x+1,显然不满足条件; ②当a>0时,f′(x)≥0恒成立的充要条件是Δ=(-4)2-4×3a×1≤0,即16-12a≤0, 解得a≥. 综上,a的取值范围为. 函数的最值问题(师生共研) (2019·贵阳市检测)已知函数f(x)=-lnx. (1)求f(x)的单调区间; (2)求函数f(x)在[,e]上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数). 【解】 (1)f(x)=-lnx=1--lnx,f(x)的定义域为(0,+∞). 因为f′(x)=-=,所以f′(x)>0⇒0 (2)由 (1)得f(x)在[,1]上单调递增,在[1,e]上单调递减, 所以f(x)在[,e]上的极大值为f (1)=1--ln1=0. 又f()=1-e-ln=2-e,f(e)=1--lne=-,且f() 所以f(x)在[,e]上的最大值为0,最小值为2-e. 求函数f(x)在[a,b]上最值的方法 (1)若函数在区间[a,b]上单调递增或递减,f(a)与f(b)一个为最大值,一个为最小值. (2)若函数在闭区间[a,b]内有极值,要先求出[a,b]上的极值,与f(a),f(b)比较,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成. (3)函数f(x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点,这个极值点就是最大(或最小)值点,此结论在导数的实际应用中经常用到. 1.(2019·吉林模拟)函数y=在[0,2]上的最大值是( ) A. B. C.0D. 解析: 选A.易知y′=,x∈[0,2],令y′>0,得0≤x<1,令y′<0,得1<x≤2,所以函数y=在[0,1]上单调递增,在(1,2]上单调递减,所以y=在[0,2]上的极大值是y|x=1=,又因为y|x=0=0,y|x=2=,且0<<,故y=的最大值为,故选A. 2.已知函数f(x)=excosx-x. (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值. 解: (1)因为f(x)=excosx-x,所以f′(x)=ex(cosx-sinx)-1,所以f′(0)=0. 又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1. (2)设h(x)=ex(cosx-sinx)-1, 则h′(x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2exsinx. 当x∈时,h′(x)<0, 所以h(x)在区间上单调递减, 所以对任意x∈,有h(x)<h(0)=0,即f′(x)<0, 所以函数f(x)在区间上单调递减. 因此函数f(x)在区间上的最大值为f(0)=1,最小值为f=-. 函数极值与最值的综合应用(师生共研) 已知函数f(x)=(a>0)的导函数y=f′(x)的两个零点为-3和0. (1)求f(x)的单调区间; (2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值. 【解】 (1)f′(x)= =. 令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c, 因为ex>0,所以y=f′(x)的零点就是g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c的零点, 且f′(x)与g(x)的符号相同. 又因为a>0.所以当-3 所以f(x)的单调递增区间是(-3,0),单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞). (2)由 (1)知,x=-3是f(x)的极小值点,所以有 解得a=1,b=5,c=5,所以f(x)=. 因为f(x)的单调递增区间是(-3,0),单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞), 所以f(0)=5为函数f(x)的极大值, 故f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值取f(-5)和f(0)中的最大者, 而f(-5)==5e5>5=f(0), 所以函数f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值是5e5. 解决函数极值、最值问题的策略 (1)求极值、最值时,要求步骤规范,含参数时,要讨论参数的大小. (2)求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过比较才能下结论. (3)函数在给定闭区间上存在极值,一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值. 已知函数f(x)= (1)求f(x)在区间(-∞,1)上的极小值和极大值点; (2)求f(x)在区间[-1,e](e为自然对数的底数)上的最大值. 解: (1)当x<1时,f′(x)=-3x2+2x=-x(3x-2), 令f′(x)=0,解得x=0或x=, 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,0) 0 f′(x) - 0 + 0 - f(x) 极小值 极大值 所以当x=0时,函数f(x)取得极小值f(0)=0,函数f(x)的极大值点为x=. (2)①由 (1)知,当-1≤x<1时,函数f(x)在[-1,0)和上单调递减,在上单调递增. 因为f(-1)=2,f=,f(0)=0,所以f(x)在[-1,1)上的最大值为2. ②当1≤x≤e时,f(x)=alnx,当a≤0时,f(x)≤0; 当a>0时,f(x)在[1,e]上单调递增. 所以f(x)在[1,e]上的最大值为f(e)=a. 所以当a≥2时,f(x)在[-1,e]上的最大值为a; 当a<2时,f(x)在[-1,e]上的最大值为2. [基础题组练] 1.函数f(x)=2x3+9x2-2在[-4,2]上的最大值和最小值分别是( ) A.25,-2 B.50,14 C.50,-2D.50,-14 解析: 选C.因为f(x)=2x3+9x2-2,所以f′(x)=6x2+18x,当x∈[-4,-3)或x∈(0,2]时,f′(x)>0,f(x)为增函数,当x∈(-3,0)时,f′(x)<0,f(x)为减函数,由f(-4)=14,f(-3)=25,f(0)=-2,f (2)=50,故函数f(x)=2x3+9x2-2在[-4,2]上的最大值和最小值分别是50,-2. 2.函数f(x)=aex-sinx在x=0处有极值,则a的值为( ) A.-1B.0 C.1D.e 解析: 选C.f′(x)=aex-cosx, 若函数f(x)=aex-sinx在x=0处有极值, 则f′(0)=a-1=0,解得a=1, 经检验a=1符合题意, 故选C. 3.用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱,先在四周分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接成水箱,则水箱的最大容积为( ) A.120000cm3B.128000cm3 C.150000cm3D.158000cm3 解析: 选B.设水箱底长为xcm,则高为cm. 由得0<x<120. 设容器的容积为ycm3,则有y=-x3+60x2. 求导数,有y′=-x2+120x. 令y′=0,解得x=80(x=0舍去). 当x∈(0,80)时,y′>0;当x∈(80,120)时,y′<0. 因此,x=80是函数y=-x3+60x2的极大值点,也是最大值点, 此时y=128000.故选B. 4.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( ) A.函数f(x)有极大值f (2)和极小值f (1) B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f (1) C.函数f(x)有极大值f (2)和极小值f(-2) D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f (2) 解析: 选D.由题图可知,当x<-2时,1-x>3,此时f′(x)>0;当-2 5.函数f(x)=x3-3x2+4在x=________处取得极小值. 解析: 由f′(x)=3x2-6x=0,得x=0或x=2.列表: x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 所以在x=2处取得极小值. 答案: 2 6.若函数f(x)=x3-12x+a的极大值为11,则f(x)的极小值为____________. 解析: 函数的定义域为R,f′(x)=3x2-12,令f′(x)=0,解得x1=-2或x2=2.列表: x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 16+a=11 极小值-16+a 所以当x=-2时,函数有极大值f(-2)=16+a,由题意得16+a=11,解得a=-5, 当x=2时,函数有极小值f (2)=-16+a=-16-5=-21. 答案: -21 7.已知函数f(x)=ax2-blnx在点A(1,f (1))处的切线方程为y=1. (1)求实数a,b的值; (2)求函数f(x)的极值. 解: (1)f(x)的定义域是(0,+∞),f′(x)=2ax-, f (1)=a=1,f′ (1)=2a-b=0, 将a=1代入2a-b=0,解得b=2. (2)由 (1)得f(x)=x2-2lnx(x>0), 所以f′(x)=2x-=, 令f′(x)>0,解得x>1,令f′(x)<0,解得0 所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 所以f(x)极小值=f (1)=1,无极大值. 8.设函数f(x)=alnx-bx2(x>0),若函数f(x)在x=1处与直线y=-相切. (1)求实数a,b的值; (2)求函数f(x)在[,e]上的最大值. 解: (1)f′(x)=-2bx, 因为函数f(x)在x=1处与直线y=-相切, 所以解得 (2)由 (1)知,f(x)=lnx-x2, f′(x)=-x=, 当≤x≤e时,令f′(x)>0, 得≤x<1, 令f′(x)<0,得1 所以f(x)在[,1)上单调递增;在(1,e]上单调递减, 所以f(x)max=f (1)=-. [综合题组练] 1.(2019·南昌第一次模拟)已知奇函数f′(x)是函数f(x)(x∈R)的导函数,若x>0时,f′(x)>0,则( ) A.f(0)>f(log32)>f(-log23) B.f(log32)>f(0)>f(-log23) C.f(-log23)>f(log32)>f(0) D.f(-log23)>f(0)>f(log32) 解析: 选C.因为f′(x)是奇函数,所以f(x)是偶函数.所以f(-log23)=f(log23),而log23>log22=1,0<log32<1,所以0<log32<log23. 又当x>0时,f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数, 所以f(0)<f(log32)<f(log23),所以f(0)<f(log32)<f(-log23). 2.若函数f(x)=x3-x在(t,8-t2)上有最大值,则实数t的取值范围是( ) A.(-3,-) B.(-2,-) C.(-3,-]D.(-2,-] 解析: 选C.因为f′(x)=x2-1,所以当x∈(-∞,-1)和(1,+∞)时,f(x)单调递增,当x∈(-1,1)时,f(x)单调递减,故x=-1是函数f(x)的极大值点.又函数f(x)在(t,8-t2)上有最大值,所以t<-1<8-t2,又f(-1)=f (2)=,且f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以f(8-t2)≤f (2),从而t<-1<8-t2≤2,得-3<t≤-. 3.设m,n是函数f(x)=x3-2ax2+a2x的两个极值点,若2∈(m,n),则实数a的取值范围是______. 解析: 由已知得,f′(x)=3x2-4ax+a2,因为函数f(x)=x3-2ax2+a2x有两个极值点m,n, 所以f′(x)=3x2-4ax+a2有两个零点m,n, 又因为2∈(m,n),所以有f′ (2)=12-8a+a2<0,
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